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Universidad Carlos III de Madrid
Departamento de Economía Examen nal de Matemáticas II. Mayo de 2009.
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IMPORTANTE
- DURACIÓN DEL EXAMEN: 1h. 30min.
- NO se permite el uso de calculadoras.
- Sólo se entregará este cuadernillo. Las respuestas deben escribirse en este cuadernillo ya que sólo se puntuará lo que haya en él. Por favor, compruebe que hay 10 páginas en el cuadernillo.
- NO DESGRAPE LAS HOJAS DEL EXAMEN.
- Es imprescindible identi carse ante el profesor.
- Lea las preguntas con cuidado. Cada apartado del examen vale 1 punto.
- Hay espacio adicional para operaciones al nal del examen y detrás de esta página.
Problema Puntuación 1 2 3 4 5 Total
(1) Sea el conjunto A = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 2 , y ≥ x^2 }. (a) Dibuje el conjunto A, su frontera y su interior, y discuta si A es un conjunto abierto, cerrado, acotado, compacto y/o convexo, razonando las respuestas. (b) Considere la función
f (x, y) =
1 x^2 +(y−1)^2 si^ (x, y)^6 = (0,^ 1), 0 si (x, y) = (0, 1). Determine si esta función alcanza un máximo en A. ¾Y un mínimo?
(2) Considere el siguiente sistema de ecuaciones { y^2 + z^2 − x^2 = − 4 ey−^1 + x − z^2 = 0 (a) Pruebe que este sistema de ecuaciones determina a y, z como funciones diferenciables de x en un entorno del punto (3, 1 , 2). (b) Sean y(x), z(x) las funciones halladas en el apartado anterior. Calcule las derivadas y′(3) y z′(3).
(3) Considere la función f (x, y) = x^2 − y^2 − 2 xy − x^3 (a) Determine el mayor conjunto abierto y convexo S de R^2 donde la función f es cóncava. (b) Estudie si f alcanza extremos globales en el conjunto S del apartado anterior.
(4) Considere la función f (x, y) = x^2 + y^2 − 2 xy y el conjunto A = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 = 2} (a) Halle las ecuaciones de Lagrange que determinan los extremos de f en A. (b) Determine los extremos globales de f en A, especi cando si son máximos o mínimos.
(5) Considere el problema de maximización siguiente
max x,y x^2 + y^2 + y − 1
s.a. x^2 + y^2 ≤ 1 (a) Halle las ecuaciones de Kuhn-Tucker que determinan los extremos de f en A. (b) Determine los puntos que satisfacen las ecuaciones de Kuhn-Tucker.
