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El análisis de un circuito eléctrico en el dominio de laplace y la obtención de la función de transferencia de un filtro digital utilizando la transformación bilineal. Se calculan las corrientes y tensiones iniciales en bobinas y condensadores, y se simplifica el circuito en el dominio de laplace. Se obtienen los coeficientes de la función de transferencia del filtro digital y se muestra su arquitectura directa.
Tipo: Exámenes
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Ig + − Y 5
− +
a
Circuito A
a) Calcule el voltaje en el punto a, en funci´on de Ig y de todas las admitancias Y 1 ,... , Y 5.
b) Determine los equivalentes de Th´evenin y Norton del circuito A.
c) Suponga ahora que Y (^) i− 1 son resistencias de valor 100 Ω, excepto Y 2. ¿Qu´e componente ha de ser Y 2 , y de qu´e valor, para que A sea equivalente a un inductor L = 10 μH?
Suponga que, en las condiciones de la pregunta anterior, se utiliza A en el circuito siguiente:
Vg
Rg
Va vg(t) = 5 cos(ωt) V (t en segundos) Rg = 1 Ω C = 5 μF
d) Calcule la funci´on de transferencia H(ω) = Va(ω)/Vg(ω).
e) Determine va(t), para f = 2 ωπ = 50 kHz.
f) Calcule a qu´e frecuencia o frecuencias se hace m´axima la amplitud de Va, y a qu´e frecuencia o frecuencias se hace m´ınima, indicando en cada caso dicha amplitud. ¿Qu´e tipo de filtro es el circuito con la funci´on de transferencia definida?
donde Y 2 se corresponde a la admitancia de un condensador que denominamos CL, cuyo valor de capacidad es:
CL = 10−^4 L = 10−^4 × 10 × 10 −^6 F = 1 nF.
d) Transformando el generador de tensi´on en uno de corriente y sustituyendo el circuito A por su equivalente (inductancia dada en el enunciado del apartado anterior) es facil calcular la funci´on de transferencia
Vg Rg Rg^ C^ L
Va Va =
Vg/Rg 1 Rg +^ jωC^ +^
1 jωL
Vg 1 + jRg
ωC − (^) ωL^1
H(ω) = Va Vg
1 + jRg
ωC − (^) ωL^1
e) Para ω = 2π 50 × 103 rad/s y con Rg = 1 Ω, C = 5 μF, L = 10 μH, la funci´on de transferencia es H =
1 + 1. 252 j = 0. 624 e−^0.^897 j
En cuanto al generador de tensi´on, la se˜nal vg(t) = 5 cos(ωt) se corresponde con el fasor complejo Vg = 5. El fasor complejo de la tensi´on en el punto a es entonces Va = VgH(ω) = 5 H(ω), y por lo tanto el valor de dicha tensi´on en el dominio del tiempo es:
va(t) = 5 |H| cos(ωt − Arg {H}) = 3.120 cos(ωt − 0 .897)
f) La amplitud de Va es proporcional a |H(ω)|. Para el estudio de m´aximos y m´ınimos se puede utilizar por tanto el cuadrado del m´odulo de la funci´on de transferencia:
|H(ω)|^2 =
1 + R^2 g
ωC − (^) ωL^1
El m´aximo se alcanza cuando se anula ωC − (^) ωL^1 , es decir, a la frecuencia
ω 0 =
2 × 105 rad/s ⇒ f 0 = 22.508 kHz
para la cual el valor del m´odulo de la funci´on de transferencia es
|H|m´ax = |H(ω 0 )| = 1
y el valor de amplitud m´axima de Va es
|V |m´ax = |Va(ω 0 )| = |Vg| = 5 V. (1)
Los m´ınimos se alcanzan cuando ωC − (^) ωL^1 → ∞, es decir, para ω = 0 y ω → ∞. En estos casos la amplitud se anula. La funci´on de transferencia se anula para frecuencias bajas y altas, y tiene un m´aximo a frecuencias intermedias. Se trata por tanto de una respuesta de tipo paso banda.
eg (t)
L/
C/2 VC
Rg L/2 R
IL
C/2 RL
L
R
Figura 1: Circuito.
a) Dibuje el circuito equivalente en el dominio de Laplace para t ≥ 0, incorporando las condiciones iniciales en dicho circuito (5 puntos).
b) A partir del circuito del apartado anterior, plantee las ecuaciones que permitan caracterizar el comportamiento del circuito en el dominio de Laplace para el caso en que VC = 0 V, IL = 0 A y RL = Rg + R. Exprese las ecuaciones en forma matricial (5 puntos).
c) Calcule la tensi´on en la resistencia RL en el dominio de Laplace para t > 0, vRL (s), obteniendo para ello la transformada de Laplace de la excitaci´on, Eg(s) = L {eg(t)}. Considere como excitaci´on del circuito la se˜nal eg(t) = E 0 (1 − e−t/T^ )u(t). Si lo desea puede particularizar dichas expresiones para el caso en que L = 1H, C = 1F, RL = 1Ω, E 0 = 1V y T = 1s (5 puntos).
d) Calcule finalmente sin hacer uso del dominio temporal las tensiones vRL (0+) y vRL (t → ∞). Justifique la aplicaci´on de los teoremas empleados para ello (5 puntos). NOTA: Si no ha resuelto el apartado anterior asuma vRL (s) = (^) s(s+1)(s (^3) +2Ks (^2) +2s+2).
e) Indique cu´al de las siguientes opciones puede corresponder a la expresi´on temporal de la tensi´on en la resistencia vRL (t) para t > 0. Justifique su elecci´on. No es necesario calcular los valores num´ericos de las constantes que aparecen en las expresiones (5 puntos). NOTA 1: Si no ha resuelto el tercer apartado asuma vRL (s) = (^) s(s+1)(s (^3) +2Ks (^2) +2s+2). NOTA 2: Las ra´ıces del polinomio
s^3 + 2s^2 + 2s + 2
son p 1 , p 2 y p∗ 2 , donde p 1 ∈ R−, {p 2 , p∗ 2 } ∈ C, Re{p 2 } = Re{p∗ 2 } < 0 y Im{p 2 } 6 = 0.
Eg(s)
Rg + R (^) L L RL
+^ VRL (s)^ −
I 1 (s) (^) C I 2 (s)
Si se tiene en cuenta que Rg + R = RL, las ecuaciones de mallas quedan de la siguiente forma:
Eg(s) = I 1 (s)
RL + sL +
sC
− I 2 (s)
sC
0 = I 2 (s)
sC
− I 1 (s)
sC
que tambi´en se pueden expresar de forma matricial: { Eg(s) 0
RL + sL + (^) sC^1 − (^) sC^1 − (^) sC^1 RL + sL + (^) sC^1
I 1 (s) I 2 (s)
c) Sustituyendo los valores de L = 1 H, C = 1 F y RL = 1 Ω en el resultado del apartado anterior, y utilizando el m´etodo de Cramer, se despeja I 2 (s):
I 2 (s) =
1 + s + (^1) s Eg(s) − (^1) s 0
1 + s + (^1) s − (^1) s − (^1) s 1 + s + (^1) s
Eg(s) s^3 + 2s^2 + 3s + 2
La tensi´on en la resistencia RL es entonces:
VRL (s) = RLI 2 (s) =
Eg(s) s^3 + 2s^2 + 3s + 2 El c´alculo de la transformada de Laplace de eg(t) puede realizarse a partir de la transforma- da de la funci´on escal´on, y de la propiedad de desplazamiento en el dominio transformado:
u(t) −→L
s e−αtf (t) −→L F (s + α)
y por tanto
e−αtu(t) −→L
s + α Con estos pares transformados, y la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace, se obtiene
Eg(s) = L
1 − e−^ Tt^ ) u(t)
L {u(t)} − L
e−^ Tt u(t)
s
s + (^) T^1
1 T s(s + 1)
Teniendo en cuenta que T = 1, la expresi´on final de VRL (s) es:
VRL (s) = RLI 2 (s) =
s(s + 1)(s^3 + 2s^2 + 3s + 2)
d) El valor del de vRL (0+) se puede calcular aplicando directamente el teorema del valor inicial: vRL (0+) = l´ım t→ 0 +^
vRL (t) = l´ım s→∞ sVRL (s) = 0
Para utilizar el teorema del valor final en el c´alculo de vRL (t → ∞) debe comprobarse que se cumplen sus hip´otesis, es decir, que la funci´on compleja F (s) = sVRL (s) es anal´ıtica en el semiplano complejo derecho incluyendo el eje imaginario (la regi´on donde se cumple Re {s} ≥ 0), o lo que es equivalente, que los polos de la funci´on racional F (s) tengan parte real estrictamente negativa (se encuentre estrictamente en el semiplano complejo izquierdo). Los polos de la funci´on F (s) son las ra´ıces del polinomio (s+1)(s^3 +2s^2 +3s+2), que son: { −1 (doble) , −
± j
Todos los polos de F (s) = sVRL (s) tienen parte real negativa, por lo que puede aplicarse el teorema del valor final:
l´ım t→∞ vRL (t) = l´ım s→ 0 sVRL (s) =
e) La funci´on VRL (s) tiene un polo simple en s = 0, un polo doble en s = −1 y una pareja conjugada de polos simples en s = − 12 ± j
√ 7
VRL (s) =
s(s + 1)(s^3 + 2s^2 + 2s + 2) entonces debe tenerse en cuenta que hay un polo simple en s = 0, un polo simple real en s = −1, otro polo simple real en s = p 1 donde p 1 6 = 0 y p 1 6 = 1 (el polinomio s^3 +2s^2 +2s+ no se anula en ninguna de esos dos valores) y finalmente una pareja de polos conjugados simples. Esta configuraci´on de polos se corresponde en el dominio del tiempo con la suma de una funci´on escal´on constante, dos exponenciales que decaen con el tiempo a diferentes ritmos, y una sinusoide cuya amplitud decae exponencialmente con el tiempo. En este caso la opci´on de las dadas en el enunciado que se ajusta a estas caracter´ısticas es la opci´on 4.
(^1) Es decir, cada uno de los polos identificados implica la existencia de los siguientes t´erminos en el dominio del tiempo: A s −→^ L−^1 Au(t) A (s + 1)^2 +^
B s + 1 −→^ L−^1 (At + B)e−tu(t) A (s + 12 − j
√ 7 2 )
∗ (s + 12 + j
√ 7 2 )
−→^ L−^1 2 |A| e−^ t^2 cos
( √ 7 2 t^ + Arg^ {A}
) u(t)
0 1 2 3 4 5 6 n
vn(t = 0) [V]
Figura 4: Gr´afico pedido en d.1. Tensiones en t = 0 cuando ω = 0.8 rad/2.
0 1 2 3 4 5 6 n
vn(t = 0) [V]
Figura 5: Gr´afico pedido en d.2. Tensiones en t = 0 cuando ω = 2 rad/2.
Respuesta:
Se asume que, en cada cuadripolo, el puerto de la izquierda se identifica con la etiqueta “1”, y el puerto de la derecha se identifica con la etiqueta “2”.
a) Para el cuadripolo A:
yA 11 =
V 2 =
= jωC = jω
yA 21 =
V 2 =
= −jωC = −jω
yA 12 =
V 1 =
= −jωC = −jω
yA 22 =
V 1 =
jωL
Para el cuadripolo B:
zB 11 =
I 2 =
= jωL = jω
zB 21 =
I 2 =
= jωL = jω
zB 12 =
I 1 =
= jωL = jω
zB 22 =
I 1 =
jωC
A id´enticos resultados se puede llegar mediante razonamientos equivalentes (por ejemplo teniendo en cuenta que el cuadripolo B y el cuadripolo A son id´enticos si se intercambian
las etiquetas con que se identifica los puertos de cada cuadripolo). En definitiva,
jω −jω −jω j ω (^2) − 1 ω
jω jω jω j ω (^2) − 1 ω
b) Para el cuadripolo A, las impedancias que se ven desde la izquierda cargando el puerto de la derecha con un corto y un abierto son, respectivamente,
ZA 1 ,sc =
jωC = −j
ω
ZA 1 ,oc =
jωC
y desde la derecha
Z 2 A,sc =
1 jωL +^ jωC^
= −j
ω ω^2 − 1 Z 2 A,oc = jωL = jω
Las impedancias imagen del cuadripolo A son, por tanto,
ZoA 1 =
Z 1 A,scZA 1 ,oc =
ω^2 − 1 ω ZoA 2 =
Z 2 A,scZA 2 ,oc = ω √ ω^2 − 1 y la funci´on de propagaci´on se calcula con la siguiente relaci´on:
tanh γA^ =
A 1 ,sc Z 1 A,oc
1 − ω^2
con la que se obtiene finalmente:
e^2 γ
1 + tanh γA 1 − tanh γA^
1 − ω^2 + 1 √ 1 − ω^2 − 1
⇒ γA^ =
ln
1 − ω^2 + 1 √ 1 − ω^2 − 1 Para calcular los par´ametros imagen del cuadripolo B basta con tener en cuenta que es id´entico al cuadripolo A si se le da la vuelta (se intercambian las etiquetas de los puertos, o se mira desde el otro lado de la hoja donde se dibuja el circuito):
ZBo 1 = ZAo 2 = ω √ ω^2 − 1
ZBo 2 = ZAo 1 =
ω^2 − 1 ω
γB^ = γA^ =
ln
1 − ω^2 + 1 √ 1 − ω^2 − 1
c) Teniendo en cuenta la definici´on de impedanacia imagen, y dados los resultados anteriores, si se carga el cuadripolo Q en uno de sus puertos con la impedancia ZAo 1 = ZoB 2 , entonces desde el otro puerto del cuadripolo Q cuadripolo veremos la misma impedancia ZoA 1 = ZBo 2 ,
n
vn
(t
d.2) Para ω = 2 rad/s,
eγ
Q = e−j^
π 3 ; Los fasores de las tensiones en la cadena son
Vn = 10ejn^
π 3
y en el dominio del tiempo dichas tensiones son
vn(t) = 10 cos
2 t + n π 3
con lo que se puede realizar el siguiente gr´afico:
n
vn
(t
d.3) La impedancia que ve el generador es la impedancia imagen del cuadripolo Q, por lo que en general la potencia entregada a la cadena es
Re
ZiQ
Para ω = 0.8 rad/s, ZiQ = j 34 , y por lo tanto
P |ω=0. 8 = 0 W
Para ω = 2 rad/s, ZiQ =
√ 3 2 , y por lo tanto
P |ω=2 =
donde Ω corresponde a la pulsaci´on del prototipo anal´ogico. Ello da lugar a la m´ascara de especificaciones del prototipo anal´ogico mostrada en la figura 2.
Figura 2: αp = 3 dB, αa = 15 dB, Ωp = 0.41421 rad/s, Ωa = 1 rad/s.
a.3) Determinaci´on del orden del prototipo Tras el c´alculo de los par´ametros de selectividad KS y discriminaci´on KD
Ωp Ωa
10 αp/^10 − 1 10 αa/^10 − 1
calculamos el orden m´ınimo de la respuesta de Butterworth:
n ≥ log(1/KD) log(1/KS )
= 1. 94 ⇒ n = 2 (2)
a.4) Obtenci´on de la funci´on de transferencia Ha(s) del prototipo anal´ogico: La funci´on de transferencia del filtro de Butterworth es la inversa del polinomio de Butterworth del orden correspondiente. Dichos polinomios est´an tabulados para pulsaci´on de corte a 3 dB unidad (Ω3dB = 1). De este modo, se tiene:
Ha(¯s) =
B 2 (¯s)
s¯^2 +
2¯s + 1
que desnormalizado a Ω3dB da:
Ha(s) =
B 2 (¯s)
s¯= (^) Ω3dBs
(s/Ω3dB)^2 +
2(s/Ω3dB) + 1
(Ω3dB)^2 s^2 +
2Ω3dBs + (Ω3dB)^2
donde elegimos Ω3dB de forma que la curva de atenuaci´on pase por el extremo de la banda de paso, es decir, Ω3dB = Ωp dado que αp = 3 dB. Sustituyendo valores, la respuesta Ha(s) queda como sigue:
Ha(s) =
s^2 + 0. 58 s + 0. 17
a.5) Obtenci´on de la funci´on de transferencia H(z) del filtro digital: La funci´on de transferencia H(z) se obtiene a partir de Ha(s) haciendo uso de la transformaci´on bilineal. As´ı, se tiene:
H(z) = Ha(s)|s= 1 −z− 1 1+z−^1
(Ω3dB)^2 z−^2 + 2(Ω3dB)^2 z−^1 + (Ω3dB)^2 (1 −
2 Ω3dB + (Ω3dB)^2 )z−^2 + (−2 + 2(Ω3dB)^2 )z−^1 + (1 +
2 Ω3dB + (Ω3dB)^2 ) (4)
en la que sustituyendo el valor correspondiente de Ω3dB da lugar a:
H(z) =
z−^2 +
z−^1 +
z−^2 −
z−^1 + 1
a.6) Realizaci´on del filtro
La expresi´on racional de H(z) obtenida en el apartado anterior corresponde a una relaci´on entre la salida y la entrada de un filtro digital como sigue:
y(n) = −
p=
bpy(n − p) +
q=
aqx(n − q) (7)
dado que su transformada Z es:
Y (z) = −Y (z)
p=
bpz−p^ + X(z)
q=
aqz−q^ (8)
Los valores de los coeficientes bp y aq se consiguen identificando coeficientes en la expresi´on de H(z):
a 0 = (Ω3dB)^2 1 +
2 Ω3dB + (Ω3dB)^2
a 1 = 2(Ω3dB)^2 1 +
2 Ω3dB + (Ω3dB)^2
= 2a 0
a 2 = a 0
b 1 = −2 + 2(Ω3dB)^2 1 +
2 Ω3dB + (Ω3dB)^2
b 2 =
2 Ω3dB + (Ω3dB)^2 1 +
2 Ω3dB + (Ω3dB)^2
La figura 3 muestra la denominada arquitectura directa del filtro que implementa las relaciones mostradas en (7) completando el dise˜no del filtro. N´otese el signo “−” que aparece junto a los coeficientes bp en la figura.
