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EJERCICIOS Complementarios
1.- A partir de datos históricos un ingeniero estima que el 1% de las vigas que recibe en obra procedentes de su proveedor habitual no cumple las especificaciones de obra. Si necesita 150 vigas para acabar el tejado de una obra, con el fin de garantizar una probabilidad de disponer de un número suficiente de vigas de al menos el 90%. Calcular el número mínimo de vigas que debe encargar en el pedido a su proveedor.
Sol.: n =
2.- Una estación de bombeo dispone de 5 bombas de las mismas características conectadas en paralelo. Para que se consiga bombear el caudal deseado, deben funcionar más de la mitad de las bombas. Sabiendo que la probabilidad de fallo mensual de cada bomba individual es p=0.2, ¿la fiabilidad de la estación de bombeo mensual es del 94.2%?
Sol.: Sí
3.- La probabilidad de que una calzada se inunde como consecuencia del incremento de nivel en el cauce de un río que la cruza al menos una vez en un periodo de cinco años es del 20%. Se sabe que como máximo se produce una inundación anual. a) ¿La calzada está diseñada para la inundación del año 23? b) ¿En un 1.6% de los casos el número de años para que se produzca una nueva inundación es de 23?
Solución: Sea X: nº inundaciones anuales que sufre la calzada en un periodo de 5 años. Llamemos p=probabilidad de que la calzada se inunde en un año cualquiera. Suponiendo que p es constante, que como máximo se produce una inundación anual y que estos sucesos son independientes, X F 07 E Binomial (n=5; p).
P(X F 0B 3 1) = 1 – P(X=0) = 1 – (1-p) 5 = 0.2 F 0D E p = 0.
El periodo de retorno de las inundaciones de la calzada es 1/p = 1/0.0436 = 23 años, por lo que la calzada se ha diseñado para la inundación del año 23. Esto quiere decir que, en promedio, han de transcurrir 23 años entre inundaciones sucesivas de la calzada.
Sea Y: nº años entre inundaciones sucesivas; Y F 07 E Geométrica (p=0.0436). La probabilidad de que el nº de años entre inundaciones sucesivas sea de 23 es: P(Y=23) = (1-p)^22 p = (1-0.0436)^22 0.0436 = 1.6%
Luego en el 1.6% de los casos el número de años para que se produzca una nueva inundación es de 23.
4. - El dispositivo de la figura está formado por tres componentes de funcionamiento independiente. La fiabilidad de los componentes a las 111.5 horas es de 0.8 y cuya duración T se distribuye exponencialmente. Sabiendo que el dispositivo funciona si lo
hacen al menos 2 de sus componentes, calcular la fiabilidad de este dispositivo a las 399 horas.
Sol:0.
5.- El dispositivo de la figura está formado por cinco componentes de funcionamiento independiente. La fiabilidad de los componentes a las 200 horas es de 0.8 y cuya duración T se distribuye exponencialmente. Sabiendo que el dispositivo funciona si lo hacen al menos 2 componentes del bloque 1 y además funciona el componente C5, calcular la fiabilidad de este dispositivo a las 399 horas. Bloque 1
6.- En un plan hidráulico se pretende estudiar si la canalización proyectada para soportar como máximo un caudal de 15 m^3 /seg. en una zona es suficiente para aliviar los posibles caudales máximos anuales. Si se supone que el caudal máximo anual en esa zona, X, en un año se ha modelado como una variable aleatoria con función de densidad:
a.- Hallar el valor de a y dibujar la función de densidad. b.- ¿Cuál es el periodo de retorno asociado a un caudal máximo de 15 m^3 /seg? c.- ¿Qué interpretación tiene este periodo de retorno? ¿Qué hipótesis se asume/n cuando se utiliza el periodo de retorno? Definir la variable que está asociada al periodo de retorno y qué distribución tiene. Justifica las respuestas. d.- ¿Cuál es la probabilidad de que en 40 años, al menos se produzcan dos veces un caudal máximo superior a 15 m^3 /seg? Justifica la respuesta.
Solución
a.- Como por definición, , resolvamos dicha integral:
Resolviendo esta expresión, se obtiene un valor de a = Y la gráfica de la función de densidad es la siguiente:
b.- Sea X = Máximo caudal anual (m^3 /seg). La probabilidad de que el caudal máximo sea superior a 15 m^3 /seg será:
Luego el periodo de retorno será la inversa de esa probabilidad, es decir: F 07 4 = 0.0208 - (^1) = 48 años
c.- Este periodo de retorno indica que caudales máximos superiores a 15 m 3 /seg ocurrirán en promedio cada 48 años. Las hipótesis que se asumen son:
- Los caudales máximos anuales son independientes de unos años a otros.
F 0 7 4 = 0.2046^ - 1^ = 4.89 años
10.- En la figura se muestra parte del esquema de una red de abastecimiento de agua de una ciudad. La vida de cada una de las tuberías (numeradas como 1, 2, 3 y 4) puede modelarse por una distribución exponencial. Cada tubería tiene una fiabilidad del 97% a las 1000 horas de funcionamiento. Se desea estudiar la fiabilidad de la red con respecto al nodo d , es decir, que el nodo d no permanezca aislado porque no pase agua a través de él.
a) ¿Cuántos años en promedio funcionará cada tubería? b) Dibuja (explicando el por qué) el esquema simbólico asociado al funcionamiento de la red con respecto al nodo d. c) Calcular la fiabilidad de la red con respecto al nodo d al cabo de un año de funcionamiento. (Considerar 365 días/año y definir claramente los sucesos involucrados).
Solución:
a) Llamando T a la vida de una tubería, T F 07 E Exp( F 06 1 ), P(T>1000)=0.97=e-1000^ F 0 6 1 ; F 0 6 1 =(-ln0.97)/1000=3.046x10-5^ , por lo que la vida media de las tuberías es E(T)=1/ F 0 6 1 =32830h/24x365=3.7 años
b) Por el nodo d pasará agua si funcionan los tramos (1, 3) ó (2, 4). Cada una de las dos tuberías de cada tramo pueden considerarse conectadas en serie, pues han de funcionar las dos a la vez para que el tramo funcione y llegue agua del nudo a al nudo d. Por otra parte, los tramos (1,3) y (2,4) pueden considerarse conectados en paralelo, pues basta que funcione uno de ellos para que llegue agua al nudo d. Por esto, el esquema simbólico asociado al funcionamiento de la red con respecto al nodo d es el de un sistema serie-paralelo como el indicado en la siguiente figura:
c) Sea el suceso i= F 07 B la tubería nº i funciona al cabo de t horas F 07 D (i=1,2,3,4), y P(i)=ri
Sea el suceso A= F 07 B el tramo (1,3) funciona al cabo de t horas F 07 D
Sea el suceso B= F 07 B el tramo (2,4) funciona al cabo de t horas F 07 D
Sea el suceso D= F 07 B por el nodo d pasa agua al cabo de t horas F 07 D
P(D)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=r 1 r 3 + r 2 r 4 – r 1 r 2 r 3 r 4 , como todas las tuberías tienen el mismo comportamiento, r 1 = r 2 = r 3 = r 4 = r, por lo que
P(D)=2r^2 – r 4.
La fiabilidad al cabo de 365 días (x24h/día) = 8760 horas será, siendo r = P(i) = P(T>8760) = e-8760 x 3.046 ·E-5^ = 0.766,
P(D) = 2x(0.766)^2 – (0.766) 4 = 0.
8
f(x)
6 x d b a c 2 1 4 3 2 3 4 1
