1
Exercicis corresponents al Tema 1
1. Siga (X, T) un espai, demostreu
(a) Si C1iC2s´on dos tancats llavors C1∪C2tamb´e ´es tancat.
(b) Si {Ci}i∈Λ´es una fam´ılia de tancats llavors ∩i∈ΛCitamb´e ´es tancat.
2. Siga (X, T) un espai tal que per a tot x∈Xel conjunt {x}´es obert. Demostreu que la
topologia T´es la discreta.
3. Proveu que si X´es un conjunt i T,T0s´on dues topologies sobre ell, llavors T ∩ T 0tamb´e ´es
una topologia sobre X.
4. Doneu un exemple d’un conjunt Xamb dues topologies T,T0tal que T ∪ T 0no ´es topologia
sobre X.
5. (*) Direm que un espai topol`ogic (X, T) ´es T1si per a tota parella x6=y∈Xexisteixen entorns
U∈ E(x), V∈ E(y) tals que x6∈ Viy6∈ U.
Demostreu que en un espai T1tot punt ´es tancat.
6. Proveu que si (X, T) ´es un espai topol`ogic, per a tot punt x∈X, la fam´ılia formada per tots
els oberts que contenen el punt x(B(x) = {A∈ T :x∈A}) ´es base d’entorns del punt x
respecte a la topologia T.
7. Siga Xun conjunt qualsevol i per a tot punt x∈Xtenim donada una fam´ılia de subconjunts
B(x) complint:
BE1) Per a tot Bx∈ B(x) el punt x∈Bx.
BE2) Si Bx, B0
x∈ B(x) llavors existeix un altre B00
x∈ B(x) tal que B00
x⊂Bx∩B0
x.
BE3) Per a tot Bx∈ B(x) existeix un subconjunt Atal que x∈A⊂Bxi que per a tot punt
y∈Apodem trobar un element By∈ B(y) on By⊂A.
Demostreu:
a) Que TB(x)´es una topologia sobre X
TB(x)={A⊂X: per a tot punt x∈Aexisteix un element Bx∈ B(x) tal que Bx⊂A}∪ {∅}.
b) B(x) ´es base d’entorns de xrespecte de la topologia TB(x).
