UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO
UNIDAD II: SUCESIONES Y SERIES
SEMANA N°8: TOPOLOGÍA EN LA RECTA Y SUCESIONES
1. Dados los conjuntos A y B. Si A es abierto y B es cerrado, demuestre que A-B es abierto y B-A es
cerrado.
2. Dado el conjunto : 𝑀 = [−10,5]∪(−4,−1)∪ {6} ∪ (7, +∞) ; determine:
a) Puntos interiores de 𝑀. b) Puntos frontera c) Puntos de adherencia.
d) Puntos de acumulación
3. Sea 𝑆 =< 3,7] , determinar cuales de los puntos siguientes son o no puntos de acumulación 𝑥0= 3
𝑥0= 7, y 𝑥0= 8
4. Comprobar que el conjunto 𝐴 = {1,2,3,4,6} no tiene puntos de acumulación
5. Determinar los puntos de acumulación del conjunto 𝑆 = {𝑥|𝑥 = 1
𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁}
6. Hallar los puntos de acumulacion del conjunto {𝑥 ∈ℝ: 𝑥 = (−1)𝑛
𝑛,𝑛 ∈ ℕ}
7. Hallar los puntos de acumulacion del conjunto {𝑥 ∈ ℝ: |3𝑥 − 5|−|2𝑥 + 3|> 0}
8. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de ℝ son abiertos, cerrados o compactos?
a) 〈0,1〉 b) 〈0,1〉∪{3,6} c) [0,1] d) {0,1} e) 〈0,2〉∪{1} f) ℚ
9. Demuestre que la unión de una familia arbitraria de subconjuntos abiertos de ℝ es un conjunto abierto.
10. Demostrar que la intersección de una familia finita de subconjuntos cerrados de ℝ es un conjunto
cerrado.
11. Hallar un conjunto de puntos de acumulación de los siguientes subconjuntos de ℝ
a) ℝ b) {1 − 1
𝑛 }, 𝑛 = 1,2,3,4… c) {(1 + 1
𝑛)𝑛},𝑛 = 1,2,3,4, …
12. Construir un subconjunto acotado de ℝ que tenga exactamente dos puntos de acumulación.
13. Dada la sucesión 𝑎1= 1 , 𝑎𝑛=1
3−𝑎𝑛−1 , 𝑛 ≥ 2
Demostrar que a) 𝑎𝑛
2− 3𝑎𝑛+ 1 ≤ 0 , 𝑛 ≥ 1 b) la sucesión {𝑎𝑛}𝑛=1
∞ es convergente y
encontrar su límite.
14. Una partícula se mueve en dirección horizontal. La distancia que recorre cada segundo es igual a 2
veces la distancia que recorre en el segundo anterior. Si an denota la posición de la partícula en el
segundo n-enésimo. Encuentre una relación de recurrencia para an.
15. Dado la sucesión con el termino general xn= 3𝑛−5
9𝑛+4. .Conocido que lim
𝑛→∞ 𝑥𝑛=1
3 .
Hallar el número de puntos xn que están fuera del intervalo L=(1
3−1
1000 ,1
3+1
1000)
16. Analizar si las sucesiones siguientes son crecientes, decrecientes o no monótonas.
𝑎) 𝑎𝑛=5
𝑛+5 𝑏) 𝑎𝑛=𝑛
𝑛2+𝑛+1 𝑐) 𝑎𝑛= 3 + (−1)𝑛
𝑛 𝑑) 𝑎𝑛= 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋
2)
17. Si lim
𝑥→∞ 𝑓(𝑥)= lim
𝑥→0+𝑓 (1
𝑥), calcular los siguientes límites:
𝑎) lim
𝑛→∞ (1 + 1
𝑛)𝑛 𝑏) lim
𝑛→∞ (1 + 1
𝑛2)𝑛
18. Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cot as d e l as s uc es ione s:
a. a n= 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n b. 𝑎𝑛=𝑛+2
2𝑛−1
19. Determine si la sucesión
1)1( n
dada es convergente o divergente.
