¡Descarga Examen juny 2010 y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
MATEMÀTIQUES PER A ECONOMISTES II.
Codi Assignatura 25030. Primera Convocatòria. Juny 2010.
Observacions:
Cada pregunta val 0.5 punts. Cada resposta incorrecta resta 0.16 punts. No es permet l'ús de calculadora. Temps d'examen: 12:00 fins 14:30.
EXERCICI : El conjunt A = {( , x y ) ∈ R^2^ / y ≥ x^2^ + 1, y < 2 − x^2 }és:
A) Convex i no compacte. *** B) No convex i tancat.
C) Convex i compacte. D) Obert i no fitat.
EXERCICI : El següent límit
3 2 ( , ) (0,0)^2
lim x y
x xy → x y
val:
A) 0 ***
B) ( −∞ )
C) No existeix D) ( +∞ )
EXERCICI : La funció f ( , x y ) = 1 − x^2 − y^2 té per corbes de nivell:
A) Circumferències *** B) El·lipses C) Paràboles D) Hipèrboles
EXERCICI: El domini de definició de la funció
2 3
ln( 2 1)
xy
f x y
y x
y x e
és:
A) {( x y , )∈ ℝ 2 | y − 2 x + 1 ≠ 1, y − 2 x + 1 > 0 }***
B) {( x y , )∈ ℝ^2 | y − 2 x + 1 ≠ 1, y − 2 x + 1 < 0 }
C) Tot ℝ^2
D) {( x y , )∈ ℝ^2 | ln ( y − 2 x + 1) > 0 }
EXERCICI: Donada la funció f ( , x y ) = x^2^ + ( y − 4)^2 es compleix:
A)
2 0 (0 , 4) 0 2
Hf
= (^)
i per tant en (0,4) hi ha un Mínim local ***
B) ∇ f (4.4 , 4.4) =(0.8 , 4.8)
C) ∇ f (4 , 4) =(8 , 4)
D)
4 0 (2 , 0) 0 2
Jf
= (^)
EXERCICI: En quina direcció des del punt (0,1) creix més ràpidament la funció
f ( , x y ) = x^2^ y + xy^2 − 2 xy
A) v = −( 1, 0)
B) v = (0, −1)
C) En qualsevol D) v = (1, −1)
EXERCICI: Donada la funció f ( , x y z , ) = a^ z^3 + 5y 2 + x^4 + e x^ +^ y^ + az − 1 , tenim que per
poder aplicar-li en un entorn del punt (0,0,0) el teorema de la funció implícita i trobar
z = φ ( , x y )necessitem:
A) a ≠ 0 *** B) a = 0, z = 0
C) a ≥0 i z< D) a ≠ 0 i z ≠ 0
EXERCICI: Diem que una funció f és homogènia de grau r si compleix que:
f tx ty ( , ) = t r · f ( , x y ), t∈ℝ , segons aquesta definició, la funció: 2 2
2
5 ( , )
y
y xy
x f x y −
=
A) És homogènia de grau r =2 *** B) És homogènia de grau r =
C) No és homogènia. D) És homogènia de grau r =
EXERCICI: Considerem la funció
(^1 ) F K L ( , ) = 6 K L , sabent que el benefici de
produir i vendre F K L ( , ) unitats és
B K L = F K L − K − L. Quin punt és el
candidat a extrem local de la funció de Benefici?
A) (^) ( 15 , 15^4 3 )***
B) (^) ( 15 , 15^3 3 )
C) (^) ( 15 , 15 4 4 )
D) (^) ( 15 , 15 3 4 )
EXERCICI: Tant la funció
(^1 ) F K L ( , ) = 6 K L com la funció B K L ( , ) (^) del problema
anterior només tenen sentit quan K L ,^^ >^0 , llavors el nostre candidat a punt extrem de
la resposta anterior és:
A) Màxim local *** B) Mínim local
C) Mínim global D) Punt de sella
EXERCICI: Donada la funció w = 4 xy , on 2 2
x s t , y
st
= − = llavors ( , ) s t
w s
∂ ∂
val:
A)
2 2 (^4 )
s t s t
B)
2 3 2
4 s 4 t s t
C)
2 4
s t s
D)
t st
EXERCICI: La derivada direccional per a la funció f ( , x y ) = x^2 − 5 xy + 3 y^2 , en el
punt P = ( 3, -1)en la direcció
v
val:
A)
D f v
B) D fv (3, −1) = 0
C)
D f v − =
D)
D f v − =
EXERCICI: Definida la funció f ( , x y ) = ( x − 2)^2 + y^2 sota la condició 2 2 = 9 16
x y
- respecte els seus extrems podem dir que:
A) Té mínims en (3, 0) i ( 3, 0)− amb λ = 3 i λ= 15 respectivament ***
B) Té màxim en ( 3, 0)− , mínims en (0, 4) i (0, −4) C) Té mínim en (3, 0) i màxims en (0, 4) i (0, −4)
D) Té màxim en (3, 0) , mínim en ( 3, 0)− amb λ = − 3
EXERCICI : Donada la funció f ( , x y )= x^2^ + y^2 − xy + x + y en el conjunt
{ }
D = ( , x y ) ∈ ℝ^2 / x , y ≤ 0, x + y ≥ − 3 respecte els seus extrems podem dir que:
A) Té màxim i mínim absoluts ja que podem aplicar-li el T. Weierstrass *** B) Només té màxim absolut C) No té cap, ni màxim ni mínim absoluts D) Només té mínim absolut
EXERCICI: Sabem que el punt (1,1,1) és un possible extrem per a f ( , x y z , ) i que la
seva matriu Hessiana en aquest punt és ( )
Hf a a
= ^ −
Llavors:
A) El punt (1,1,1) és sempre un punt de sella *** B) El punt (1,1,1) és sempre màxim local
C) El punt (1,1,1) és sempre mínim local D) El punt (1,1,1) és un punt de sella només quan a = 0
