¡Descarga EXAMEN MATEMÁTICA DISCRETA y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Departamento de Análisis Matemático y Discreto
UNIVERSIDAD DE MURCIA
GRADO EN MATEMÁTICAS
MATEMÁTICA DISCRETA
APELLIDOS: GRUPO:
NOMBRE: DNI:
Nota: Todos los procesos del examen deben realizarse con bolígrafo azul o negro. Está
permitido el uso de calculadora. Todos los procesos de cálculos deben ir reflejados por
escrito, no se calificará aquel ejercicio en el cual aparezca sólo el resultado final.
PUNTUACIÓN OBTENIDA EN CADA EJERCICIO NOTA FINAL
E 1 : E 2 : E^3 :^ E^4 :
PRIMER EJERCICIO (E 1 ) 2 , 5 PUNTOS
Sea 𝑅(𝑟, 𝑠)el número de Ramsey clásico para dos colores (azul y rojo).
(a) [ 1 pto.] Demuestre analíticamente la cota superior fundamental de Erdős-Szekeres:
(b) [1.5 ptos.] Utilice el Método Probabilístico (específicamente, un argumento de conteo de valor esperado o alteración) para demostrar que si, entonces el número de Ramsey diagonal satisface 𝑅(𝑘, 𝑘) > 𝑛. A partir de este resultado, deduzca la cota inferior asintótica:
SEGUNDO EJERCICIO (E 2 ) 2 , 5 PUNTOS
Sea 𝑝(𝑛) el número de particiones de un entero positivo 𝑛.
(a) [ 1 pto.] Demuestre, utilizando manipulaciones algebraicas formales de series de potencias, la Identidad del Pentágono de Euler:
- Nota: Puede ayudarse de una interpretación combinatoria mediante particiones con un número par/impar de partes distintas.
(b) [1.5 ptos.] A partir de la identidad anterior, deduzca la fórmula de recurrencia lineal para el cálculo de 𝑝(𝑛) y utilícela para calcular explícitamente el valor de 𝑝(10), mostrando detalladamente cada término de la suma.
TERCER EJERCICIO (E 3 ) 2 , 5 PUNTOS
(a) [1.25 ptos.] Demuestre el Teorema de Brooks: Si 𝐺es un grafo conexo que no es un grafo completo ( 𝐾𝑛) ni un ciclo impar ( 𝐶2𝑘+1), entonces su número cromático satisface:
Donde ∆(𝐺)representa el grado máximo del grafo. (Se exige la demostración completa para el caso en que el grafo sea 2-conexo o mediante bloques).
(b) [1.25 ptos] Un grafo 𝐺 = (𝑉, 𝐸) se dice perfecto si para cada subgrafo inducido 𝐻 ⊆ 𝐺, el número cromático de 𝐻 es igual al tamaño del clique máximo de𝐻 𝐻(χ(𝐻) = ω(𝐻)). Demuestre si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: "El complemento de un grafo cordal (un grafo donde todo ciclo de longitud mayor o igual que 4 tiene una cuerda) es siempre un grafo perfecto". Justifique basándose en el Teorema Fuerte de los Grafos Perfectos.
CUARTO EJERCICIO (E 4 ) 2 , 5 PUNTOS
(a) [1 pto.] Sea 𝑋 un conjunto de 𝑣elementos. Un diseño de bloques incompleto equilibrado, o 2 − (𝑣, 𝑘, λ)-diseño, es una familia de subconjuntos de 𝑋(bloques) de tamaño 𝑘, tal que cada par de elementos aparece exactamente en λbloques. Demuestre algebraicamente que el número total de bloques 𝑏 y el número de repeticiones 𝑟de cada elemento satisfacen obligatoriamente:
