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4. (1 punto) Resuelve la siguiente ecuación diferencial xy '− 2 x = 6 , con la condición y 1 ( )
5. (2 puntos)
a) Calcula la integral ( x + 5 ) e
x
∫
dx
b) Calcula el valor de la integral impropia ( x + 5 ) e
x
−∞
0
∫
dx
c) Calcula el área comprendida entre la gráfica de la función f x ( ) = ( x + 5 ) e
x
y el eje horizontal en el intervalo −∞, 0 [ ]
d) ¿Son iguales los valores obtenidos en los apartados b) y c)? Razona el motivo de que sean iguales o distintos.
La siguiente tabla ofrece valores de la función exponencial. Alguno de ellos podría serte útil.
x - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
f x ( ) = e
x
6. (2 puntos) Dado el sistema de ecuaciones
x 1
− 3 x 3
x 2
− 3 x 4
− x 1
− x 2
a) Escribe la matriz de coeficientes y la matriz ampliada y calcula sus rangos
b) Según el número de soluciones que tiene este sistema, ¿qué tipo de sistema es? Razona la respuesta
c) Resuelve el sistema (encuentra todas las soluciones, en caso de que existan)
EXAMEN MATEMÁTICAS I. ADE-DADE-TADE. ENERO 2015. DURACIÓN 2 HORAS 30 MINUTOS
NOMBRE: GRUPO:
1. (1 punto) Dada la función f x ( ) = ln x ( ) − 3 x encuentra, en caso de que existan, los valores de x para los cuales la recta
tangente a la gráfica de la función es paralela a la recta x + y = 5
2. (1 punto)
a) Dada una función real de una variable, define el concepto de derivada de la función en un punto de su dominio y explica la
interpretación geométrica del valor de la derivada en dicho punto.
b) Aplicando lo anterior, calcula la ecuación de la recta tangente de la función f x ( )
= e
x
2 − 1
en x = 1
3. (2. 5 puntos) Dada la función f x ( )
x − 1
x + 4
a) Calcula su dominio y razona en qué intervalo es continua
b) Calcula las zonas de crecimiento/decrecimiento y los máximos y mínimos locales
c) Calcula las zonas de concavidad, convexidad y puntos de inflexión
d) Calcula los puntos de corte con los ejes y estudia la existencia de asíntotas horizontales y verticales
e) Dibuja la función en la siguiente cuadrícula
Nombre GRUPO
CONTROL (BLOQUES 1, 2 y 3). 5 de diciembre de 2013.
1. (3’5 puntos) Dada la función f ( x ) e
x
x 2
a) Calcula las zonas de crecimiento y decrecimiento
b) Calcula los máximos y mínimos locales
c) Calcula las zonas de concavidad, convexidad y puntos de inflexión
d) Calcula los puntos de corte con los ejes y el comportamiento de la función en +infinito, -infinito
e) Dibuja la función (recuerda que e # 2. 72 )
f) Calcula la ecuación de la recta tangente en x = 0 y dibújala
2. (2’5 puntos) Dada la función f ( x )
x 1
2
a) Razona su dominio
b) Calcula su desarrollo de McLaurin hasta grado 3
c) Calcula el área comprendida entre la gráfica de la función, el eje horizontal en el intervalo [0,1]
3. (1’5 puntos) Resuelve la siguiente ecuación diferencial y ' x
2
1 2 xy , y 0 e
4. (1’5 puntos) Dada la sucesión de término general a n
n
a) Calcula, de forma razonada, su límite
b) Estudia si la serie 7 a n
n 1
f
¦
es convergente y, en caso afirmativo, calcula su suma
c) Calcula el intervalo abierto de convergencia de la serie de potencias a n
n 1
f
¦
x
n
5. (1 punto) Dada la función cuya derivada tiene la siguiente gráfica
De las siguientes afirmaciones algunas son ciertas y otras falsas. Razona cada una de ellas explicando si es verdadera o
falsa y dando, de forma breve, el motivo de tu respuesta. (Se tendrá en cuenta para la calificación la correcta expresión
escrita)
a) La función f(x) es creciente en el intervalo (-2,0)
b) La función f(x) es creciente en el intervalo (-f,-2)
c) La función f(x) es convexa en el intervalo (-f,-2)
d) La función f(x) es convexa en el intervalo (-1,0)
3. (1 punto) Calcula
0 x
xe dx
4. (2 puntos) Dada la sucesión de término general
n
n
1
a
4
a) Calcula, de forma razonada, su límite
b) Estudia si la serie n
n 1
a
es convergente y, en caso afirmativo, calcula su suma
c) Calcula el intervalo abierto de convergencia de la serie de potencias
n
n
n 1
a x
5. (1 punto) Dada la función f(x) que es continua y dos veces derivable, se saben los datos que
aparecen en la siguiente tabla. Completa los datos que faltan :
(-,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,5) 5 (5,+)
signo de f' 0
signo de f'' 0 0
crecimiento /
decrecimiento
de f
decre decre min cre
curvatura de f cva cva
Las posibilidades para completar la tabla son:
signo de f' y f'' : , , 0
crecimiento/decrecimiento: creciente (cre), decreciente (decre), máximo (max), mínimo (min)
curvatura de f: cóncava (cva), convexa (cxa), punto de inflexión (p.i)
EXAMEN!MATEMÁTICAS!I.!!ADE.DADE.TADE.!JULIO! 2014!
NOMBRE:!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! GRUPO:!
1.# (1#punto)##
Dada#la#función#definida#de#forma#implícita# ye
x + y ( )
= 1 ,#calcular##el#valor#de#la#derivada#y#la#ecuación#de#la#recta#tangente#en#el#punto#
2 .# #(3#puntos)#Dada#la#función f ( x ) =
x! 1
x + 1
a)#Calcula#su#dominio#
b)#Calcula#las#zonas#de#crecimiento#y#decrecimiento#
c)#Calcula#los#máximos#y#mínimos#locales#
d)#Calcula#las#zonas#de#concavidad,#convexidad#y#puntos#de#inflexión#
e)# Calcula# los# puntos# de# corte# con# los# ejes.# Estudia# el# comportamiento# de# la# función# en# +,# :# # y# la# existencia# de# asíntotas#
verticales#
f)#Con#los#datos#anteriores#dibuja#la#función##
3.# (1#punto)##Calcula#los#máximos#y#mínimos#locales#de#la#función## f x ( ) = xe
1! x
2
4 .# (1#punto)##
Dada#la#función# f x ( )
x
2
x " 1 x > 0
,#calcula#los#valores#de# a"y"b" para#que#la#función#sea#continua#y#derivable#en#x=0.#
5. ##(1##punto)#Resuelve#la#siguiente#ecuación#diferencial##
y '
x
= e
x
,!!!!! y 0 ( )
6 .# (1#punto)#Estudia#si#la#serie#
( )
n
n
n = 1
"
#es#convergente#y,#en#caso#afirmativo,#calcula#su#suma#
7 .# (2#puntos) # #
Dada#la#matriz## A =
a) ¿Tiene#inversa# A ?#En#caso#afirmativo#¿cuál#es#el#determinante#de#la#inversa?#
b) Calcula#el#determinante#de#las#matrices#2 "A" y#de#la#traspuesta#de# A #
c) Calcula#el#rango#de# A #
d) Resuelve#el#sistema# A
x =
#e#indica,#según#el#número#de#soluciones,#qué#tipo#de#sistema#es#
e) Si# al# sistema# anterior# se# le# añade# una# ecuación# adicional,# razona# si# es# posible# que# el# nuevo# sistema# sea# compatible#
indeterminado#o#incompatible.#
5. (1 punto) Calcula el valor de la siguiente integral impropia xe
! x
2
dx
0
+"
6. (1 punto) Calcula el intervalo abierto de convergencia de la serie de potencias
n
n
n = 1
!
"
! x
n
7. (2.5 puntos) Dado el sistema de ecuaciones
x 1
! x 2
2 x 1
! x 2
! x 1
a) ¿Tiene inversa la matriz de coeficientes? En caso afirmativo ¿cuánto vale el determinante de la inversa?
b) Calcula los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada
c) Según el número de soluciones ¿qué tipo de sistema es? Razona la respuesta
d) Resuelve el sistema (encuentra todas las soluciones, en caso de que existan)
e) Si el coeficiente a 33
cambia y pasa a ser - 1 ¿cómo es el sistema? ¿cuántas soluciones tiene? Razona la respuesta
