Algunas aplicaciones del teorema de Frobenius
El caso más simple es el de una distribución 𝜀𝑚−1 (𝑚 − 1)-dimensional en una variedad 𝑀𝑚 de m-
dimensiones. Si 𝜀𝑚−1 se define por una forma 𝜔 que no desaparece, la integrabilidad de la
distribución se reduce a la forma donde
𝑑𝜔 ∧ 𝜔 = 0
lo cual hará que tal distribución desaparezca. El método de integración explícita del sistema
Pfaffsehen (𝑚 − 1)-dimensional se basa en la búsqueda del denominado factor de integración y la
aplicación de los lemas de Poincaré
Un factor de integración de la forma 𝜔 que no desaparece en ninguna parte de la función 𝑓: 𝑀𝑚→
ℝ tal que la forma 𝑓 ⋅ 𝜔 esté cerrada, donde:
𝑑(𝑓 ⋅ 𝜔)=0
Dado, que en ninguna parte la forma 𝜔 está desapareciendo en la variedad 𝑀𝑚, puede decirse que:
(1) Si hay un factor de integración para 𝜔 entonces 𝑑𝜔 ∧ 𝜔 = 0. En este caso la distribución
𝜀𝑚−1 puede ser integrada;
(2) si 𝑑𝜔 ∧ 𝜔 = 0, en la proximidad del punto 𝑀𝑚 existe un factor de integración de la forma
𝜔;
(3) las variedades integrales de la distribución 𝜀𝑚−1 son localmente las superficies niveladas de
las ecuaciones
𝑑(𝑓 ⋅ 𝜔)=0, 𝑓 ⋅ 𝜔 = 𝑑𝑔
del factor de integración 𝑓 de la determinada función 𝑔.
Para 𝑑(𝑓 ⋅ 𝜔)=0 resulta que 𝑑𝑓 ∧ 𝜔 + 𝑓 ⋅ 𝑑𝜔 =0. Multiplicando esta ecuación nuevamente por
la forma 𝜔, se obtiene que 𝑓 ⋅ 𝑑𝜔 ∧ 𝜔 = 0. Debido a que 𝑓 ≠ 0 se obtiene 𝑑𝜔 ∧ 𝜔 = 0 como
condición necesaria para la existencia de un factor de integración.
En la dimensión 𝑚 = 2, la forma 𝑑𝜔 ∧ 𝜔 = 0 desaparece por razones puramente algebraicas. Así
que eso se implica que:
(𝑖) cada forma 𝜔 que no desaparece de una variedad bidimensional tiene localmente un factor de
integración.
En ℝ2 considerando la ecuación diferencial
𝑃(𝑡, 𝑥)+ 𝑄(𝑡 , 𝑥)𝑥 = 0
En un punto (𝑡0,𝑥0)∈ ℝ2, donde 𝑃 y 𝑄 no desaparecen simultáneamente, puede usarse la forma 𝜔
𝜔 = 𝑃(𝑡, 𝑥 )𝑑𝑡 + 𝑄(𝑡, 𝑥)𝑑𝑥
y considerando su factor de integración 𝑓(𝑡, 𝑥). La ecuación diferencial equivalente es
(𝑓 ⋅ 𝑃)(𝑡, 𝑥 )+(𝑓 ⋅ 𝑄)(𝑡, 𝑥)𝑥 = 0
