Primer Parcial de ´
Algebra Lineal, 2006/07*
E.T.S.I.C.C.P. Enero, 2007
Ejercicio 1
Considerar el subespacio vectorial
S=h{ v1= (1,−2,−1,−1) , v2= (2,1,1,−1) , v3= (3,0, α, β)}i ⊂ R4;α , β ∈R.
Sabiendo que dim S = 2
(a) (4 ptos.) Hallar las ecuaciones impl´ıcitas de Sy determinar los valores de αyβ.
(b) (4 ptos.) Sea T=(x1, x2, x3, x4)∈R4/ x1−7x2+ 10x3+ 5x4= 0 ,2x3+x4= 0 . Obtener H=
S+Ty encontrar un subespacio V, suplementario de H.
(c) (2 ptos.) Calcular dim (S+T) y dim (STT) . Razonar si STTpuede ser un subespacio suplementario
de S+T.
Ejercicio 2
(a) Sea A∈R3×3, de modo que Ax =Az , donde xyzson dos vectores distintos de R3.
(a.1) (2 ptos.) Justificar que Ker A 6={0}, obteniendo alg´un vector no nulo que pertenezca a ´el.
(a.2) (1 pto.) Calcular, razonadamente, det A .
(b) (4 ptos.) Obtener Ker M ,Im M ,Ker M 2eIm M 2, siendo M=
1 2 1 2
3 4 3 4
−1−2−1−2
−3−4−3−4
∈R4×4.
(c) (3 ptos.) Hallar una descomposici´on LU de la matriz M.
Ejercicio 3
Sea f∈ L(R3,R3) tal que v1= (1,0,1) y v2= (0,1,1) son vectores propios de valores propios λ1= 0
yλ2= 1 , respectivamente. Adem´as, f(v3) = (−2,0, γ) , con v3= (2,0,3) .
(a) (4 ptos.) Hallar fV×CyfC×C, siendo V={v1, v2, v3}yCla base can´onica de R3.
(b) (2 ptos.) Determinar el valor de γ, sabiendo que la multiplicidad geom´etrica del valor propio λ2= 1
es 2.
(c) (4 ptos.) Sea A=
2 2 −2
0 1 0
1 2 −1
. Determinar P∈R3×3regular y D∈R3×3diagonal, tales que
A=P DP −1.
*Recordar poner el nombre en todas las hojas. No mezclar dos ejercicios distintos en un mismo folio. Entregar cada problema
por separado.
