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Profesores: Pablo Saiz, Antonio Guerrero
Tema 0. Matrices.
Definición
Una matriz de orden n x m es un conjunto de n·m elementos situados ordenadamente en n filas y m columnas.
Tipos
Las matrices cuadradas son aquellas en las que el número de filas coincide con el número de columnas, n = m. En las matrices cuadradas llamamos diagonal principal a los elementos en los que los subíndices i y j coinciden. La suma de estos elementos se denomina traza (Traz(A)).
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Operaciones con matrices
a) Suma de matrices: La suma de dos matrices del mismo orden, A y B, da como resultado otra matriz de igual orden, C, cuyos elementos se obtienen de la siguiente forma:
Propiedades:
Asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C
Conmutativa: A+B = B+A Elemento neutro: A+0 = A Elemento opuesto: A+(-A) = 0
b) Producto de escalar por matriz: el producto de un escalar k por una matriz A es una matriz B que se obtiene multiplicando el escalar k por cada uno de los elementos de la matriz A.
c) Producto matricial: El producto de una matriz A de orden nxm , por una matriz B de orden mxp es igual a una matriz C de orden nxp , cuyo elemento genérico es el resultado de sumar los productos de los elementos de la fila i de A por los elementos de la columna j de B de la siguiente forma:
Propiedades:
Asociativa: A(BC) = (AB)C Distributiva: A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA No conmutativa: AB ≠ BA
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Determinante de una matriz de orden 2:
Determinante de una matriz de orden 3 (Regla de Sarrus):
Determinante de una matriz de orden superior a 3:
Existen distintos métodos que permiten calcular el determinante de una matriz de orden superior a tres, el más utilizado es el de los adjuntos.
a) Por adjuntos La suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) por sus respectivos adjuntos es igual al determinante de la matriz.
b) Determinante de una matriz triangular
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Propiedades de los determinantes
Para el cálculo del determinante de una matriz cuadrada, no triangular, de orden mayor a tres, también se puede recurrir a las propiedades de los determinantes.
2.- Calcular el determinante de las siguientes matrices:
𝐴 = [
] 𝑦 𝐵 = [
]
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Expresiones y ecuaciones matriciales
Expresión matricial: Toda expresión en la que intervengan matrices cuyos órdenes sean conformes con las operaciones a las que van sometidas.
Ecuación matricial: Es toda igualdad entre expresiones matriciales en la que todas las matrices sean conocidas excepto una que es la matriz incógnita.
𝐴𝑋 = 𝐵 → 𝐴−1𝐴𝑋 = 𝐴−1𝐵 → 𝐼𝑋 = 𝐴−1𝐵 → 𝑋 = 𝐴−1𝐵
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones y n incógnitas x 1 , x 2 , x 3 ,…, xn, pudiéndose expresar mediante su forma algebraica,
O escrito en forma matricial:
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Discusión del sistema (Teorema de Rouché Frobenius)
Para la discusión de un sistema de ecuaciones A·X=b nos apoyaremos en el cálculo del rango de las dos matrices: la matriz A (formada por los coeficientes del sistema) y la matriz A* (añadiéndole como última columna el vector de términos independientes).
Si rg(A) = rg(A) = r; entonces el sistema posee solución y diremos que es compatible. En este caso podemos distinguir: o Si rg(A) = rg(A) = n, el sistema tiene una única solución y es SCD. o Si rg(A) = rg(A) < n, el sistema tiene infinitas soluciones y es SCI. Si rg(A) ≠ rg(A); el sistema es incompatible y no tiene solución (SI).
Apreciaciones:
Si el sistema es compatible indeterminado, n-r será el número de parámetros o variables libres (que pueden tomar cualquier valor real) de las soluciones del sistema.
Si el sistema es compatible, m-r es el número de ecuaciones redundantes y para su resolución m-r ecuaciones dependientes pueden ser “eliminadas”.
Resolución del sistema (Regla de Cramer)
Se denomina sistema de Cramer a cualquier sistema de ecuaciones lineales con el mismo número de incógnitas que de ecuaciones tal que la matriz de coeficientes es regular (su determinante es distinto de cero).
A·X= B tal que lAl ≠ 0
Todo sistema de Cramer es Compatible Determinado.
Los sistemas de Cramer se pueden resolver de dos maneras:
Método de la matriz inversa: 𝑋 = 𝐴−1𝐵
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5.- Discutir y resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a).
x+2y-z = 2
x+y+z= 3
2x+4y-2z= 1
b).
x+2y+z= x+y+z= 2x+4y-2z=
c).
2x+y+z= x+2y-2z= 3x+3y-z=
d).
2x-5y+3z= x-y+z= 3x+ay+z=
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Tema 1. Espacio Vectorial.
CONCEPTOS PREVIOS
En física se puede definir un vector (𝑣) como una magnitud física definida en un sistema de referencia y que se caracteriza por tener modulo, dirección y sentido (Ej: la velocidad o la fuerza).
Ej: Sea ℝ el conjunto de números reales. ℝ^2 identifica el conjunto de
todos los pares de números reales, ℝ^2 = {(𝑥, 𝑦)| 𝑥 ∈ ℝ , 𝑦 ∈ ℝ}. Al
primer elemento “x” del vector (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ^2 se le denomina primera
componente y al segundo “y” segunda componente.
Se llama sistema de referencia en el plano al par {𝑂; 𝐵} donde O es
un punto fijo en el espacio y B una base de ℝ^2 :
O es el origen del sistema de referencia
B = 𝑢 1 , 𝑢 2 es la base del sistema de referencia.
Operaciones con vectores:
Suma de dos vectores ( 𝒖 + 𝒗 ): (2,3) + (3,5) = (5,8)
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∀𝑎 ∈ 𝐾 (𝑎 ≠ 0), ∃ 𝑎−1^ ∈ 𝐾/𝑎 · 𝑎−1^ = 𝑎−1^ · 𝑎 = 1
Definición Espacio Vectorial:
Sea K un cuerpo y V un conjunto no vacío; diremos que V es un espacio vectorial sobre K (o K-espacio vectorial) si:
a) Existe un conjunto E con estructura de Grupo conmutativo (V, +) cuyos elementos se denominan vectores (𝑣). b) Existe un conjunto K con estructura de Cuerpo conmutativo
(K,+,·) cuyos elementos se denominan escalares
c) Existe un producto externo que relaciona a ambos y que opera un escalar y un vector.
Este producto externo debe cumplir las siguientes propiedades:
I. Distributiva respecto de la suma de vectores:
∀𝑣1,𝑣 2 ∈ 𝐸, ∀𝑘 ∈ 𝐾/𝑘 · (𝑣 1 + 𝑣 2 ) = 𝑘 · 𝑣 1 + 𝑘 · 𝑣 2
II. Distributiva respecto de la suma de escalares: ∀𝑣 ∈ 𝐸, ∀𝑘 1 , 𝑘 2 ∈ 𝐾/(𝑘 1 + 𝑘 2 ) · 𝑣 = 𝑘 1 · 𝑣 + 𝑘 2 · 𝑣
III. Asociativa mixta o pseudoasociativa: ∀𝑣 ∈ 𝐸, ∀𝑘 1 , 𝑘 2 ∈ 𝐾/(𝑘 1 · 𝑘 2 ) · 𝑣 = 𝑘 1 · (𝑘 2 · 𝑣)
IV. Elemento neutro:
1 · 𝑣 = 𝑣
El producto externo es por tanto el enlace entre los vectores y los escalares.
Propiedades de los espacios vectoriales:
I. El producto de un escalar por el vector nulo es el vector nulo: 𝑘. 𝜗 = 𝜗 ∀𝑘 ∈ ℝ II. El producto del escalar nulo por cualquier vector es el vector nulo:
- 𝑣 = 𝜗 ∀𝑣 ∈ E III. 𝑘 · (−𝑣) = −𝑘 · (𝑣) = −(𝑘 · 𝑣); ∀𝑘 ∈ ℝ, ∀𝑣 ∈ 𝐸 IV. Si 𝑘 · 𝑣 = 𝜗, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑜 𝑘 = 0 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑣 = 𝜗
Donde 𝜗 = 𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑙𝑜
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Conceptos sobre espacios vectoriales
1. Combinación lineal de vectores:
Un vector 𝒗 es combinación lineal de los vectores 𝑣 1 , 𝑣 2 ,…, 𝑣𝑛 si es el resultado de sumar los productos de dichos vectores por escalares 𝑘 1 , 𝑘 2 , … , 𝑘𝑛:
𝑣 = 𝑘 1 · 𝑣 1 + 𝑘 2 · 𝑣 2 + ⋯ + 𝑘𝑛 · 𝑣𝑛
Es decir, es posible generar un vector 𝒗 ∈ ℝ𝒏^ como resultado de sumar los productos de dichos vectores por los escalares 𝑘 1 , 𝑘 2 , … , 𝑘𝑛. Además, a dichos escalares los denominaremos coordenadas del vector v respecto a los vectores 𝑣 1 , 𝑣 2 ,…, 𝑣𝑛.
Ejercicio 1:
¿Es el vector 𝑢= (3,2) combinación lineal de los vectores 𝑣 1 = (1,2) y 𝑣 2 = (2,4)?
Ejercicio 2:
¿Es el vector u= (12,10) combinación lineal de los vectores 𝑣 1 = (4,6), 𝑣 2 = (2,1) y 𝑣 3 = (2,5)?
Propiedades sobre la combinación lineal de vectores
I. Todo vector siempre es combinación lineal de sí mismo, tomando como escalar el 1. 𝑢 = 𝑢 · 1
II. El vector nulo es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores, considerando para ello los escalares iguales a cero. Un ejemplo en ℝ^3 sería: (0,0,0) = 0 · 𝑣 1 + 0 · 𝑣 2 + 0 · 𝑣 3
III. Dado un conjunto de vectores, cualquiera de ellos es combinación lineal del conjunto. 𝑣𝑖 = 0 · 𝑣 1 + ⋯ + 1 · 𝑣𝑖 + ⋯ + 0 · 𝑣𝑛
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{(1,1,1), (1,0,1), (4,2,4)}.
3. Teorema de unicidad
Si el vector 𝑣 es c.l. de otros {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣𝑛} que son L.I., sus coordenadas respecto a los L.I. son únicas.
En el ejemplo 2 vemos como existen infinitas soluciones de obtener el vector u como c.l. de los restantes, por lo que dichos vectores serán L.D.
4. Sistema generador
Sistema generador de un espacio vectorial {V, K} es cualquier conjunto de vectores tales que todo vector del espacio sea c.l. de ellos.
∀𝑣 ∈ 𝐸, 𝑣 = 𝑘 1 ·(𝑣 1 ) + 𝑘 2 · (𝑣 2 ) + ⋯ + 𝑘𝑛 · (𝑣𝑛)
Un sistema generador puede incluir vectores L.D. y vectores L.I. Evidentemente es más operativo que todos los vectores sean L.I., ya que de esta manera no tendremos “información redundante”.
5. Base de un espacio vectorial (sistema de referencia del espacio vectorial)
Un conjunto de vectores 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣𝑛 se dice que son base de un espacio vectorial si además de ser sistema generador del espacio son L.I.
Coordenadas de un vector respecto de una base:
Dada una base 𝐵 = 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣𝑛 las coordenadas del vector 𝑢 respecto de dicha base son los escalares {𝑘 1 , 𝑘 2 , … , 𝑘𝑛} tales que:
𝑢 = 𝑘 1 · 𝑣 1 + 𝑘 2 · 𝑣 2 + ⋯ + 𝑘𝑛 · 𝑣𝑛
La base más sencilla en el espacio ℝ𝑛^ es la base canónica, es decir, aquella base cuyos vectores tienen todas sus componentes iguales a cero excepto una.
Base canónica de ℝ^2 : {(1,0),(0,1)} = {𝑒 1 , 𝑒 2 }
Base canónica de ℝ^3 : {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} = {𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 }
y así sucesivamente hasta ℝ𝑛.
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Teoremas de las bases
I. De todo sistema generador finito de un espacio vectorial V puede extraerse una base. II. Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores, entonces todo conjunto de n vectores linealmente independientes es base de V. III. Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores, entonces no pueden existir más de n vectores linealmente independientes en V. IV. Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores, todas las bases de V tienen n vectores. Base = sistema generador mínimo
Además: Mínimo número de coordenadas necesarias para determinar a cualquier vector del espacio = número de vectores que componen una base cualquiera del espacio = máximo número de vectores linealmente independientes del espacio.
6. Dimensión de un espacio vectorial: Dim(E)
La dimensión de un espacio vectorial {V, K} es igual al máximo número de vectores linealmente independientes que pueden existir en dicho espacio.
Es también el mínimo número de vectores que se necesitan para generar a los demás.
Y también el número de vectores que tendrá una base cualquiera del espacio.
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Ejercicio 5:
Averiguar si los vectores 𝑣 1 =(2,3,1), 𝑣 2 =(4,1,0), 𝑣 3 = (0,5,2) y 𝑣 4 = (0,3,0) son sistema generador de ℝ^3.
Ejercicio 6:
Dados los vectores 𝑣 1 = (1,-2,3), 𝑣 2 = (5,0,1), 𝑣 3 = (4,1,0) y 𝑣 4 = (2,1,-1), determinar razonadamente si son base y sistema generador de ℝ^3.
Ejercicio 7:
Determinar si los vectores 𝑣 1 =(1,1,1), 𝑣 2 =(1,1,0) y 𝑣 3 =(1,0,0) son sistema generador y calcular las coordenadas del vector 𝑢=(2,1,1) en relación a la base que forman 𝑣 1 , 𝑣 2 y 𝑣 3.
SUBESPACIO VECTORIAL
Sea E un espacio vectorial sobre K y sea S un subconjunto no vacío, decimos que S es un subespacio vectorial de E si se verifica las siguientes condiciones:
S es cerrado para la suma:
∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆; 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆
S es cerrado para el producto por escalares:
∀ 𝑢 ∈ 𝑆, ∀ 𝑎 ∈ 𝐾; 𝑎 · 𝑢 ∈ 𝑆
Variedad lineal
Dado un conjunto de vectores {𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢𝑛} de un espacio vectorial E, denotaremos por 𝑆 = ℒ(𝑣 1 , 𝑣 2 … 𝑣𝑛), variedad lineal, al subconjunto de E formado por todas las combinaciones lineales de los n vectores.
ℒ = {𝑥⃗ ∈ 𝐸 / 𝑥⃗ = 𝑢 1 ∙ 𝜆 1 + 𝑢 2 ∙ 𝜆 2 + ⋯ + 𝑢𝑛 ∙ 𝜆𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ}
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Ecuaciones de un subespacio vectorial
1. Ecuaciones paramétricas de un subespacio vectorial:
Dado un subespacio 𝑆 = ℒ(𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢𝑛) y suponiendo que los vectores son L.I. (su dimensión es n), se definen sus ecuaciones paramétricas expresando el vector genérico 𝑥⃗ del subespacio como combinación lineal de los vectores {𝑢 1 , 𝑢 2 ,…,𝑢𝑛}
𝑥⃗ ∈ ℒ / 𝑥⃗ = 𝑢 1 ∙ 𝜆 1 + 𝑢 2 ∙ 𝜆 2 + ⋯ + 𝑢𝑛 ∙ 𝜆𝑛 𝑑𝑖𝑚 (𝑆) = 𝑟𝑔(𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢𝑛) = 𝑛
2. Ecuaciones cartesianas de un subespacio vectorial.
El conjunto de soluciones de cualquier sistema de ecuaciones homogéneo (A𝑥⃗ = 0) forman un espacio vectorial.
𝑆 = {𝑥⃗ ∈ ℝ𝑛^ / A𝑥⃗ = 0 }, siendo 0 el vector nulo.
Además, se verifica que su dimensión es:
𝑑𝑖𝑚 (𝑆) = 𝑛 − 𝑟𝑔(𝐴)
Al sistema homogéneo (A𝑥⃗=0) se denomina ecuaciones cartesianas del subespacio y representa las condiciones de pertenencia al subespacio de un vector genérico del espacio expresado a través de sus componentes (𝑥1,𝑥 2 , … , 𝑥𝑛).
Ejercicio 8:
Dado un subespacio vectorial definido por: {(𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) ∈ ℝ^3 / 5𝑥 1 + 2𝑥 2 + 𝑥 3 = 0}, obtener las ecuaciones paramétricas del subespacio a partir de la forma implícita.
Ejercicio 9:
Averigüe si los vectores 𝑣 1 =(1,1,1,1), 𝑣 2 =(1,1,1,0), 𝑣 3 = (1,1,0,0) son base de un subespacio vectorial L de ℝ^4. En caso afirmativo encuentre las ecuaciones del subespacio.
Ejercicio 10:
Dado los vectores 𝑣 1 = (1,-2,3), 𝑣 2 = (5,0,1), 𝑣 3 =(4,1,0) y 𝑣 4 =(2,1,-1). Determinar si son sistema generador y base de ℝ^3. Además, encuentre las ecuaciones del subespacio vectorial formado por 𝑣 1 y 𝑣 2.
