An`alisi II
Juny 2008
1. (a) Demostreu que la imatge d’un compacte per una funci´o cont´ınua ´es un compacte.
Dedu¨ıu que si f:K−→ R´es cont´ınua i K´es compacte aleshores existeixen
x, y ∈Ktals que f(x)≤f(z)≤f(y) per tot z∈K.
(b) Estudieu el extrems relatius de la funci´o f(x, y) = x2y+y2/2+2xy
(c) Estudieu els extrems absoluts de la mateixa funci´o a la regi´o
−1≤y≤7−x2−2x
2. (a) Doneu dues definicions equivalents de varietat diferenciable. Quin resultat rela-
ciona les dues definicions?
(b) Demostreu que A={(x, y, z) : x3+y3−xy +z2= 1 ´es una varietat diferenciable.
Quina dimensi´o t´e?
(c) Calculeu el pla tangent en el punt (0,0,1).
3. (a) Demostreu que una funci´o cont´ınua definida sobre un rectangle tancat ´es integrable.
(Ind: Una funci´o cont´ınua sobre un compacte ´es uniformement cont´ınua)
(b) Calculeu RA(x2+y2) on A={(x, y)∈R2: (x2+y2)2≤4(x2−y2), x ≥0}. (Ind:
Feu un canvi de variables a polars).
(c) Calculeu RBz2on B={(x, y, z)∈R3: 2z≥x2+y2, x2+y2+z2≤3}
1