Primer Parcial de ´
Algebra Lineal, 2005/06*
E.T.S.I.C.C.P. Enero, 2006
Ejercicio 1
Considerar la matriz A=
210
421
631
∈R3×3, y S={x∈R3/ AXC= 0 }.
(a) (4 ptos.) Encontrar las ecuaciones impl´ıcitas y una base de S.
(b) (1 pto.) Comprobar que {(α, −2α, 0) / α ∈R}son las ecuaciones param´etricas
de S.
(c) (2 ptos.) Hallar la descomposici´on L U de la matriz A.
(d) (3 ptos.) Obtener las coordenadas del vector ( α, −2α, 0) en la base B(es decir,
las ecuaciones param´etricas de Sen B), siendo B={b1, b2, b3) una base de R3
de modo que BC=L, con Lla matriz calculada en el apartado anterior.
Ejercicio 2
(a) Sea B∈R3×2.
(a.1) (2 ptos.) Definir Ker B y probar que Ker B ⊂Ker (P B) , donde
P∈Rm×3.
(a.2) (1 pto.) Justificar, a partir del apartado anterior, que Rango(B)≥
Rango(P B ) .
(b) Considerar los subespacios de R3
S=<{(1,1,1) }> y T =x∈R3/ x3= 0.
(b.1) (2 ptos.) Probar que SyTson suplementarios y descomponer un vector
xgen´erico de R3, como suma de un vector u∈S, m´as otro v∈T.
(b.2) (3 ptos.) Considerar la proyecci´on fde R3sobre Sparalelamente a T
f:R3−→ R3/ f(x) = f(u+v) = u , u ∈S , v ∈T .
Hallar P∈R3×3, la matriz asociada a fen la base can´onica de R3.
*Recordar poner el nombre en todas las hojas. No mezclar dos ejercicios distintos en un mismo
folio. Entregar cada problema por separado.
