1
Exercicis corresponents al Tema 4
1. Quins dels seg¨uents subespais de (R,Tu) o de (R2,Tu) s´on compactes? Expliqueu la resposta.
(a) [0,1[;
(b) [0,+∞[;
(c) Q∩[0,1];
(d) {(x, y)∈R2:x2+y2= 1};
(e) {(x, y)∈R2:|x|+|y| ≤ 1};
(f) {(x, y )∈R2:x2+y2<1};
(g) {(x, y)∈R2:x≥1,0≤y≤1/x}.
(h) {(x, (1/x)) ∈R2: 0 < x ≤1}.
(i) {(x, sin(1/x)) ∈R2: 0 < x ≤1}.
2. Demostreu que (R2,Tu) i (S2={(x, y, z)∈R3:x2+y2+z2= 1},Tu) no son espais
homeomorfs.
3. (*) Demostreu que un espai topol`ogic (X, T) ´es compacte si i nom´es si per a tota fam´ılia
de tancats C={Ci}i∈Itals que ∩i∈ICi=∅existeix una subfam´ılia finita {Ci1, . . . , Cik}que
compleix Ci1∩ · ·· ∩ Cik=∅.
4. Siga (X, T) un espai topol`ogic compacte i suposem que per a cada n∈N∗,Cn´es un subconjunt
tancat no buit i tal que Cn+1 ⊆Cn. Proveu que ∩∞
n=1Cn6=∅.
5. Siga (X, T) un espai topol`ogic i {xn}∞
1una successi´o que convergeix a x. Demostreu que el
suconjunt {x}∪{xn:n∈N∗}´es compacte.
6. (*) Siga (X, T) un espai topol`ogic. Demostreu que si K, K 0⊆Xs´on subespais compactes,
aleshores K∪K0tamb´e ´es compacte.
7. Siga (X, T) un espai topol`ogic de Hausdorff. Demostreu que si {Ki}i∈I´es una fam´ılia de
subespais compactes de X, aleshores Ti∈IKitamb´e ´es compacte.
¿Passa el mateix si (X, T) no ´es Hausdorff ?
8. (*) Siga Xun conjunt i siguen T1,T2dues topologies sobre X. Suposem que T1⊆ T2. Justifiqueu
si s´on o no certes les afirmacions seg¨uents. Demostreu aquelles que siguen certes i, per a les
que siguen falses, trobeu un contraexemple.
(a) Si (X, T1) ´es compacte, llavors (X, T2) ´es compacte.
(b) Si (X, T2) ´es compacte, llavors (X, T1) ´es compacte.
