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EXAMEN DE BIOESTADÍSTICA. (Grupos A, B, C , D, E y F) 30.06.
DPT. MATEMÁTICA APLICADA (BIOMATEMÁTICA).Facultad de Biología. UCM
APELLIDOS(MAY)_________________________________________________NOMBRE__________ GRUPO__
Tras una leyenda o enunciado (), se suceden uno o más módulos puntuables (), que contienen cuatro proposiciones ( ), de entre las que una y solamente una es cierta. Marque con una equis () el recuadro () de la que considere verdadera. Únicamente se puntuará el módulo en el que se haya marcado alguna respuesta, si ésta es correcta obtendrá 3 puntos y si no lo es o se marcan dos o más proposiciones se le penalizará con un – 1. El examen contiene 20 módulos en 3 páginas, la suma de las puntuaciones obtenidas será la del examen y dividiéndola por 6 se obtendría la calificación en escala decimal. En los resultados finales de los cálculos realizados en las cuestiones que lo requieren, las cifras decimales se entienden redondeadas a la anterior más 1 si la si- guiente llega a 5. Tiempo disponible: 2 horas.
Datos que se suministran para su posible uso en la resolución de algunas de las cuestiones que se plantean y que pueden ser o no ser necesarios 2 2 2 2
z 0.025 1.96; z 0.005 2.57; z 0.05 1.645; c 6 0.05 12.59; c 1 0.05 3.84; c 1 0.01 6.6; c 2 0.05 5.
f 0.05(2,57) 3,16; f 0.025(2,57) 3.94; t 0.05(57) 1.67; t 0.025(57) 2.002; t 0.05(38) 1.69; t 0.025(38) 2.
En un hormiguero, el 70% de las hormigas son machos. El 20% de las hormigas machos son de color rojo, y el resto de color negro, mientras que en las hormigas hembras, la razón entre el color rojo y el negro es 1:3. Si se selecciona al azar una hormiga.
La probabilidad de que sea de color rojo es 0.20……..…….................................................................................. La probabilidad de que sea de color rojo es 0.25…………................................................................................... La probabilidad de que sea de color rojo es 0.215.................................................................................................. La probabilidad de que sea de color rojo es 0.225..................................................................................................
La probabilidad de que sea un macho rojo es 0.20………..................................................................................... La probabilidad de que sea un macho rojo es 0.70................................................................................................. La probabilidad de que sea un macho rojo es 0.01................................................................................................. La probabilidad de que sea un macho rojo es 0.14………….................................................................................
Si la hormiga seleccionada es roja, la probabilidad de que sea macho es 0.651 ................................................... Si la hormiga seleccionada es roja, la probabilidad de que sea macho es 0.14……………………… .................. Si la hormiga seleccionada es roja, la probabilidad de que sea macho es 0.20………………………................... Si la hormiga seleccionada es roja, la probabilidad de que sea macho es 0.251 ...................................................
Si la hormiga seleccionada es negra, la probabilidad de que no sea macho es 0.20………………….................... Si la hormiga seleccionada es negra, la probabilidad de que no sea macho es 0.287……………….. ................... Si la hormiga seleccionada es negra, la probabilidad de que no sea macho es 0.750………............. .................... Si la hormiga seleccionada es negra, la probabilidad de que no sea macho es 0.25………………… ...................
Sea (X,Y) variable aleatoria bivariante con covarianza 0.02 y densidades marginales
x
y
f (x) x , 0 x 1
f (y) y , 0 y 1
2
5
(En las preguntas que siguen a continuación, se entenderá que Cov(X,Y)= covarianza entre X e Y; Var(X) = varianza de X; E(X)= valor medio o media de X)
Dado que la covarianza entre ambas es prácticamente cero, podemos asumir que son independientes y la función de densidad conjunta es el producto de las densidades marginales……………………………………………………... Dado que la covarianza entre ambas es prácticamente cero, podemos asumir que son independientes y la función de densidad conjunta es la suma de las densidades marginales......................................................................................... No disponemos de información suficiente para establecer la función de densidad conjunta de (X,Y)...................... La función de densidad conjunta de (X,Y) es la media arimética de las densidades marginales, es decir,
x y
f(x, y) , 0 x,y 1
El coeficiente de correlación entre X e Y es aproximadamente 0.835....................................................................
El coeficiente de correlación entre X e Y es aproximadamente 0 dado que la covarianza entre ambas es 0.02....... El coeficiente de correlación entre X e Y no se puede calcular porque desconocemos la función de densidad conjunta ........................................................................................................................................................................ El coeficiente de correlación entre X e Y es un número próximo a 83.5, lo que señala una asociación lineal significativa entre X e Y …………………………………………………………………………………………….
Var(X+Y) = 0.0928 .............................................................................................................................................
Var(X+Y) = 0.0528.............................................................................................................................................. Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y) .............................................................................................................................. Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y)…….......................................................................................................
Dado que el valor medio de X es menor que el de Y, la variabilidad de X es menor que la de Y……………...
La variabilidad de Y, medida con la varianza, es menor que la de X ………………………………………….. Dado que la varianza de Y es menor que la de X y, sin embargo, que el valor medio de X es menor que el valor medio de Y; no queda claro si la variabilidad de Y es menor que la de X ………………………………………….. El contenido en aleatoriedad de Y, medido con la varianza, es superior al de X ………………………………….
E(X^4 ) = 3/7 ...............................................................................................................................................................
E(X^4 ) no se puede calcular, por no conocer la densidad de X^4 ................................................................................ Var(X^4 ) = E(X^8 ) - (E(X^2 ))^2 ....................................................................................................................................... Var(X^4 ) = E(X^4 ) - (E(X^4 ))^2 .........................................................................................................................................
En un estudio se seleccionaron aleatoriamente 100 personas (50 hombres y 50 mujeres) con síntomas de fobia a los perros y se
les aplicó un determinado tratamiento. El estudio se propone establecer en primer lugar si el tratamiento es eficaz o no, y en segundo lugar si la posible eficacia es diferente según los sexos. Se conoce que el 25% de los casos de fobia remiten de modo espontáneo sin tratamiento alguno. De los individuos bajo estudio se han recuperado por completo 42 hombres y 38 mujeres. Utilícese en todos los casos un nivel de significación de 0.05.
Considerando la población globalmente (sin distinción de hombres y mujeres), con el fin de contrastar la posible eficacia del
tratamiento: El contraste debe ser bilateral aunque eso reduzca la potencia …………………………………………………. El contraste debe ser bilateral, lo que produce un aumento de la potencia……………………………………… El contraste debe ser unilateral superior (o con cola a la derecha), lo que produce un aumento de la potencia... El contraste debe ser unilateral superior (o con cola a la derecha) aunque eso reduzca la potencia.....................
No hay evidencia estadística sobre que la recuperación con el tratamiento sea superior a la espontánea ………..
Hay evidencia estadística sobre que la recuperación sin el tratamiento es superior a la espontánea……...…….. No se puede formular el correspondiente contraste al desconocer la desviación típica de la variable.................... Hay evidencia estadística sobre que la recuperación con el tratamiento es superior a la espontánea.....................
Teniendo en cuenta el sexo de los individuos y realizando el contraste de hipótesis adecuado:
No hay evidencia estadística sobre que la recuperación con el tratamiento sea distinta en hombres que en muje- res.................................................................................................................................................................... ........... Hay evidencia estadística sobre que la recuperación sin el tratamiento es distinta en hombres que en mujeres No se puede formular el correspondiente contraste al desconocer la desviación típica de las variables implicadas Hay evidencia estadística sobre que la recuperación con el tratamiento es distinta en hombres que en mujeres.....
En un estudio sobre la incidencia de los hábitos alimentarios en los niveles de colesterol en dos comunidades autónomas, se obtu- vieron dos muestras aleatorias de 50 individuos (una por cada comunidad) y se contrastó la igualdad de medias de los niveles de colesterol con un nivel de significación de 0.05.
Si se aumentara el número de individuos en el estudio se aumentaría la probabilidad de rechazar la igualdad de medias en caso de que éstas fueran diferentes …………………………………………………………………….. Si se aumentara el número de individuos en el estudio se aumentaría la probabilidad de rechazar la igualdad de medias en caso de que estas fueran iguales …………………………………………………………………………. Si se aumentara el número de individuos en el estudio se disminuiría la probabilidad de rechazar la igualdad de medias en caso de que estas fueran diferentes……………………………………………………………………… Si se aumentara el número de individuos en el estudio se disminuiría la probabilidad de rechazar la igualdad de medias en caso de que estas fueran iguales………………………………………………………………………
La potencia del contraste aumenta según aumenta el valor absoluto de la diferencia de las medias …………….. La potencia del contraste disminuye según aumenta el valor absoluto de la diferencia de las medias …………. La potencia del contraste disminuye si la diferencia de las medias es negativa y aumenta si es positiva ……….. La potencia del contraste no tiene relación con la diferencia de las medias………………………………………..
EXAMEN DE BIOESTADÍSTICA. (Grupos A, B, C , D, E y F) 11.09.
DPT. MATEMÁTICA APLICADA (BIOMATEMÁTICA).Facultad de Biología. UCM
APELLIDOS(MAY)_________________________________________________NOMBRE__________ GRUPO__
Tras una leyenda o enunciado (), se suceden uno o más módulos puntuables (), que contienen cuatro proposiciones ( ), de entre las que una y solamente una es cierta. Marque con una equis () el recuadro () de la que considere verdadera. Únicamente se puntuará el módulo en el que se haya marcicado alguna respuesta, si ésta es correcta obtendrá 3 puntos y si no lo es o se mar- can dos o más proposiciones se le penalizará con un – 1. El examen contiene 20 módulos en 3 páginas, la suma de las puntuaciones obtenidas será la del examen y dividiéndola por 6 se obtendría la califación en escala decimal. En los resultados finales de los cálcu- los realizados en las cuestiones que lo requieren, las cifras decimales se entienden redondeadas a la anterior más 1 si la s iguiente llega a 5. Tiempo disponible: 2 horas.
Datos que se suministran para su posible uso en la resolución de algunas de las cuestiones que se plantean y que pueden ser o no ser necesarios 2 2 2 2
z 0.025 1.96; z 0.005 2.57; z 0.05 1.645; c 12 0.05 21.026; c 1 0.05 3.84; c 1 0.01 6.6; c 2 0.05 5.
t 0.005(60) 2.66; t 0.01(60) 2.39; t 0.05(60) 1.67; t 0.025(60) 2.0; t 0.05(120) 1.
En el diagnóstico médico, para caracterizar la validez de una prueba se usan los índices sensibilidad y especificidad. La sensibili- dad se define como la probabilidad de que la prueba resulte positiva al aplicarse a una persona enferma y la especificidad como la probabilidad de que la prueba resulte negativa al aplicarse a una persona que no padece la enfermedad. En un estudio, para estimar ambos índices para una prueba diagnóstica para la tuberculosis pulmonar se seleccionan al azar 100 personas con la enfermedad e independientemente 50 sin ella y a todos ellas se les aplica la prueba, obteniéndose los resultados de la tabla
Prueba positiva Prueba negativa Total Enfermos 82 18 100 No enfermos 5 45 50 Total 87 63 150
La sensibilidad estimada es 0,58……..…….................................................................................. ……………. La sensibilidad estimada es 0,82…………......................................................................................................... La sensibilidad estimada es 0,9425..................................................................................................................... La sensibilidad estimada es 0,75.........................................................................................................................
La especificidad estimada es 0,90………...........................................................................................................
La especificidad estimada es 0,2857................................................................................................................... La especificidad estimada es 0,7143................................................................................................................... La especificidad estimada es 0,42………….......................................................................................................
Con un nivel de confianza del 95% El intervalo de confianza para la sensibilidad es (0,7447 0,8953)…………………………............................. El intervalo de confianza para la sensibilidad es (0,8936 0,9914)………………………................................. El intervalo de confianza para la sensibilidad es (0,8168 0,9832)………………………................................. El intervalo de confianza para la sensibilidad es (0,7447 0,9832) ...................................................................
El intervalo anterior lo podemos interpretar como: Hay una probabilidad de 0,05 de que la verdadera sensibilidad sea mayor que el límite superior del intervalo ... Hay una probabilidad de 0,95 de que la sensibilidad estimada este dentro del intervalo ……............................... La verdadera sensibilidad está en el intervalo con una confianza de 0.95………................................................... La sensibilidad estimada está dentro del intervalo con una confianza de 0.05…………………............................
Un ensayo clínico pretende poner de manifiesto que la ingestión diaria de 250 mg de aspirina, combinada con 120 mg de dipiri- damol, reduce de manera significativa la presencia en sangre de malondialdehído (MDA). El ensayo alcanzó a 61 pacientes, diag- nosticados como enfermos hipercoagulantes, a los que se les midió la tasa de MDA (en mmol/10^9 plaquetas) antes (X) y después de un mes (Y) del tratamiento señalado. Se obtuvieron los siguientes resultados:
X
Y
D
D
x. s.
y. s.
s. donde D X - Y
r. (r coef. de correlacion muestral)
intervalo de confianza al 95% acerca de :
donde el coeficiente de correlación muestral obtenido (r) es una estimación puntual del coeficiente de correlación entre las variables X e Y.
La estimación puntual del coeficiente de correlación revela que las variable X e Y puedan ser independientes La estimación puntual del coeficiente de correlación revela que las variable X e Y puedan ser independientes con una certeza del 0.94............................................................................................................................................. La estimación puntual del coeficiente de correlación revela que las variable X e Y puedan ser dependientes con una certeza o confianza del 94%......................................................................................................................... La estimación puntual del coeficiente de correlación es coherente con la hipótesis de dependencia entre X e Y.
Una prueba sobre la hipótesis de normalidad de D, establece un P-valor de 0.43, lo cual asegura esta hipótesis
con una confianza del 43%...........................................................................................................................
Una prueba sobre la hipótesis de normalidad de D, establece un P-valor de 0.43. Al ser la confianza sobre la veracidad de la normalidad 0.43, menor que 0.5, se rechaza la normalidad de la variable....................................... Una prueba sobre la hipótesis de normalidad de D, establece un P-valor de 0.43. Tal dato es coherente con la veracidad de esta hipótesis ........................................................................................................................................ Una prueba sobre la hipótesis de normalidad de D, establece un P-valor de 0.43. Al ser menor que 0.5, hay una duda razonable acerca de la normalidad de D ……………………………………………………………………...
La estimación puntual del coeficiente de correlación revela que puede existir una asociación lineal casi perfecta entre X e Y, lo que permitiría, si fuese al caso, por ejemplo, establecer la tasa de MDA después del tratamiento a partir de este valor antes del tratamiento..........,…………………………………....................................................... La estimación puntual del coeficiente de correlación revela que puede existir una asociación lineal casi perfecta entre X e Y, aunque un valor superior a 1 lo confirmaría con mayor contundencia................................................... La estimación puntual del coeficiente de correlación revela que puede existir una asociación lineal casi perfecta entre X e Y, lo que permitiría, por ejemplo, afirmar la normalidad de Y en base a la normalidad de X, sólo en el 94% de los casos.......................................................................................................................................................... La estimación puntual del coeficiente de correlación revela que puede existir una asociación lineal casi perfecta entre X e Y, aunque un valor de – 0.94 (disminución) lo confirmaría con mayor contundencia……..........................
Los investigadores han adoptado para el contraste sobre la veracidad de su conjetura (reducción de MDA) un nivel de signi-
ficación de 0.01, la quinta parte de lo habitual Pretenden con ello que la probababilidad de cometer un error de tipo II disminuya y de este modo la potencia aumente, lo que potencia la capacidad del procedimiento de no rechazar la conjetura cuando es cierta…………... Pretenden con ello aumentar las posibilidades de rechazar la conjetura cuando sea falsa, aunque esta forma de actuar conlleve una disminución en la probabilidad de declarar la conjetura cierta cuando lo es realmente…….. Pretenden con ello aumentar las posibilidades de rechazar la conjetura cuando sea falsa, produciéndose con esta forma de actuar un aumento de la probabilidad de declarar la conjetura cierta cuando lo es realmente………… Pretenden con ello que la probabilidad de cometer un error de tipo I disminuya y de este modo la potencia aumente, lo que potencia la capacidad del procedimiento de no rechazar la conjetura cuando es cierta ………….
Los investigadores han adoptado para el contraste sobre la veracidad de su conjetura (reducción de MDA) un nivel de significación de 0.01 y, en base a los resultados, el desarrollo del contraste conduce : Al rechazo de la conjetura de los investigadores..................................................................................................... Al no rechazo de la conjetura de los investigadores................................................................................................ Al no rechazo de la hipótesis nula del contraste, dando que el P- Valor es superior a 0.01................................... Al no rechazo de la conjetura de los investigadores , con una confianza acerca de su veracidad del 99%.............
No rechazamos la independencia por ser el P-valor superior a 0.01..................................................................
Rechazamos la independencia por ser el P-valor menor de 0.05 ………………………………………………. Si el estadístico del contraste tiene un valor inferior a 0.0161 rechazamos la independencia …………………. Faltan datos para decidir sobre la independencia de las variables........................................................................
Si el nivel de significación elegido hubiera sido de 0.01:
Habría aumentado el valor del estadístico del contraste....................................................................................... Hubiéramos obtenido un P-valor más elevado …………………………………………………………………. No se habrían encontrado evidencias estadísticas contra la hipótesis de independencia al nivel requerido ........ Las variables no serían independientes.................................................................................................................
Un grupo de investigación pretende establecer la relación entre la edad medida en años (x) y los valores de glucosa en sangre en
una cierta especie animal (Y). Seleccionan 18 animales por su edad y miden en ellos el valor de glucosa en sangre. Por estimación se obtuvo la siguiente recta de regresión
ˆy 80 5 53. x
Para que se pueda realizar la regresión lineal las variables X e Y deben ser independientes..................................
Para que se pueda realizar la regresión lineal las variables X e Y deben ser homocedásticas …………………… Para que se pueda realizar la regresión lineal las variables Y condicionadas a los valores de x deben ser normales y homocedásticas……………………………………………………………………………………………………. Para que se pueda realizar la regresión lineal las variables X e Y deben ser normales ..........................................
Esta recta señala que:
Cada unidad que aumenta la glucosa en sangre la edad disminuye en 5.53 años................................................... Cada unidad que aumenta la edad el nivel medio de glucosa aumenta en 80 unidades …………………………. El valor del nivel medio de glucosa depende en el 5.53% de la edad .................................................................... Por cada año que aumenta la edad, el nivel medio de glucosa se estima que aumenta en 5.53 unidades...............
El intervalo de confianza al 95% calculado para la media de glucosa en animales de 10 años de edad fue (126.3, 144,3):
Si se elige al azar un individuo de 10 años con una probabilidad de 0.95 su valor de glucosa se encuentran dentro del intervalo...................................................................................................................... ........................................... Si se elige al azar un individuo de 10 años con una confianza de 0.95 su valor de glucosa se encuentran dentro del intervalo …………………………………………………………………………………………………………….. La media de glucosa de los individuos de 10 años se encuentra en el intervalo con una confianza 0.95 .............. Los individuos cuya edad se encuentra entre 9.95 y 10.05 años tienen un valor de glucosa que se encuentra en el interior del intervalo con una confianza del 95%.........................................................................................................
EXAMEN DE BIOESTADÍSTICA. (Grupos A, B, C , D, E y F) 02.07.
DPT. MATEMÁTICA APLICADA (BIOMATEMÁTICA).Facultad de Biología. UCM Tras una leyenda o enunciado (), se suceden uno o más módulos puntuables (), que contienen cuatro proposiciones ( ), de entre las que una y solamente una es cierta. Marque con una equis () el recuadro () de la que considere verdadera. Únicamente se puntuará el módulo en el que se haya marcado alguna respuesta, si ésta es correcta obtendrá 3 puntos y si no lo es o se marcan dos o más proposiciones se le penalizará con un – 1. El examen contiene 23 módulos en 4 páginas, la suma de las puntuaciones obtenidas será la del examen y dividiéndola por 6,9 se obtendría la calificación en escala decimal. En los resultados finales de los cálculos realizados en las cuestiones que lo requieren, las cifras decimales se entienden redondeadas a la anterior más 1 si la si- guiente llega a 5. Tiempo disponible: 2 horas.
Datos que se suministran para su posible uso en la resolución de algunas de las cuestiones que se plantean y que pueden ser o no ser necesarios 2 2 2 2
z 0.025 1.96; z 0.005 2.57; z 0.05 1.645; c 6 0.05 12.59; c 1 0.05 3.84; c 1 0.01 6.6; c 2 0.05 5.
f 0.05(3,16) 3, 24; f 0.025(3,16) 4, 07; f 0.0025(3,16) 7, 40; t 0.05(48) 1.677; t 0.025(48) 2.01;
En un lago conviven, en cantidades suficientemente grandes, tres variedades, A, B y C, de la subespecie de la carpa de cuero ( Cyprius Carpio coiaceus ). Las carpas de las 3 variedades están en las proporciones 2:2:1 y homogéneamente repartidas. El 80% de las carpas de la variedad A presentan una aleta dorsal alargada, en la variedad B la presentan un 30% y en la C sólo presentan esa característica el 25%. En el experimento consistente en extraer una carpa al azar se denomina A, B y C a los sucesos “la carpa perte- nece a la variedad de ese nombre”, L al suceso “la carpa tiene la aleta alargada” y LC^ a su complementario. En el experimento con- sistente en extraer 3 carpas al azar se define la variable X : número de carpas extraídas de la variedad A que no tienen la aleta alarga- da. Los sucesos A y L son excluyentes ……………………………………………………............................. Los sucesos A y L son imposibles …………………….............................................................................. Los sucesos A y B son independientes ……………………….................................................................... Los sucesos A y B son incompatibles ………………………....................................................................
La probabilidad del suceso LC|B es 0,70……………………………………………………….................
La probabilidad del suceso LC|B es 0,30…………………………………………………………………. La probabilidad del suceso LC|B es 0,25…………………………………………………………………. La probabilidad del suceso LC|B es 0,80.....................................................................................................
X es una variable de Poisson ....................................................................................................................... X es una variable normal ……..................................................................................................................... X es una variable binomial ……….............................................................................................................. X es una variable de Bernouilli ………………….......................................................................................
La probabilidad de que, al extraer una carpa al azar, no tenga la aleta alargada es:
La probabilidad de que, al extraer tres carpas al azar, dos sean de la variedad C es: 0,04............................................................................................................................................................... 0,032………………………………………………………………………………………………………. 0,096……………………………………………………………………………………………………… 0,96…………………..................................................................................................................................
La probabilidad de que, una carpa extraída al azar del lago y que no tiene la aleta alargada, sea de la variedad C es:
Var( X ) = 0,0726……...…………………………………………………………………………………….
Var( X ) = 0,16.……………………………………………………………………………………………... Var( X ) = 0,48.……………………………………………………………………………………………... Var( X ) = 0,2208…………………………………………………………………………………………….
En el experimento de extraer 3 carpas al zar ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga X=1?:
Hay evidencia estadística en contra de la ley de Poisson, al nivel significación de 0.05, en tanto que el valor del estadísti- co del contraste , 1.42697, es una cantidad superior a 1.…………………………………………................. Hay evidencia estadística en contra de la ley de Poisson, al nivel significación de 0.05, en tanto que el P- valor obtenido es inferior, aunque por poco, a 0.5.….............................................................................................................. Puede asumirse que la variable sigue el modelo de Poisson , al nivel significación de 0.05, en tanto que el valor del esta dístico del contraste es inferior a 5.99. ………................................................................................................ La discrepancia global entre esperados (100pi) y observados (xi) es significativa, por lo que rechazamos el modelo de Poisson …………….........................................................................................................................................
Una estimación puntual de nº medio de células dañadas/ hora, sería:
Una estimación de p(Y=0), si se asume el modelo de Poisson, es: f(0) = 0,3829............................................................................................................................. .................... f(0) = 0,3676……………...………………………………………………………………………………. f(0) = 0,3829-0,3676……………………………………………………………………………………… f(0) = 0,1764…………………....................................................................................................................
p(Y 2), si se asume el modelo de Poisson, es:
1-p(Y 1) = 0,1764………………………………………………………………………………………… 1-p(Y 2) = 0,0731………………………………………………………………………………………… 1-p(Y 1)= 0,2495………………………………………………………………………………………… 1-p(Y 1)= 0,3222…………………………………………………………………………………….........
En un laboratorio de fisiología se investiga el efecto de varios principios activos con supuesta actividad antihipertensiva sobre la
presión arterial de ratas espontáneamente hipertensas (SHR). Veinte especimenes de este modelo animal fueron aleatoriamente asignados a recibir en su dieta habitual uno de los siguientes tratamientos: placebo (principio inactivo), inhibidor del receptor de angiotensina II, inhibidor ECA y vitamina E. Tras tres semanas de tratamiento se observa la presión arterial de los animales de expe- rimentación (en mm de Hg) y se analizan los resultados mediante un ANOVA, cuya tabla se muestra a continuación:
Fuente Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrados medios
F
Tratamiento 157,30 3 52,43 5, Error 146,40 16 9, Total 303,70 19
En un análisis de la varianza o ANOVA:
Se obtendrían los mismos resultados que mediante una comparación dos a dos de todos los grupos contemplados mediante sendas pruebas t de student ....................................................................................... Se trata de comparar las varianzas de las poblaciones estudiadas .............................................................. La homocedasticidad no es una hipótesis imprescindible pero el hecho de que exista aumenta la potencia ........ Aparte de la homocedasticidad, en el ANOVA es imprescindible la normalidad .......................................
En este análisis de la varianza:
La hipótesis nula que se plantea es que el efecto de los tres principios activos es diferente del placebo .............. La hipótesis nula que se plantea es que todos los grupos se diferencian entre sí ................................................... La hipótesis nula que se plantea es que no existen diferencian entre los 4 grupos ................................................ La hipótesis alternativa o de trabajo es que todos los grupos se diferencian entre sí .............................................
En la prueba de Bartlet se ha obtenido un valor P= 0,375, por lo que:
Se puede asumir que las muestras vienen de poblaciones homocedásticas ........................................................... No se puede asumir que las muestras vengan de poblaciones homocedásticas ..................................................... Se puede asumir que las muestras vienen de poblaciones normales ...................................................................... No se puede asumir que las muestras vengan de poblaciones normales ...............................................................
A la vista del valor del estadístico en la tabla ANOVA:
No se puede realizar el ANOVA puesto que los grados de libertad de los tratamientos son menores de 5 .......... Se puede concluir que se han encontrado evidencias en contra de la hipótesis nula ............................................. No se puede rechazar la hipótesis nula, probablemente por falta de potencia estadística ...................................... Se puede afirmar que todos los tratamientos producen un efecto distinto sobre la presión arterial ......................
Dado que hemos rechazado la hipótesis nula:
Es incorrecto, no hemos podido rechazar la hipótesis nula ............................................................................ Deben compararse dos a dos todos los grupos del estudio ............................................................................. La potencia del estudio ha sido insuficiente .................................................................................................. Queda demostrado que las tres muestras vienen de poblaciones normales ....................................................
El valor esperado de la variable X es: 0,72…………….……………………………………………........................................................................ 5……….……………………………………………………………………………………………………. 3,6…………………………………………………………………………………………………………... 2,88......................................................................................................................... ........................................
Los resultados de las notas obtenidas, de 0 a 100, en dos pruebas de Bioestadística distintas, A y B, son independientes y se rigen por las distribuciones normales X ~ N (μ = 62; σ = 20) e Y ~ N (μ = 52; σ = 10) respectivamente.
Sea M la variable definida por M= ½ (X + Y). El valor esperado de M es:
64 ………………………………………………………………………………………………………………… 63,5 ………………………………………………………………………………………………………………. 57 ………………………………………………………………………………………………………………… 62,5…………………………………………………………………………………………………………….…. La varianza de M es: 118,7………………………………………………………………………………………………………………… 125………………………………………………………………………………………………………………...… 250………………………………………………………………………………………………………………...… 185………………………………………………………………………………………………………………...… Para aprobar la asignatura se necesita que la media aritmética de la nota obtenida en ambas pruebas sea mayor que 70. La probabilidad de que un alumno escogido al azar apruebe es: 0,5793………………………………………………………………………………………………………..……… 0,132………………………………………………………………………………………………………………… 0,123………………………………………………………………………………………………………………… 0,8770…………………………………………………………………………………………………………..……
A fin de comparar la prevalencia (proporción de individuos afectados) de una cierta enfermedad vírica en dos comarcas de una comunidad autónoma se extrajeron dos muestras aleatorias de igual tamaño, n 1 = n 2 = 60.
Cuanto mayor sea el tamaño de las muestras elegidas más probabilidad hay de rechazar la hipótesis de igualdad de las prevalencias si ésta es falsa……………………………..…………………………………………................. Cuanto mayor sea el tamaño de las muestras elegidas más probabilidad hay de rechazar la hipótesis de igualdad de las prevalencias si ésta es cierta.…......................................................................................................................... El tamaño de las muestras elegidas no afecta a la potencia del contraste…….............................................. Cuanto menor sea el tamaño de las muestras elegidas más alto será el valor absoluto del estadístico del contraste.
Cuanto mayor sea el tamaño de las muestras elegidas más probabilidad hay de rechazar la hipótesis de igualdad de las prevalencias si ésta es cierta……………………………..…………………………………………................. Cuanto menor sea el tamaño de las muestras elegidas más probabilidad hay de no rechazar la hipótesis de igualdad de las prevalencias si ésta es cierta.…......................................................................................................................... El tamaño de las muestras elegidas no afecta a la probabilidad de rechazar la hipótesis de igualdad de las prevalencias si ésta es cierta…………………………………………..……............................................................................. Ninguna de las anteriores proposiciones es cierta………………………………………………..................
A mayor nivel de significación mayor es la probablidad de rechazar la hipótesis nula si es cierta y de no hacerlo si es falsa ……………………………..………………………………………….............................................................. A mayor nivel de significación menor es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula si es cierta y de no hacerlo si es falsa.…......................................................................................................................... .......................................... A mayor nivel de significación mayor es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula sea ésta cierta o falsa. Ninguna de las anteriores proposiciones es cierta………………………………………………..................
Realizado el contrate con un nivel de significación = 0,05 se obtuvo un valor del estadístico del contraste de 2,05 al que corresponde un P valor de 0,04: Se rechazará la igualdad de prevalencias por ser el P valor menor que 2,05.................................................. Se rechazará la igualdad de prevalencias por ser el P valor menor que ...................................................... No se rechazará la igualdad de prevalencias por ser el P valor mayor que /2.............................................. Ninguna de las anteriores es cierta…………………………..........................................................................
En un lago de montaña conviven exclusivamente 5 especies (A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 ) de protozoos, en proporciones pi , i=1,..,5 ; respectivamente. De una muestra se han obtenidos los siguientes resultados:
Especie A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 Nº de ejemplares 67 59 81 78 60
Para contrastar si la población de protozoos, respecto de las citadas especies, está proporcionalmente en equilibrio, se utiliza el si- guiente estadístico, adoptándose un nivel de significación de 0,05:
2 5
1
i
i
(X n )
Q
n
, que cuando es n es grande, tiene un comportamiento en probabilidad próximo al del modelo
2 4
Las hipótesis a contrastar son
0 1 2 3 4 5
1 i
H : p p p p p
H : todos los p son distintos
Las hipótesis a contrastar son
0 1 2 3 4 5
1 i
H : p p p p p
H : sólo un p es distinto
Las hipótesis a contrastar son^0 1 2 3 4 1 i
H : p p p p p
H : al menos un p es distinto
Las hipótesis a contrastar son^0 1 2 3 4
1
i
H : p p p p p
H : sólo un p es distinto
El valor del estadístico en la muestra es q=54,942…………………………………………......................... El valor del estadístico en la muestra es q=5,942.…...................................................................................... El valor del estadístico en la muestra no se puede establecer dado que n , el tamaño muestral, es desconocido El valor del estadístico en la muestra es q=9,452………………………………………………..................
En base a los resultados, hemos de asumir el equilibrio en especies, en tanto que el P-valor es 0,005......... En base a los resultados, no podemos descartar el equilibrio en especies, en tanto que el q 9,487.............. En base a los resultados, hemos de descartar el equilibrio en especies, en tanto que el q 9,487, al tratarse de un contras- te unilateral inferior…………………………………………………………………………………………… Ninguna de las anteriores proposiciones es cierta………………………………………………..................
Las variables Xi , que forman parte de la definición del estadístico Q y representan el número de individuos de cada es- pecie en la muestra, son binomiales B(345, 1/5), siempre que sea cierta la hipótesis nula................................ Las variables Xi , que forman parte de la definición del estadístico Q y representan el número de individuos de cada es- pecie en la muestra, son binomiales B(345, 1/5), siempre que sea cierta la hipótesis alternativa....................... La variable X 2 , que forma parte de la definición del estadístico Q y representa el número de individuos de la especie 2 en la muestra, es binomial B(345, 2/5), siempre que sea cierta la hipótesis nula……………………………… La variable X 4 , que forma parte de la definición del estadístico Q y representa el número de individuos de la especie 4 en la muestra, es binomial B(345, 4/5), siempre que sea cierta la hipótesis nula.…............................................
EXAMEN DE BIOESTADÍSTICA. (Grupos A, B, D, E y F) 30.06.
DPT. MATEMÁTICA APLICADA (BIOMATEMÁTICA).Facultad de Biología. UCM
APELLIDOS(MAY)_________________________________________________NOMBRE__________ GRUPO__
Tras una leyenda o enunciado (), se suceden uno o más módulos puntuables (), que contienen cuatro proposiciones, de entre las que una y solamente una es cierta. Marque con una equis () el recuadro () de la que considere verdadera. Únicamente se puntuará el módulo en el que se haya marcado alguna respuesta, si ésta es correcta obtendrá 3 puntos y si no lo es o se marcan dos o más proposiciones se le penalizará con un – 1. El examen contiene 27 módulos en 4 páginas, la suma de las puntuaciones obtenidas será la del examen y dividiéndola por 8,1 se obtendría la calificación en escala decimal. En los resultados finales de los cálculos realizados en las cuestiones que lo requieren, las cifras decimales se entienden redondeadas a la anterior más 1 si la si- guiente llega a 5. Tiempo disponible: 2 horas. Datos que se suministran para su posible uso en la resolución de algunas de las cuestiones que se plantean y que pueden ser o no ser necesarios 2 2 2 2
z 0.025 1.96; z 0.005 2.57; z 0.05 1.645; c (12) 0.05 21.03; c (11) 0.1 17.27; c (11) 0.05 19.67; c 2 0.05 5.
f 0.05(2,87) 3,10; f 0.025(2,87) 3,84; f 0.05(2,29) 3,33; t 0.05(87) 1.66; t 0.025(87) 1,
La sensibilidad y la especificidad son unos índices que se usan para caracterizar la validez de una prueba diagnóstica. La sensibi- lidad se define como la probabilidad de que la pruebe resulte positiva al aplicarse a una persona enferma y la especificidad como la probabilidad de que la pruebe resulte negativa al aplicarse a una persona que no padece la enfermedad. En un estudio, para estimar ambos índices para una prueba diagnóstica para el asma se seleccionan al azar 50 personas con la enfermedad e independientemente 50 sin ella y a todos ellas se les aplica la prueba, obteniéndose los resultados de la tabla
Prueba positiva Prueba negativa Total Enfermos 42 8 50 No enfermos 5 45 50 Total 47 53 100
La sensibilidad estimada es 0,483 ................................................................................................................................ La sensibilidad estimada es 0,84 .................................................................................................................................. La sensibilidad estimada es 0,425 ................................................................................................................................ La sensibilidad estimada es 0,87 .................................................................................................................................
La especificidad estimada es 0,90 ................................................................................................................................
La especificidad estimada es 0,486 .............................................................................................................................. La especificidad estimada es 0,7143 ............................................................................................................................ La especificidad estimada es 0,42 ................................................................................................................................
Con un nivel de confianza de 95% El intervalo de confianza para la sensibilidad es (0,7447 0,8953) ............................................................................ El intervalo de confianza para la sensibilidad es (0,7384 0,9416) ............................................................................. El intervalo de confianza para la sensibilidad es (0,7684 0,9118) ............................................................................. El intervalo de confianza para la sensibilidad es (0,7447 0,9832) ............................................................................
El intervalo anterior lo podemos interpretar como: Hay una probabilidad de 0,05 de que la verdadera sensibilidad sea mayor que el límite superior del intervalo. ........ Hay una probabilidad de 0,95 de que la sensibilidad estimada este dentro del intervalo. ............................................ La verdadera sensibilidad está en el intervalo con una confianza de 0.95 ................................................................... La sensibilidad estimada está dentro del intervalo con una confianza de 0.05. ...........................................................
Se selecciona al azar un individuo de una población en la que el 12% tiene asma, si se aceptan como verdaderos los índices esti- mados
La probabilidad de que dé positivo en la prueba es 0,1008 .......................................................................................... La probabilidad de que dé positivo en la prueba es 0,1888 .......................................................................................... La probabilidad de que dé positivo en la prueba es 0,8700 .......................................................................................... La probabilidad de que dé positivo en la prueba es 0,2088 ..........................................................................................
La probabilidad de que esté enfermo y dé negativo en la prueba es 0,0192 ................................................................ La probabilidad de que esté enfermo y dé negativo en la prueba es 0 ......................................................................... La probabilidad de que esté enfermo y dé negativo en la prueba es 0,1600 ................................................................ La probabilidad de que esté enfermo y dé negativo en la prueba es 0,1000 ................................................................
La probabilidad de que esté enfermo si ha dado positivo en la prueba es 0,5339 ........................................................
La probabilidad de que esté enfermo si ha dado positivo en la prueba es 0,4828 ........................................................ La probabilidad de que esté enfermo si ha dado positivo en la prueba es 0,8400 ........................................................ La probabilidad de que esté enfermo si ha dado positivo en la prueba es prácticamente 1.........................................
Se seleccionan al azar 2 individuos de esa misma población, considerada suficientemente extensa y se define la variable X=”nº de ellos con resultado positivo en la prueba”.
La variable X es binomial con parámetro p desconocido. ............................................................................................ La variable X no es binomial. ...................................................................................................................................... La variable X es binomial con parámetro p=0,1888 .................................................................................................... La variable X es binomial con parámetro p=0,1008 ....................................................................................................
La media de la variable X es 0,3776 ............................................................................................................................ La media de la variable X es 2,008 .............................................................................................................................. La media de la variable X no se puede calcular con los datos suministrados .............................................................. La media de la variable X es 8,4 ..................................................................................................................................
La probabilidad de X=0 es 0,9644 ............................................................................................................................... La probabilidad de X=0 es 0,658 ................................................................................................................................. La probabilidad de X=0 es 0,0356 ............................................................................................................................... La probabilidad de X=0 es 0,342 .................................................................................................................................
Los datos de la tabla corresponden a la distribución mensual y por sexo de los nacidos en Suecia durante el año 1935, que corres- ponde a un total de 88273 nacimientos, (H=hombre; M=mujer):
MES
H 3743 3550 4017 4173 4117 3944 3964 3797 3712 3512 3392 3761
M 3537 3407 3866 3711 3775 3665 3621 3596 3491 3391 3160 3371
Un estudio previo del contraste sobre si la proporción de machos es igual a ½ o diferente, señala el cálculo siguiente, en relación al nivel de riesgo (probabilidad de error de tipo II), para p=0.51 y un nivel de significación dado:
ˆP. ˆP.
p(.. p. ) p(. -. p. ).
El nivel de significación que se va adoptar para este contraste bilateral es 0.51……………………………………. El nivel de significación que se va adoptar para este contraste unilateral es 0.49…………………………………. .. El nivel de significación que se va adoptar para este contraste es 0.025…………………………………………... .. El nivel de significación que se va adoptar para este contraste bilateral es 0.05…………………………………... ..
En el caso que de que el parámetro p sea 0.51, el procedimiento lo detectará en el 99.9966% de los casos .............. En el caso que de que el parámetro p sea 0.5, el procedimiento lo detectará en el 99.9966% de los casos ................ En el caso que de que el parámetro p sea 0.51, el procedimiento no lo detectará en el 99.9966% de los casos.….. Si el parámetro p fuese 0.51, el procedimiento no rechazará la hipótesis nula en el 99.9966% de los casos….….….
En el caso que de que el parámetro p sea 0.55, la potencia del contraste disminuye en 0.04 unidades………….…. En el caso que de que el parámetro p sea 0.55, la potencia del contraste es mayor que 0,999966.............................. En el caso que de que el parámetro p sea 0.55, la potencia del contraste no puede calcularse……….…………….... En el caso que de que el parámetro p sea 0.55, la potencia del contraste disminuye en 0.05 unidades………….…..
El valor del estadístico
ˆP.
Z
en la muestra obtenida, es 8.71, donde P designa la proporción muestral, al
año, de nacimientos de hombres
Se concluye que el P_valor del contraste bilateral es prácticamente 1………………………………………………. Se concluye que el P_valor del contraste bilateral es menor de 0.01………………………………………… ........... Se concluye que el P_valor del contraste bilateral es prácticamente 0.05……………………………………………
Se concluye que el P_valor del contraste bilateral es p(Z 8 71. )……………………………………………….
Se concluye que existen diferencias significativas entre las proporciones de hombres y mujeres en al menos un mes del año, al nivel del 0.05 ................................................................................................................................................. Se concluye que no existen diferencias significativas entre las proporciones de hombres y mujeres en ningún mes del año, al nivel del 0.05 ....................................................................................................................................................... Se concluye que no existen diferencias significativas entre las proporciones de hombres y mujeres en ningún mes del año, salvo en febrero, al nivel del 0.05 ........................................................................................................................... Se concluye que no existen diferencias significativas entre las proporciones de hombres en ningún mes del año, al nivel del 0.05...................................................................................................................................................................
Para evaluar el efecto de un tratamiento farmacológico en el incremento de los niveles de cierta enzima en ratas de laboratorio,
se tomaron tres grupos de éstas de idéntico tamaño. Durante 20 días se suministró un placebo al grupo I, un tratamiento a dosis baja al grupo II y el mismo tratamiento a dosis alta al grupo III. Se midieron a continuación los niveles de la enzima y se analizaron los resoltados mediante un ANOVA, cuya tabla se muestra a continuación:
Fuente Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrados medios
F
Tratamiento 178,922 2 89,4608 5, Error 1505,0 87 17, Total 1683,92 89
Para todos los contrastes necesarios en este problema se utilizara un nivel de significación de 0,05 y puede necesitar el siguiente estadístico:
i j i j
i j
X X
MSE
n n
Las medias muestrales de los niveles de enzima fueron 19,87, 22,19 y 23,25 para los grupos I, II y III respectivamente.
La potencia de los contrastes basados en el ANOVA: Aumenta cuando disminuye el nivel de significación .................................................................................................. Aumenta cuando aumenta el tamaño de las muestras .................................................................................................. Disminuye si las medias de los grupos son diferentes ................................................................................................. No depende del nivel de significación .........................................................................................................................
En este análisis de la varianza: La hipótesis nula que se plantea es que los efectos de las dos dosis de fármaco son diferentes entre sí ...................... La hipótesis nula que se plantea es que existe efecto del fármaco a ambas dosis ........................................................ La hipótesis nula que se plantea es que no existen diferencian entre los 3 grupos ...................................................... La hipótesis alternativa o de trabajo es que las dos dosis de fármaco tienen efecto diferente al placebo ....................
En la prueba de Bartlet se ha obtenido un valor P= 0,6062, por lo que: Se puede asumir que las varianzas de las poblaciones son iguales……............................................................ ........... Se puede asumir que las medias de las poblaciones son iguales................................................................................... Se puede asumir que las muestras vienen de poblaciones normales ............................................................................ Se rechaza la igualdad de varianzas .............................................................................................................................
A la vista del valor del estadístico en la tabla ANOVA: Si las medias de los tres grupos fueran iguales, la probabilidad de obtener un valor del estadístico del contraste mayor o igual que el obtenido es menor de 0.05 ........................................................................................................................ Si las varianzas de los tres grupos fueran iguales, la probabilidad de obtener un valor del estadístico menor o igual que éste es menor de 0.05 ...................................................................................................................................................... No se puede rechazar la hipótesis nula, probablemente por falta de potencia estadística ............................................ Ninguna de las anteriores es correcta ...........................................................................................................................
Como consecuencia del análisis: Las dos dosis de fármaco tienen efecto ........................................................................................................................ Sólo el fármaco a dosis alta tiene efecto ...................................................................................................................... El efecto del fármaco a dosis alta es mayor que a dosis baja ....................................................................................... No se observa efecto por parte del fármaco a ninguna dosis........................................................................................
EXAMEN DE BIOESTADÍSTICA. (Grupos A, B, D, E y F) 08.09.
DPT. MATEMÁTICA APLICADA (BIOMATEMÁTICA).Facultad de Biología. UCM
APELLIDOS(MAY)_________________________________________________NOMBRE__________ GRUPO__
Tras una leyenda o enunciado (), se suceden uno o más módulos puntuables (), que contienen cuatro proposiciones, de entre las que una y solamente una es cierta. Marque con una equis () el recuadro () de la que considere verdadera. Únicamente se puntuará el módulo en el que se haya marcado alguna respuesta, si ésta es correcta obtendrá 3 puntos y si no lo es o se marcan dos o más proposiciones se le penalizará con un – 1. El examen contiene 21 módulos en 4 páginas, la suma de las puntuaciones obtenidas será la del examen y dividiéndola por 6,3 se obtendría la calificación en escala decimal. En los resultados finales de los cálculos realizados en las cuestiones que lo requieren, las cifras decimales se entienden redondeadas a la anterior más 1 si la si- guiente llega a 5. Tiempo disponible: 2 horas. Datos que se suministran para su posible uso en la resolución de algunas de las cuestiones que se plantean y que pueden ser o no ser necesarios 2 2 2 2
z 0.025 1.96; z 0.005 2.57; z 0.05 1.645; c (2) 0.05 5.99; c (2) 0.025 7.38; c (3) 0.05 7.81; c 3 0.025 9.
t 0.05(105) 1.66; t 0.025(105) 1,98; t 0.05(70) 1.67; t 0.025(70) 1,
Un filtro “anti-spam” clasifica como “spam” el 99% de los correos de ese tipo y el 2% de correos que no lo son. Un usuario que recibe diariamente un 80% de correos “spam” se instala ese filtro y elimina automáticamente todos los mensajes que el filtro clasifi- ca como “spam”.
La probabilidad de que un mensaje elegido al azar sea clasificado como “spam” es 0,505 ............................................................................................................................................................................ 0,990 ............................................................................................................................................................................ 0,796 ............................................................................................................................................................................ 0,792 ...........................................................................................................................................................................
La probabilidad de que con esa estrategia no sea “spam” un mensaje borrado es 0,005 ............................................................................................................................................................................ 0,002 ............................................................................................................................................................................ 0,001 ............................................................................................................................................................................ 0,010 ............................................................................................................................................................................
En su bandeja de entrada quedarán mensajes “spam” en una proporción de 0,218. ........................................................................................................................................................................... 0,039 ............................................................................................................................................................................ 0,005 ............................................................................................................................................................................ 0,001. ...........................................................................................................................................................................
Si un día recibe 500 mensajes, el número esperado de mensajes borrados por el filtro es
- .............................................................................................................................................................................. 498 ............................................................................................................................................................................... 323 ...............................................................................................................................................................................
- ..............................................................................................................................................................................
Se seleccionan al azar 3 mensajes “spam” recibidos un cierto día. Se define la variable X = ”nº de ellos borrados”.
La variable X es binomial con parámetro p desconocido. ............................................................................................ La variable X es Poisson con media 2,97..................................................................................................................... La variable X es binomial con parámetro p = 0,99 ...................................................................................................... La variable X es binomial con parámetro p = 0,02 ......................................................................................................
La media de la variable X es: 0,297 ............................................................................................................................................................................ 2,97 .............................................................................................................................................................................. 3,03 .............................................................................................................................................................................. 0,99 ..............................................................................................................................................................................
La probabilidad de X=3 es 0,99 .............................................................................................................................................................................. 1,01 .............................................................................................................................................................................. 0,97 .............................................................................................................................................................................. 0,90 ..............................................................................................................................................................................
