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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES – FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
CURSO INTENSIVO DE VERANO 2024
CALCULO II (MAT – 102)
EXAMEN FINAL
Apellidos y Nombres………………………………………………..…………………………..….
Carnet de Identidad ………………………..…Paralelo……………….Fecha: 30 – 01 – 2024
Resolver las siguientes preguntas de forma clara, duración del exámen 90 minutos.
1.- (25%) Calcular la Integral: 𝐼 = ∬
√𝑦+ 2 𝑥
𝑅
R: esta dado por:
2.- (25%) A través de Integrales Dobles, hallar el área, limitado por:
2
3
2
3
2
3
2
3
3.- (25%) Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies:
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
4.- (25%) Calcular la integral de línea
𝟐
𝟐
𝑪
Donde C es el arco de la circunferencia 𝒙
𝟐
𝟐
= 𝟔𝒚 desde el punto 𝑨(𝟑, 𝟑) hacia el
punto 𝑩(−𝟑, 𝟑)
4
Solucionario
1.- Calcular la Integral: 𝐼 = ∬ 𝑒
√𝑦+ 2 𝑥
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦 ;
R: esta dado por:
𝑦 + 2 𝑥 = 4
𝑦 − 2 𝑥 = 0
𝑦 = 0
SOLUCION:
Realizamos el cambio de variable:
𝑢 = 𝑦 + 2 𝑥
𝑣 = 𝑦 − 2 𝑥
Despejamos: 𝑥 =
𝑢−𝑣
4
; 𝑦 =
𝑢+𝑣
2
. El jacobiano es: 𝐽 (
𝑥,𝑦
𝑢,𝑣
) = |
𝑥
𝑢
𝑥
𝑣
𝑦
𝑢
𝑦
𝑣
| = |
1
4
− 1
4
1
2
1
2
| =
1
4
La Nueva Región es:
𝑦 + 2 𝑥 = 4 ===> 𝑢 = 4
𝑦 − 2 𝑥 = 0 ===> 𝑣 = 0
𝑦 = 0 ===> 𝑣 = −𝑢
√𝑢
√𝑢
4
0
0
−𝑢
4
0
√𝑢
4
0
Integrando por partes, tenemos:
[
3
√𝑢
√𝑢
√𝑢
√𝑢
+]
0
4
𝟐
𝟐
2.- A través de Integrales Dobles, hallar el área, limitado por:
2
3
2
3
2
3
2
3
𝑣
𝑢
𝑣 = −𝑢
- Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies:
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
SOLUCION
graficando las superficies tenemos:
llevamos las superficies a coordenadas polares
x = rcosθ
y = rsenθ
jacobiano J = r
z
sup
= −√ 9 − r
2
z
inf
= 9 − r
2
paraboloide
𝒔𝒖𝒑
𝒊𝒏𝒇
𝟐
𝟐
Colocamos limites sobre la región del plano XY
𝟐
𝟐
𝟑
𝟎
𝟓𝝅
𝟒
𝝅
𝟒
- Calcular la integral de línea
𝟐
𝟐
𝑪
Donde C es el arco de la circunferencia 𝒙
𝟐
𝟐
= 𝟔𝒚 desde el punto 𝑨(𝟑, 𝟑) hacia
el punto 𝑩(−𝟑, 𝟑)
SOLUCIÓN
Método 1.
Analizamos si la integral es independiente del camino de integración:
2
2
2
2
Podemos observar que son iguales por identidad trigonométrica:
Hallamos la función potencial mediante integración:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Método 2
Como es una diferencial exacta, no depende del camino
2
2
Entonces debemos unir de A(3,3) a B(-3,3)
Podemos tomar la recta Y=
x va variar de 3 a - 3; reemplazando en la Integral de Linea, tenemos
𝑰 = ∫ (
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙
𝟑
−𝟑
𝟑
= (
−𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝟐 ∗ 𝟑
𝒙
𝟐
𝟐
)
𝟑
−𝟑
= [(
−𝒄𝒐𝒔𝟐(−𝟑)
𝟐 ∗ 𝟑
(−𝟑)
𝟐
𝟐
) − (
−𝒄𝒐𝒔𝟐 ∗ 𝟑
𝟐 ∗ 𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
)] =
