¡Descarga Exercicis temes 5-6-7 y más Ejercicios en PDF de Estadística solo en Docsity!
ESTADÍSTICA BÀSICA EXERCICIS
TEMES 5, 6 i 7
ENUNCIATS SOLUCIONATS EN LES TRANSPARENCIES
TEMA 5. CÀLCUL DE PROBABILITATS
Exercici 5.1. En un estudi de consum sobre una mostra de famílies es dedueix que un 18% tenen DVD, un 84% rentavaixelles i un 70% assecadora, P(DVDRV): 0,17 ;P(RV A): 0,65; P(DVD A): 0,15 i el 0,14 els tres electrodomèstics. Calculeu:
a. La probabilitat de que al escollir una família tingui rentavaixelles o assecadora. b. La probabilitat de que tingui DVD i no tenir rentavaixelles.
c. La probabilitat de no tenir assecadora i no tenir rentavaixelles. d. La probabilitat de tenir rentavaixelles o assecadora o DVD. e. La probabilitat de no tenir rentavaixelles i no tenir assecadora i no tenir DVD
Exercici 5.2. Es coneix que 3/4 parts de la població amb estudis superiors coneixen l’ anglès i un 60% el francès, i el 50% coneixen els dos idiomes simultàniament. Quina és la probabilitat de què una persona amb estudis superiors coneixent l’ anglès conegui el francès? Quina és la probabilitat de què coneixent l’idioma francès conegui l’ anglès?
Exercici 5.3. Un equip de futbol juga la meitat dels partits a casa, si coneixem que jugant a casa hi ha un 80% de probabilitat de guanyar. Calcular la probabilitat de que triat un partit a l’atzar s’hagi jugat a casa i s’hagi guanyat.
Exercici 5.4. En la població que forma un conjunt d’empreses es defineixen els
successos:
A = empreses amb pèrdues en l’exercici
B = empreses que han reduït plantilla
C = empreses que han realitzat inversions
P(A) = 0,52 P(B) = 0,49 P(C) = 0, P(A B) = 0,35 P(A C) = 0, P(B C) = 0,09 P(A B C) = 0,
Calcular la probabilitat de que escollida una empresa a l’atzar:
a. compleixi la característica “pèrdues en l’exercici “ (A) sabent que ha complert la característica “ha realitzat inversions” (C) b. compleixi les característiques que “ha reduït plantilla” i “ha fet inversions” (B i C) però no tingui pèrdues en l’exercici (A)
c. Són independents els successos A i B?
Exercici 5.5. La producció d’una empresa es distribueix en tres seccions que elaboren
respectivament el 20%, 30% i 50% del total. La fracció de peces defectuoses que
elabora la secció 1 és el 2%, la secció 2 el 4% i l’ 1% la secció 3.
Sabent que ens hem trobat una peça defectuosa quina probabilitat hi ha de què hagi estat
produïda per la secció 1.
TEMA 6. VARIABLE ALEATÒRIA
Exercici 6.1. A partir de la funció de quantia:
0 resta x
Calculeu:
a. Calcular la funció de quantia i la funció de distribució b. Representació gràfica de la funció de quantia i la funció distribució c. Esperança matemàtica
2
EXERCICIS REPÀS TEMES 5,6 I 7
TEMA 5. Càlcul de probabilitats
Exercici 1. Quina és la probabilitat de respondre correctament a una pregunta de tipus test, amb quatre possibles solucions, sense cap coneixement de probabilitat, segons Laplace?
P (Correcte) =
Hi ha un 25% de probabilitat de respondre correctament una pregunta.
Exercici 2. Un fabricant adquireix el 80% d'un cert tipus de peces a un proveïdor A, els enviaments que rep l’empresa de mitjana presenten un 5% de peces defectuoses, i els enviaments que són del proveïdor A i tenen peces defectuoses simultàniament, són del 4%. Quina és la probabilitat que una determinada peça escollida a l'atzar l'hagi comprat a aquest proveïdor A o sigui defectuosa?
- P (Proveidor A) = 0,
- P (Defectuos) = 0,
- P (Proveidor A ∩ Defectuós) = 0,
- P (Proveidor A U Defectuós) = ????
P (Proveidor A U Defectuós) = P (Proveidor A) + P (defectuós) – P (Proveidor A ∩ Defectuós)
0,80 + 0,05 – 0,04 = 0,
Hi ha un 81% de probabilitat de que escollida una peça a l’atzar l’hagi comprat a aquest
proveïdor A o sigui defectuosa.
Exercici 3. Amb les mateixes dades de l’exercici anterior, quina és la probabilitat que una determinada peça escollida a l'atzar l'hagi comprat a aquest proveïdor A i no sigui defectuosa?
- P (Proveidor A) = 0,
- P (Defectuós) = 0,
- P (Proveidor A ∩ Defectuós) = 0,
- P (Proveidor A ∩ Defectuós (subratllat adalt) ) = P(proveïdor A) – P(Proveidor A ∩ Defectuós) = 0,80 – 0,04 = 0,
O bé si son independents.
- (^) P (Defectuós) = 0,
- P (defectuós) (subratllat adalt) = 0,
- P (Proveidor A ∩ Defectuos subratllat) = P (Proveidor A) x P(defectuós subratllat) = 0,80 x 0,95 = 0,
4
Exercici 4. De l’estudi d’un col·lec�u d’empreses ubicades a Catalunya es desprèn que el 40% estan finançades amb capital espanyol, un 25% es financia amb capital americà i el 15% es financia amb capital espanyol i americà. Escollida una d’aquestes empreses a l’atzar, es demana la probabilitat de que es financi amb capital americà si sabem que es financia amb capital espanyol.
- P (Espanyol) = 0,
- P (America) = 0,
- P (Espanyol ∩ Americà) = 0,
- P (America / Espanyol) = ????? PROBABILITAT CONDICIONADA
P (America / Espanyol) = 0,
Exercici 5. En relació a la pregunta anterior, quina és la probabilitat de què l’empresa escollida a l’atzar no es financi-hi ni amb capital espanyol ni amb capital americà?
• P (Ë U Ä)
- P (Espanyol) = 0,
- P(America) = 0,
- P (Espanyol ∩ Americà) = 0,
- P (Ë ∩ Ä) = LLEI DE MORGAN = P (Ë U Ä) = 1 – P (Espanyol U Americà) = 1 – (0,40 + 0,25 – 0,15) = 0,
Exercici 6. S'ha entrevistat a uns 5.000 alumnes a l'atzar i s'observa que 3.000 alumnes han triat les optatives tenint en compte l'horari, 2.000 alumnes les han triat, tenint en compte la matèria i 600 alumnes les han triat, tenint en compte la matèria i l'horari, simultàniament. Els successos "triar segons la matèria" i "triar segons l'horari" són independents?
- P (Horari) = 3000/5000 = 0,
- P (Materia) = 2000/5000 = 0,
- P (Horari ∩ Materia) = 600 / 5000 = 0,
Si son independents...
- P (Horari ∩ Materia) = P (horari) x P (materia) = 0,12 ≠ 0,60 x 0, 0,12 ≠ 0, NO SON INDEPENDENTS
Exercici 7. Siguin els successos aleatoris A i B, tals que P (A) = 0,5; P (B) = 0,3 i P (AUB) = 0,65. Els successos A i B són independents?
Si son independents P (A ∩ B) = P(A) x P(B)
Necessitem conèixer la intersecció, a partir de les dades:
Exercici 11. Una marca té 3 concessionaris: A, B i C. El 40% de les vendes la fa A, el 30% B i la resta C. La probabilitat que la venda no es pagui és del 5%, 2% i 3%, respectivament. Si una operació resulta impagada, quina és la probabilitat que sigui del concessionari C?
a. 0. b. 0. c. 0. a. 0.
Teorema Bayes
P (Ai/X)
P (C/X) =
Exercici 12. Un banc té quatre agències (A, B, C i D) que descompten aproximadament el mateix nombre de lletres cadascuna. La probabilitat que una lletra resulti impagada és de 0.05 en A; 0.025 en B; 0.08 en C i 0.1 en D. La probabilitat que una lletra escollida a l'atzar que ha resultat ser impagada provingui de l'agència B és igual a:
a. 0. b. 0. c. 0. d. 0.
P (B/X) =
TEMA 6. Variable aleatòria
Exercici 13. Una variable aleatòria X presenta la següent funció de quantia P(x):
X 1 2 4 6 P(x) 0,4 0,1 0,1 0,
a) Obtingui la funció de distribució de X. b) Quin es el valor esperat o esperança matemàtica de X?
SOLUCIÓ:
A)
Valor variable X F. quantia F.distribucio 1 0,4 0, 2 0,1 0, 4 0,1 0, 6 0,4 1
També es pot representar com: F(X)=
- 0... quan X<
- 0,4.. quan 1 < x < 2
- 0,5.. quan 2 < x < 4
- 0,6.. quan 4 < x < 6
- 1.. quan x > 6 B) E(X) = ∑xP(x) = (1)0,4 + (2)0,1 + (4)0,1 + (6)0,4 = 3,
Exercici 14. Una variable aleatòria es: a) És una funció de valor real, definida sobre un espai referencial E, que fa correspondre a cadascun dels elements de E un nombre real. : E R b) : a R
c) : a E
d) Cap de les anteriors
TEMA 7. Models probabilístics
Exercici 15. Si tenim una variable aleatòria binomial que segueix una distribució X~ B(n,p), on el número de proves és 10 i la probabilitat un 20%. Quina és la probabilitat que X sigui superior a 4? Quina és la probabilitat que hi hagi entre 3 i 5? B (n, p) B (10, 0.2) P (x > 4) = 1 – P(x ≤ 4) = 1 – 0,9672 = 0,
Quina és la probabilitat que hi hagi entre 3 i 5? P (3 ≤ x ≤ 5) = P (x ≤ 5) – P(x ≤ 2) = 0,9936 – 0,6778 = 0,
Exercici 16. Una companyia de telefonia mòbil rep una mitjana de 36 sol·licituds
d'abonament setmanals (6 dies laborables). Si el nombre de sol·licituds segueix una
distribució de Poisson,
a. quina és la probabilitat que en un dia es rebin exactament 3 sol·licituds? P (2 < x ≤ 3) = P(x ≤ 3) – P(x ≤ 2) = 0,151 – 0,062 = 0,
b. quina és la probabilitat que en un dia es rebin més de 2 sol·licituds? P (X > 2) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – 0,06197 = 0,
Exercici 17. A par�r de la variable aleatòria temperatura d’una estació d’esquí que segueix una distribució normal �pificada amb mitjana 0 i desviació estàndard 1, N (0,1) calculeu amb ajuda de les taules de la distribució normal:
a. La probabilitat de que la temperatura sigui inferior a 1,50. P (z<1,50) = busquem a les taules i dona .. 0,
La probabilitat que la temperatura sigui inferior a 1,5 es del 93,31%
b. La probabilitat de que la temperatura sigui superior a 1,50. P (z>1,50)
8
A = 297,4 ... És el pes que suportarien el 30% de les prestatgeries.
Exercici 20. El contingut en els envasos d'un determinat producte (en litres) es distribueix segons una N (m =1,5; F 07 3 =0,02).
a. (^) Si només s'accepten envasos amb continguts compresos entre 1,47 i 1,53 litres, quin és el percentatge d'envasos acceptables? P (1,47 < X < 1,53) = TIPIFICAR ... P (1,47–1,5) / 0,02) < Z < (1,53-1,5)/0,02) = P (-1,5 < z < 1,5) = P (z<1,5) – P(z<-1,5) = 0,9332 – 0,0668 = 0, b. D'una partida de 1.000 envasos, quants s'espera que presentin un contingut inferior a 1,48 litres? P (x< 1,48) = P ( z < (1,48-1,5)/ 0,02) = P ( z < -1) = 0, Nº envasos = 1.000(0,15866) = 158,6 Aproximadament 159 envasos. c. (^) Es vol modificar la màquina a l'efecte de que només en l'1% dels envasos es superin continguts de 1,5 litres. Quin serà el nou contingut mitjà mantenint la mateixa variància? X ~ N (mitjana ; 0,02) P (x > 1,5) = 0, P (z> (1,5 – mitjana) /0,02) = 0, P ( z< (1,5 – mitjana) /0,02) = 0,99 Buscar dins de la taula normal 0, 1,5 – mitjana / 0,02 = 2, El nou contingut mitjà mantinint la mateixa variança serà de 1,
Exercici 21. La propietat reproduc�va de la llei normal indica:
a)Que moltes distribucions normals sumades o restades son també un altra distribució normal
b)Que si agafem varies distribucions diferents i les sumem al límit son una distribució normal
c)Es el mateix que el teorema central del límit
d)Cap de les anteriors
10
