1
Exercicis corresponents al Tema 5
1. Demostreu que la m`etrica del valor absolut i la m`etrica
d(x, y) = |1
x−1
y|
en ]0,1[ s´on equivalents, per`o que la successi´o {1/n}∞
n=1 ´es de Cauchy respecte de la primera
m`etrica i no ho ´es respecte de la segona.
2. (*) Siga (X, d) un espai m`etric i siguen C,C0subconjunts de X. Proveu que si CiC0s´on
complets, C∪C0tamb´e ho ´es.
3. Demostreu que la intersecci´o de qualsevol fam´ılia de subespais complets d’un espai m`etric ´es
complet.
4. Quins dels seg¨uents subespais de (R,| |)ode(R2, d2) s´on complets?
(a) S= [0,1[;
(b) S={1
n:n≥1}∪{0};
(c) S=Q∩[0,1];
(d) S={(x, y)∈R2:x≥1,0≤y≤1/x}.
5. Siga (X, d) un espai m`etric, definim la seg¨uent m`etrica sobre X
d0(x, y) = min {1, d(x, y)}.
Proveu que (X, d) ´es complet si i nom´es si (X, d0) ho ´es.
6. (*) Siga f: (X, d)−→ (Y , d0) una aplicaci´o bijectiva, uniformement continua i tal que f−1´es
continua. Demostreu les afirmacions seg¨uents:
(a) Si la successi´o {xn}∞
n=1 ⊂X´es de Cauchy, llavors tamb´e ho ´es la successi´o {f(xn)}∞
n=1.
(b) Si la successi´o {yn}∞
n=1 ⊂Y´es convergent, llavors tamb´e convergeix {f−1(yn)}∞
n=1.
(c) Si (Y, d0) ´es complet, llavors tamb´e ho ´es (X, d).
7. Siguen (X, d)i(Y, d0) dos espais m`etrics,
(a) Proveu que la identitat de X×Y´es un homeomorfisme uniforme quan sobre X×Y
considerem qualsevol de les tres m`etriques, d1,d2od∞. Aleshores, si X×Y´es complet
amb una d’elles tamb´e ´es complet amb les altres.
(b) Proveu que una successi´o {(xn, yn)}∞
n=1 en (X×Y, d∞) ´es de Cauchy si i nom´es si {xn}∞
n=1
´es de Cauchy en (X, d) i {yn}∞
n=1 ´es de Cauchy en (Y, d0).
