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En este documento se presenta el análisis de sistemas dinámicos a través de la transformada de Laplace y la función de transferencia. Se explican las propiedades de la transformada de Laplace, cómo obtenerla y su relación con la función de transferencia. Además, se muestra cómo encontrar la función de transferencia de un sistema y su representación mediante un diagrama de bloques. Se incluyen ejercicios para practicar el concepto.
Tipo: Diapositivas
1 / 10
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En este trabajo se consolidan algunos conceptos empleados en el modelamiento de
sistemas, además serán afianzados mediante la realización de algunos ejercicios. Los
cuales representan los tipos de modelados de un sistema dinámico, mediante 5
diferentes circuitos mixtos RLC para su análisis en el modelo matemático del dominio
del tiempo, se analiza su controlabilidad y observabilidad para cada uno de estos
modelos.
Las transformadas de Laplace es una herramienta matemática, que se encargan de facilitar
el cálculo de operaciones integro-diferenciales. Esto se realiza cambiando el dominio del
tiempo a uno imaginario que denominaremos Dominio de Laplace, en donde la solución de
ecuaciones diferenciales se alcanza mediante procedimientos algebraicos.
Las transformadas comunes son las siguientes:
{
δ
t
}
s
2
{
u
t
}
s
{ t
n − 1
(n− 1 )
s
n
L {e
−at
}=
s+ a
cos (at)
s
s
2
2
sin (at)
a
s
2
+a
2
Es conveniente recalcar que para realizar las transformaciones inversas de Laplace se
utilizan las mimas formulas, pero en sentido contrario
1
1
Arnáez, B. E. (2014). Enfoque práctico del control moderno: con aplicaciones en
matlab. (pp. 19-33). Recuperado de:
Obtener la ecuación diferencial del sistema linealizado.
Se realiza la transformada de Laplace con condiciones iguales a cero.
Obtener el cociente entre la salida y la entrada del sistema, cuyo resultado es la
función de transferencia.
FT =G( s )=
Y (s)
U (s )
Esta función de transferencia se puede hallar de 3 formas
4
en lazo abierto
B( s)
E (s)
=G ( s) H (s )
en trayectoria directa
Y ( s)
E (s)
=G ( s)
FT en lazo cerrado
Y ( s)
R( s)
G( s)
1 +G(s ) H (s)
4
Noguera, A. (2018). Modelamiento de sistemas en el dominio de la frecuencia. [Archivo de video].
Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/
Teniendo en cuenta las ecuaciones lineales obtenidas en la etapa 1. Para los circuitos planteados
continuamos con el desarrollo de la presente etapa.
Circuito mixto RLC
1
i R
c
3
A continuación, se plantean dichas ecuaciones referentes al circuito
d V
c
dt
c
i
L
d i
L
dt
c
Para pasar dichas ecuaciones al dominio de la frecuencia, aplicamos la transformada de Laplace.
Para las ecuaciones se tiene
d V
c
dt
=s∗V
c
(s ) ;
d i
L
(t )
dt
=s∗i
L
( s ) ; V ( t) =V ( s )=U ( s)
c
( t) =V
c
( s) ;
L
( t) =V
L
( s )=Y ( s ) ; V
L
( t )=L
d i
L
(t)
dt
L
( s )=Ls∗i
L
( s )=Y (s)
Donde U ( s )es la entrada, Y (s)
la salida
e
o
=lim
s→ 0
s∗e(s)
Para el sistema en lazo cerrado
e=
1 +G( s)
U ( s)
Para una entrada escalón
e
o
=lim
s→ 0
s∗
1 +G(s )
s
e
o
=lim
s→ 0
3 s
18 s
2
A partir de la ecuación característica del sistema, determinar la estabilidad del mismo
Empleando la herramienta Matlab.
n=[3 0];
d=[18 3 2];
rlocus(n,d)
Dada la ubicación de los polos del sistema se puede determinar si es estable. Para ello nos
apoyamos del comando rlocus de esta herramienta, la cual nos brinda una gráfica con los polos y
ceros del sistema
-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.
-0.
-0.
-0.
-0.
0
Root Locus
Real Axis (seconds
)
Representar la función de transferencia mediante un diagrama de bloques
U(S) Y(s)
3 s
18 s
2
Arnáez, B. E. (2014). Enfoque práctico del control moderno: con aplicaciones en matlab.
(pp. 19-33). Recuperado de:
https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?
ppg=20&docID=4184877&tm=
Creus, S. A. (2007). Simulación y control de procesos por ordenador (2a. ed.). Barcelona,
ES: Marcombo. (pp. 14-29). Recuperado de
https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?
ppg=33&docID=3175444&tm=1541557328971.
Noguera, A. (2018). Modelamiento de sistemas en el dominio de la frecuencia. [Archivo de
video]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/22318.
Villegas, L. (2007). Trabajo teórico práctico con Matlab. Buenos Aires, AR: El Cid Editor -
Informática. Recuperado de
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?
ppg=23&docID=10165756&tm=1481844464476direct=true&db=e000xww&AN=
&lang=es&site=ehost-live.
García, I. (2005). Teoría de estabilidad y control. Lérida, ES: Ediciones de la Universitat de
Lleida. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?
ppg=6&docID=10680662&tm=1481847095839.
Pastor, G. A., & Ortega, J. J. (2014). Circuitos eléctricos. Vol. II. Madrid, ES: UNED -
Universidad Nacional de Educación a Distancia. Recuperado de
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?
ppg=29&docID=10853795&tm=1481844106731.
