An`alisi II
Septembre 2008
1. (a) Definiu quan una funci´o f:Rn−→ Rm´es diferenciable en un punt a∈Rn.
Definiu tamb´e Dvf(a),la derivada en direcci´o vde fen a. Demostreu que si f´es
diferenciable en un punt a, d(f)a(v) = Dvf(a).
(b) Estudieu el extrems relatius de la funci´o f(x, y, z) = x2+y2+z2+x+y+z.
(c) Justifiqueu que la funci´o ft´e extrems absoluts a la regi´o M={(x, y , z)∈R3;x2+
y2+x2≤4, z ≤1}i calculeu-los.
2. (a) Enuncieu el teorema de la funci´o inversa. Proveu que si U⊂Rn´es un obert i
f:U−→ Rn´es de classe C1aUi det(d(f)a)6= 0 per tot a∈Ualeshores f(U) ´es
obert.
(b) Sigui h:R2−→ Rdefinida per h(x, y) = x2+y3+xy +x3+ay, on a∈R.Per quins
valors d’a, l’equaci´o h(x, y) = 0 defineix ycom a funci´o impl´ıcita diferenciable
de xen un entorn de (0,0)? Calculeu per aquests valors d’ala derivada de la
corresponent funci´o impl´ıcita a 0.
3. (a) Enuncieu el teorema de Fubini.
(b) Calculeu l’`area de la regi´o de R2limitada per la corba que t´e per equaci´o en polars
r=a(1 −cos θ),amb a > 0.
(c) Calculeu RBxyz on B={(x, y, z )∈R3: 0 ≤x, 0≤y, 0≤z≤1, x2+y2+z2≤2}
1
