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2. 3 Ecuaciones Diferenciales Lineales
Empezamos con ED de primer orden de la forma 𝑦
′
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦) (1) donde f es una función
dada de dos variables. Cualquier función diferencial y=(x) que satisface la ecuación (1) para toda x
en un intervalo de solución se llama solución. El objetivo es determinar si existen funciones de
este tipo y, en caso afirmativo, desarrollar métodos para encontrarlas.
Para este análisis se supondrá que la función f(x,y) depende linealmente de la variable y.
Bajo esta consideración se puede escribir la ecuación (1) de la siguiente forma:
Las ecuaciones diferenciales lineales son una familia especialmente “amigable” de ecuaciones
diferenciales en las que, dada una ecuación lineal, ya sea de primer orden o de un miembro de
orden superior, siempre hay una buena posibilidad de que podamos encontrar alguna clase de
solución de la ecuación que podamos examinar
DEFINICIÓN 2.3.
La ecuación (1) 𝑎 1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
0
(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) es una ecuación lineal en la variable dependiente y.
Se dice que la ecuación lineal (1) es homogénea cuando g(x) = 0; si no es no homogénea.
FORMA ESTÁNDAR. Al dividir ambos lados de la ecuación (1) entre el primer coeficiente,
a1(x), se obtiene una forma más útil, la forma estándar de una ecuación lineal:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Buscamos una solución de la ecuación (2) en un intervalo I , en el cual las dos funciones P y f sean
continuas.
En el análisis que se presenta a continuación ilustraremos una propiedad y un procedimiento y
terminaremos con una fórmula que representa la forma de cada solución de la ecuación (2). Pero
más importantes que la fórmula son la propiedad y el procedimiento , porque ambos conceptos
también se aplican a ecuaciones lineales de orden superior.
LA PROPIEDAD
La ecuación diferencial (2) 𝑦′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) tiene la propiedad de que su solución es la suma de
las dos soluciones, y =
y c
+ y p ,
donde y c
es una solución de la ecuación homogénea
𝑑𝑦
𝑑𝑥
y y
p
es una solución particular de ecuación no homogénea (2). Para ver esto, observe que
𝑑[𝑦
𝑐
𝑝
]
[𝑦
𝑐
𝑝
] =
𝑐
𝑝
𝑐
𝑝
Ahora la ecuación (3) es también separable. Por lo que podemos determinar y
c
al escribir la ecuación
(3) en la forma.
𝑑𝑦
𝑦
+ 𝑃(𝑥) = 0 , e integramos, despejando y, se obtiene:
dy
y
ln|𝑦| + ln |𝑐
1
ln|𝑦𝑐
1
1
− ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
1
− ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
− ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
Por conveniencia escribimos: 𝑦
𝑐
1
(𝑥). Donde
1
− ∫
𝑃(𝑥)𝑑𝑥
1
− ∫
𝑃(𝑥)𝑑𝑥
A continuación se utiliza el hecho de que:
𝑑𝑦 1
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 0 para determinar y
p
PROCEDIMIENTO
para encontrar una solución particular se utiliza un método llamado variación de parámetros , cuya
idea básica es encontrar una función,
u
tal que sea una solución de la ecuación (2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑝
1
− ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
se multiplica por u(x) a la ecuación
1
− ∫
𝑃(𝑥)𝑑𝑥
En otras palabras, nuestra suposición para
𝑝 es la misma que
𝑐
1
excepto que
se ha sustituido por el
“parámetro variable”
. Sustituyendo
𝑝
1
en la ecuación (2) se obtiene:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑝
𝑝
𝑑[𝑢𝑦
1
(𝑥)]
+ 𝑃(𝑥)[𝑢𝑦
1
(𝑥)] = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑦
1
𝑑𝑥
1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
1
𝑢 [
1
1
] + 𝑦
1
1
1
1
1
1
Separando las variables e integrando tenemos:
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN
I. Ponga la ecuación lineal de la forma (1) en la forma estándar (2).
II. Identifique la identidad de la forma estándar P(x) y después determine el factor integrante
𝑒
∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
III. Multiplique la forma estándar de la ecuación por el factor integrante. El lado izquierdo de la
ecuación resultante es automáticamente la derivada del factor integrante y y:
𝑑[𝑒
∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑦]
𝑑𝑥
=
𝑑[𝑐 + ∫ 𝑒
∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑓
( 𝑥
) 𝑑𝑥]
𝑑𝑥
𝑑[𝑒
∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑦]
𝑑𝑥
= 𝑒
∫ 𝑃
( 𝑥
) 𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
IV. Integre ambos lados de esta última ecuación.
EJEMPLO 1: Solución de una ED lineal homogénea
Resuelva :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
P#
Ecuación
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Pasar de la forma (1) 𝑦
′
𝑑𝑦
𝑑𝑥
A la forma (2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
dy
dx
− 3y = 0 esta ecuación ya tiene el formato de la forma (2)
2 𝑃(𝑥) = − 3 por tanto, el factor integrante es 𝑒
∫ 𝑃
( 𝑥
) 𝑑𝑥
= 𝑒
∫ − 3 𝑑𝑥
= 𝑒
− 3 𝑥
𝑓(𝑥) = 0
dy
dx
− 3y = 0
𝑒
− 3 𝑥
dy
dx
− 3 𝑒
− 3 𝑥
y = 0
𝑑
𝑑𝑥
[𝑒
− 3 𝑥
𝑦] = 0
𝑑
𝑑𝑥
[𝑒
− 3 𝑥
𝑦] = 𝑒
− 3 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3 𝑒
− 3 𝑥
𝑦
∫
𝑑
𝑑𝑥
[𝑒
− 3 𝑥
𝑦] = ∫
0
𝑒
− 3 𝑥
𝑦 = 𝑐
𝑦 = 𝑐𝑒
3 𝑥
, - < x <
P#
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑃(𝑥) = − 3 𝑓(𝑥) = 6
𝑒
∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
= 𝑒
∫ − 3 𝑑𝑥
= 𝑒
− 3 𝑥
(factor integrante)
𝑒
− 3 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3 𝑥
− 3 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
[𝑒
− 3 𝑥
𝑦] = 6 𝑒
− 3 𝑥
∫
𝑑
𝑑𝑥
[𝑒
− 3 𝑥
𝑦] = ∫ 6 𝑒
− 3 𝑥
− 3 𝑥
− 3 𝑥
+c 𝑦 = − 2 𝑒
− 3 𝑥
− 3 𝑥
− 3 𝑥
3 𝑥
P#
𝑑𝑦
𝑑𝑥
6
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
4
𝑥
5
𝑥
𝑃(𝑥) = −
4
𝑥
5
𝑥
𝑒
∫ 𝑃
( 𝑥
) 𝑑𝑥
= 𝑒
∫ −
4
𝑥
𝑑𝑥
= 𝑒
− 4 𝑙𝑛(𝑥)
(factor integrante) − 4 𝑙𝑛(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥
− 4
𝑒
𝑙𝑛𝑥
− 4
= 𝑥
− 4
prop logaritmos
𝑒
∫ 𝑃
( 𝑥
) 𝑑𝑥
= 𝑒
∫ −
4
𝑥
𝑑𝑥
= 𝑥
− 4
𝑥
− 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥
− 4
𝑥
− 4
𝑥
5
𝑒
𝑥
𝑥
− 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5
𝑥
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥
− 4
𝑦] = 𝑥𝑒
𝑥
∫
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥
− 4
𝑦] = ∫ 𝑥𝑒
𝑥
𝑥
− 4
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
− 4
𝑥
1
𝑥
− 4
𝑥
1
𝑥
− 4
5
𝑥
4
𝑥
4
P#
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥
𝑥
2
− 9
𝑃(𝑥) =
𝑥
𝑥
2
− 9
𝑒
∫ 𝑃
( 𝑥
) 𝑑𝑥
= 𝑒
∫
𝑥
𝑥
2
− 9
𝑑𝑥
(fac int) 𝑢 = 𝑥
2
𝑑
𝑑𝑥
[
1
𝑥
2
− 9
] = ln(𝑢) 𝑢
′
= 2 𝑥𝑙𝑛(𝑢) = 2 𝑥𝑙𝑛(𝑥
2
− 9 )
𝑒
1
2
∫
2 𝑥
𝑥
2
− 9
𝑑𝑥
= 𝑒
1
2
ln(𝑥
2
− 9 )
= 𝑒
ln √(𝑥
2
− 9 )
= √(𝑥
2
− 9 )
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥
√(𝑥
2
− 9 )
𝑑
𝑑𝑥
[√(𝑥
2
− 9 )𝑦] = 0
∫
𝑑
𝑑𝑥
[√(𝑥
2
− 9 )𝑦] =
∫
√(𝑥
2
𝑐
√(𝑥
2
− 9 )
DEFINICIÓN 2.4.1 Ecuación exacta
Una expresión diferencial M(x, y) dx + N(x, y)dy es una diferencial exacta en una región R del plano
xy si ésta corresponde a la diferencial de alguna función f(x, y) definida en R.
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Se dice que es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.
Por ejemplo:
2
3
3
2
𝑑𝑦 = 0 es una ecuación exacta, debido a que su lado izquierdo es una diferencial
exacta:
3
3
2
3
3
2
2
3
3
2
Si asociamos: 𝑀
2
3
y 𝑁
3
2
Entonces
𝜕𝑀
𝜕𝑦
2
2
y
𝜕𝑁
𝜕𝑥
2
2
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝜕𝑁
𝜕𝑥
El teorema 2.4.1, que se presenta a continuación, muestra que la igualdad de las derivadas parciales
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝜕𝑁
𝜕𝑥
no es una coincidencia.
TEOREMA 2.4.1 Criterio para una diferencial exacta
Sean M (x, y) y N (x, y) continuas y que tienen primeras derivadas parciales continuas en una región
rectangular R definida por a < x < b , c < y < d. Entonces una condición necesaria y suficiente para
que M (x, y) dx + N (x, y) dy sea una diferencial exacta es
La igualdad de las parciales mixtas es una consecuencia de la continuidad de las primeras derivadas
parciales de M (x, y) y N (x, y).
2
La parte de suficiencia del teorema 2.4.1 consiste en mostrar que existe una función f para la que
= 𝑀(𝑥, 𝑦) y
siempre que la ecuación (4) sea válida. La construcción de la función f en realidad muestra un
procedimiento básico para resolver ecuaciones exactas.
MÉTODO DE SOLUCIÓN
Dada una ecuación en la forma diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 , determine si la igualdad de la
ecuación (4) es válida. Si es así, entonces existe una función f para la que
𝜕𝑓
𝜕𝑥
Podemos determinar f integrando M (x, y) respecto a x mientras y se conserva constante
Donde la función arbitraria g(y) es la constante de integración. Ahora derivando (5) respecto a y y
se suponiendo que
𝝏𝒇
𝝏𝒚
′
Se obtiene:
′
Por último, se integra la ecuación (6) respecto a y y se sustituye el resultado en la ecuación (5). La
solución implícita de la ecuación es f (x, y) = c.
Haremos algunas observaciones en orden.
Primero, es importante darse cuenta de que la expresión
es independiente de x , ya que
[𝑁(𝑥, 𝑦) −
∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 ] =
Segunda, pudimos iniciar bien el procedimiento anterior con la suposición de que
𝜕𝑓
𝜕𝑦
Después, integrando N respecto a y y derivando este resultado, encontraríamos las ecuaciones
que, respectivamente, son análogas a las ecuaciones (5) y (6).
′
P#
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥𝑦
2
−𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑦
( 1 −𝑥
2
)
, 𝑦( 0 ) = 2 Verificar:
𝝏𝑴
𝝏𝒚
=
𝝏𝑵
𝝏𝒙
( 4 )
2
2
2
2
2
2
)
𝝏𝑴
𝝏𝒚
= −𝟐𝒙𝒚 =
𝝏𝑵
𝝏𝒙
( 4 ) entonces la ecuación es exacta, y por el teorema 2.4.1 existe una función f (x, y) tal que
𝝏𝑴
𝝏𝒚
𝑑(− 𝑥𝑦
2
+𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥)
𝑑𝑦
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑑(𝑦( 1 −𝑥
2
))
𝑑𝑥
𝑀(𝑥, 𝑦) =
d𝑓
𝑑𝑥
2
d𝑓
𝑑𝑦
2
)) (2)
Se Integra (1)
d𝑓 = ∫
2
∫
2
∫
𝑥
2
𝑦
2
2
− 𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
2
tomando en cuenta que la variable y es una constante.
Tomando la derivada parcial de la función f con respecto a y e igualando este resultado igual a N (x, y)
se obtiene g’(y) y g(y):
d𝑓
2
2
2
2
′
2
′
𝑦
2
2
2
2
2
( 𝑦
) = −
2
2
2
2
La solución planteada se basa en una familia de curvas f (x, y) = c, por lo tanto, la solución no es
𝑥
2
𝑦
2
2
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
2
𝑦
2
2
sino c
𝑥
2
𝑦
2
2
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
2
𝑦
2
2
1
2
2
2
2
1
Y(0) = 2 − 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Por lo tanto la solución implícita es: 𝑦 =
3 +𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
1 −𝑥
2
y está definida en cualquier intervalo
que no contenga ni a x = 1 ni a x = - 1
