Examen de Matemáticas: Ejercicios sobre espacios vectoriales y matrices - Prof. Banyuls, Exámenes de Matemáticas

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MATEMÀTIQUES (UPV)

EXAMEN MATEMATICAS

RIVERA ORTUN, MARÍA JOSÉ 16-

MATEM ATICAS — 30 de noviembre de 2015´

Entrega 1

Ejercicio 1

1. Defina espacio vectorial. (0.5 p.)
2. Explique de la manera m´as clara posible cu´ales son las propiedades o caracter´ısticas fundamenta- les que se pueden suponer cuando nos dicen que un conjunto “tiene estructura de espacio vecto- rial”. (0.5 p.)
3. Razone si el conjunto de la funciones reales que son integrables Riemann en el intervalo [a, b], con las operaciones usuales de suma de funciones y prodcuto por un escalar, tiene estructura de espacio vectorial. Dicho conjunto se denota por (1 p.) I[a, b] = {f : [a.b] → R tales que f (x) es integrable Riemann en [a, b]}
4. Razone si el comjunto de las soluciones de la ecuaci´on diferencial

y′^ +

y x

= x^3 ,

con las operaciones usuales de suma de funciones y prodcuto por un escalar, tiene estructura de espacio vectorial. (0.5 p.)

Ejercicio 2 Dada la matriz A =

1. Calcule su determinante, razone si es invertible y en caso afirmativo calcule su inversa. Compruebe que su respuesta es correcta. (1 p.)
2. Calcule la matriz X soluci´on de la ecuaci´on matricial (1 p.)

AX + C = D, donde C =

 , D =

Entrega 2

Ejercicio 3 Sea el espacio

H = lin{(1, 0 , 2 , −1), (− 2 , 1 , 1 , 0), (− 1 , − 1 , − 7 , 3)}

1. Obtenga un sistema generador de H. (0.5 p.)
2. Obtenga una base y dimensi´on de H. (1 p.)
3. Exprese H mediante ecuaciones impl´ıcitas. ¿Cu´antas ecuaciones impl´ıcitas ha utilizado para expresar H? ¿Se puede expresar H con menos ecuaciones impl´ıcitas? ¿Se puede expresar H con m´as ecuaciones impl´ıctas? Razone las respuestas. (1 p.)
4. Razone si los vectores (1, − 1 , − 3 , 1) y (1, − 1 , 1 , 1) pertenecen a H. (1 p.)
5. A˜nada los vectores que sean necesarios a la base obtenida en el apartado 2 de manera que el nuevo conjunto sea una base de R^4. (1 p.)
6. Sea J =

(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ R^4 :

x 1 − 2 x 2 − x 3 − x 4 = 0 2 x 1 − 4 x 2 + x 3 − x 4 = 0

Calcule base y dimensi´on de J. ¿Ser´ıa capaz de encontrar otra base de J distinta de la calculada anteriormente? Escr´ıbala en caso afirmativo. Justifique su respuesta. (1 p.)

ETSI Agron´omica y del Medio Natural — Grado Biotecnolog´ıa — Matem´aticas (c´odigo 11114)