UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIER´
IA
Facultad de Ingenier´ıa Civil
Departamento Acad´emico de Ciencias B´asicas Ciclo 2021−1
EXAMEN SUSTITUTORIO DE MATEM´
ATICA III (CB-311-GHIJ)
Profesor(res) : TORRES MATOS, Miguel ; ASTETE CHUQUICHAICO, Rolando; NAVARRO FLORES, Cristina
D´ıa y Hora : 02 de agosto 2021 - 16:05 - 17:45 +(15)
Indicaciones : Trabajar de forma ordenada, en el encabezado de cada hoja de soluci´on escribir sus ap ellidos y su
firma, En la esquina superior derecha de la primera hoja de respuestas colocar el fisco de su DNI,
(para tomar la foto, se recomienda enviar en formato pdf)
Problema 1 ( 5 puntos)
Las ecuaci´on de la superficie de una colina es representada por f(x, y) = 900 −2x2−2y2,
donde la distancia se mide en metros, el eje X apunta hacia el Este, y el eje Y apunta
al Norte. Una pelota ideal se suelta desde el punto P0= (6,−√14,800) y rueda sobre la
superficie (sin rebotar ni resbalar) describiendo una trayectoria C0,
a) Determine la ecuaci´on de la curva Cque es la proyecci´on de C0sobre al plano XY.
b) Determine el punto en el cual C0interseca al plano XY
Problema 2 ( 5 puntos)
Sea el campo vectorial F(x, y, z)=(z3, x3, y4) y sea Sla porci´on del paraboloide 8 −z=
x2+y2acotada por el plano z= 2x+ 8. Calcular:
ZZS
(∇ × F)·ndS
donde nes la normal unitaria a Sde componente z positivo.
a) Usando el teorema de Stokes
b) Teorema de la divergencia.
Problema 3 ( 5 puntos)
Dado el campo vectorial F(x, y)=(yexy + 2xcos y+y;xexy −x2sen y), siendo Cla
mitad superior de la elipse x2
a2+y2
b2= 1; recorrida en sentido positivo. Determinar:
ZC
F·dr
Problema 4 ( 5 puntos)
Resolver las ecuaciones diferenciales:
a) xy0(yy00 −(y0)2)−y(y0)2=x4y3
b) (2x2+ 3y2−7)xdx −(3x2+ 2y2−8)ydy = 0