Factorización ejercicios, Ejercicios de Matemáticas

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página 10 FACTORIZACIÓN

CONCEPTO

Para entender el concepto teórico de este tema, es necesario recordar lo que se mencionó en la página

2 referente al nombre que se le da a las cantidades en función de la operación que estén realizando.

Se dijo que FACTOR es el nombre que se le da a toda cantidad, ya sea en Aritmética o en Álgebra,

que "esté jugando el deporte" llamado MULTIPLICACIÓN. En palabras más técnicas, un factor es toda

cantidad que se está multiplicando con otra.

Por ejemplo, en la operación 23 × 14, como el número 23 "está jugando al deporte" llamado multipli-

cación, se le llama factor. Técnicamente, como el 23 se está multiplicando con otro número, éste es un

factor. Lo mismo puede decirse del número 14.

FACTORIZAR una cantidad o expresión significa encontrar sus factores, es decir, aquellos números

que multiplicados dan dicha cantidad. Por ejemplo, factorizar el número 6 significa hallar los números

que multiplicados entre sí dan el 6. Son el 2 y el 3, ya que 6 = 2 × 3. Factorizar el 6 es escribirlo de la

forma 2 × 3.

Cuando se trata de una expresión algebraica, factorizarla es también escribirla de manera que su

operación principal sea la multiplicación. Obsérvense los siguientes casos: si se tiene la expre-

sión 2 x^2 + 9 x − 5 , su operación principal es la suma (y la resta), por lo tanto, lo que hay allí escritos

son términos, no factores. Factorizada queda de la forma (2 x - 1)( x + 5) , en donde la operación principal

es la multiplicación, por lo que hay allí factores. Por eso está factorizada. Desde luego que el alumno

no debe preocuparse en este momento en cómo se hizo para factorizar una expresión como la anterior

pues eso no se ha explicado todavía. En cambio, si se tiene la expresión 6 ax − 2 bx − 3 ay + by y ésta

se escribe de la forma 2 x (3 a - b ) - y (3 a - b ), no ha sido factorizada ya que en esta última expresión la

operación principal es la resta, no la multiplicación.

En Aritmética es relativamente fácil factorizar un número. Así, para factorizar el 36 , que significa

lo mismo que preguntar "¿qué números multiplicados dan 36?", hasta mentalmente se puede obtener

que 36 = 2 × 2 × 3 × 3 ; en cambio, para expresiones algebraicas ya no resulta tan evidente la factoriza-ción, por lo que se requiere de un estudio detallado. Ciertamente existen expresiones algebraicas muy

elementales que fácilmente se pueden factorizar, como por ejemplo, 6 a^2 b que es sencillo deducir que

equivale a la multiplicación de 2 × 3 ×números o cantidades multiplicadas entre sí dan 2 a × a × b ; sin embargo, se complica el asunto si se pregunta ¿qué x 2 + 9 x - 5?

Por esta razón, para factorizar expresiones algebraicas es necesario clasificarlas en diferentes casos.

Debe quedar claro que el número que se le ponga a cada caso de factorización no es su nombre universalen el idioma de las Matemáticas, simplemente que como van a numerarse, algún caso tiene que ser el

número 1, otro el número 2, y así sucesivamente. En cambio, el nombre con que aparezca cada uno de

esos casos sí corresponde a un nombre universal.

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Ejemplo 3: Factorizar 4 a^2 b + 6 abx^5 Solución: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es 2 ab. Se escribe a continuación un paréntesis y adentro de él lo que queda de la expresión original luegode haberle quitado a cada término los factores comunes: 2 ab (2 a + 3 x^5 ). Finalmente significa que 4la operación principal es la multiplicación. a^2 b + 6 abx^5 = 2 ab (2 a + 3 x^5 ). Obsérvese que en esta última expresión,

Ejemplo 4: Factorizar 12 a^4 b^3 c - 6 a^2 b^3 x^7 Solución: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es 6 a^2 b^3. Se escribe a continuación un paréntesis y adentro de él lo que queda de la expresión original luegode haberle quitado a cada término los factores comunes: 6 a^2 b^3 (2 a^2 a - x^7 )

• Finalmente significa que 12presión, la operación principal es la multiplicación. a^4 b^3 c - 6 a^2 b^3 x^7 = 6 a^2 b^3 (2 a^2 c - x^7 ). Obsérvese que en esta última ex-

Ejemplo 5: Factorizar 5 b^2 cx - 60 a^2 b^2 c^5 x^2 Solución: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es 5 b^2 cx. Se escribe a continuación un paréntesis y adentro de él lo que queda de la expresión original luegode haberle quitado a cada término los factores comunes. Como el factor común es todo el primer término de la expresión original, en su lugar se pone 1 : 5 b^2 cx (1 - 12 a^2 c^4 x )

• Finalmente significa que 5expresión, la operación principal es la multiplicación. b^2 cx - 60 a^2 b^2 c^5 x^2 = 5 b^2 cx (1 - 12 a^2 c^4 x ). Obsérvese que en esta última

Ejemplo 6: Factorizar 8 b^2 - 20 a^2 b^2 + 16 ab^3 c^4 Solución: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es 4 b^2. Se escribe a continuación un paréntesis y adentro de él lo que queda de la expresión original luegode haberle quitado a cada término los factores comunes: 4 b^2 (2 - 5 a^2 + 4 abc^4 ).

• Finalmente significa que 8última expresión (derecha del signo igual), la operación principal es la multiplicación. b^2 - 20 a^2 b^2 + 16 ab^3 c^4 = 4 b^2 (2 - 5 a^2 + 4 abc^4 ). Obsérvese que en esta

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EJERCICIO 4 Factorizar las siguientes expresiones algebraicas: 1)4) 36 ba (^) 5 - 9 b - 9 a (^) aba + 3 b 7 2)5) 212 axa (^) 5 - 9 x - 9 x^2 x (^2) + 9 b (^3) x 3 3)6) a 82 bad^52 xx + 2 + 2 aab^3 a (^32) a (^2) x (^3) - 4 a (^2) b (^2) a 2 7)10) 1440 ab^26 b (^) + 8^2 + 21 abcab - 35^8 a + 35 a (^9) b (^4) ca^4 b^7 c^2 8)11) 1226 aa^35 bb^45 xx - 9- 13 b^4 bx (^44) x^ + 36+ 39 xa^32 b (^7) x 3 9)12) bc 4 b^22 c + 22 (^2) + 4 abb (^22) cc 44 x - 4 - 14 bc 2 a^2 bc^2 13)16) 68 aba (^7) cf^6 c + 3+ 3 ababc (^2) cf - 3 - 3 aa^6 b (^2) c^8 c 14)17) (^6) aba^24 bd^4 d - (^) b - 6 (^7) db (^8) x^3 d +^3 xa + 16 2 a^2 b^9 x^2 15)18) 4040 bc^53 c (^) + 2^5 + 20 b (^11) ca^6 - 100 b^9 c^4 - 100 a^6 b^5 c^4

CASO 2: POR AGRUPACIÓN

El proceso consiste en formar grupos o agrupar términos en cantidades iguales (de dos en dos, o de

tres en tres, etc.), para luego factorizar cada grupo por factor común, en donde el paréntesis que de b e quedar repetido en cada grupo es el factor común. factor común y finalmente volver a factorizar por

Como regla práctica, el signo del primer término de cada grupo es el signo que de b e ponerse en cada

factorización por factor común.

Ejemplo 1: Factorizar 2 ac + bc + 10 a + 5 b Solución: Se forman dos grupos, uno con los dos primeros términos y el otro con los otros dos términos.

^2 ac^ +^ bc^ +^ ^10 a^ +^5 b Factorizando cada grupo por factor común: El primer grupo tiene aque el segundo grupo tiene al 5. De manera que resulta que: c como factor común, mientras 2 ac + bc + 10 a + 5 b = c (2 a + b ) + 5(2 a + b ) Obsérvese que en ésta última expresión (la de la derecha del signo igual), la operación principal esla suma, por lo que no está aún factorizado. Volviendo a factorizar por factor común, ya que el paréntesis repetido es ése factor común, final-mente se obtiene que 2 ac + bc + 10 a + 5 b = (2 a + b )( c + 5). Obsérvese que en esta última expresión (la de la derecha del signo igual), la operación principal esla multiplicación, por lo que ya está factorizado.

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3 ab + x^2 - 21 ab^2 - 7 bx^2 = (3 ab + x^2 )(1 - 7 b ) Obsérvese que en esta última expresión (la de la derecha del signo igual), la operación principal esla multiplicación, por lo que ya está factorizado.

Ejemplo 4: Factorizar 2 ab^2 + b^3 - 5 b^2 + 6 a + 3 b - 15 Solución: En este caso, el hecho que haya seis términos sugiere que se pueden formar dos grupos de a trestérminos cada uno. Se forman entonces dos grupos, uno con los tres primeros términos y el otro con los otros tres términos. ^2 ab^^2 +^ b^^3 −^5 b^^2 +^ ^6 a^ +^3 b^ −^15 Nótese que el signo que quedó entre cada grupo fue positivo. Factorizando cada grupo por factor común: El primer grupo tiene aque el segundo grupo tiene al 3. De manera que resulta que: b^2 como factor común, mientras 2 ab^2 + b^3 - 5 b^2 + 6 a + 3 b - 15 = b^2 (2 a + b - 5) + 3(2 a + b - 5) Como el signo que había quedado anteriormente entre cada grupo fue positivo, ese mismo signo esel que se colocó entre cada factorización. Obsérvese que en ésta última expresión (la de la derecha del signo igual), la operación principal es la suma, por lo que no está aún factorizado. Volviendo a factorizar por factor común, ya que el paréntesis repetido es ése factor común, final-mente se obtiene que 2 ab^2 + b^3 - 5 b^2 + 6 a + 3 b - 15 = (2 a + b - 5)( b^2 + 3)

EJERCICIO 5

Factorizar las siguientes expresiones alge b raicas:

1. 3. acab +- 1 - bc + 2 abxax + + 2 x bx 2)4) 27 aab^2 2 - 4 (^) + ab ac - 5- 14 a (^) b + 10 (^2) xy b - 2 cxy 5)7) 62 abb (^3 3) + 3 x - 4 c 3 b (^) - 2^3 + 21 b (^3) x ax - 3 (^) c - 14 (^3) x 6)8) xb^23 yc^33 + 5- 2 by (^23) c^ - 3 + xbc^2 - 15 (^2) - 2
2. 11. 29 ax (^) - 8- 4 yb + 7 - 9+ 2 c^2 - a axy (^2) x + 8 + 2 abxy (^2) y - 7 - (^) ac 22 xy 10)12) (^5) aab (^2) x 2 (^) - 10 - 5- b (^3) x (^2) + x x - 2 abc - a (^22) bc^ + 2 + cb^24 + c (^) - c 2 bcx 13)15) 210 x (^) a - y + 15 - 2 - 8 b + 20 - 6 ax + 4 ayax + 8- 9 bxa (^) - 12 x 14)16) 310 a^2 ax - 15- 3 bb^2 x - 20 + 6 - 3 x - aax^2 + - 9 b^2 bx^ + 1 - 12 x

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Una diferencia de cuadrados se factoriza en dosraíces cuadradas de los términos originales. b inomios conjugados, formados con las

CASO 3: DIFERENCIA DE CUADRADOS

En la página 5 se vio que ( a + b )( a - b ) = a^2 - b^2. Es bien obvio que si se invierte la igualdad anterior

sigue siendo lo mismo: a^2 - b^2 =. (^) ( a + b (^) ) ( a − b )Visto en esta forma, a la inversa del producto nota-

ble, se obtiene la factorización de una diferencia de cuadrados. Obsérvese que en ( a + b )( a - b ) , la

operación principal es la multiplicación.

De lo anterior puede escribirse la siguiente regla:

Es importante señalar que da lo mismo que primero se escriba el b inomio suma que el binomio resta,

ya que la multiplicación es conmutativa.

Ejemplo 1: Factorizar 4 a^2 - x^6 Solución: La raíz cuadrada de 4ponden son (2 a + x (^3) )(2 a^2 a es 2 - x a (^3) ). y de x^6 es x^3. De manera que los binomios conjugados que le corres-

La factorización es: 4 a^2 - x^6 = (2 a + x^3 )(2 a - x^3 ).

Ejemplo 2: Factorizar 49 a^4 b^6 - 100 x^2 Solución: La raíz cuadrada de 49que le corresponden son (7 a^4 b^6 a^ es 7 (^2) b 3 a (^) + 10^2 b^3 x y de 100)(7 a (^2) b 3 x (^) - 10^2 es 10 x ). x. De manera que los binomios conjugados

La factorización es: 49 a^4 b^6 - 100 x^2 = (7 a^2 b^3 + 10 x )(7 a^2 b^3 - x ).

Ejemplo 3: Factorizar 1 - 196 a^4 b^16 Solución: La raíz cuadrada de 1 es 1 y de 196le corresponden son (1 + 14 a (^2) b (^8) )(1 - 14 a^4 b^16 a^ es 14 (^2) b (^8) ). a^2 b^8. De manera que los binomios conjugados que

La factorización es: 1 - 196 a^4 b^16 = (1 + 14 a^2 b^8 )(1 - 14 a^2 b^8 ).

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Para factorizar un trinomio de la formaque: x^2 + bx + c , se buscan dos números m y n tales

Sumados den bMultiplicados den c.

Cada uno de esos números halladosla siguiente manera: m y n se colocan uno en cada paréntesis, de

x^2 + bx + c = ( x + m )( x + n )

CASO 4: TRINOMIOS DE LA FORMA x^2 + bx + c

La forma de estos trinomios es que debe haber una sola equis cuadrada. La letra b representa en ge-

neral a cualquier número que vaya junto a la x ; y la c representa a cualquier número que vaya sin la x.

El procedimiento de factorización para estos casos consiste en buscar dos números, a los cuales se

les llamará m a uno y n al otro, los cuales deben cumplir los requisitos dados en la siguiente regla:

Ejemplo 1: Factorizar x^2 + 5 x + 6 Solución: En este caso, b = + 5 y c = + 6. Se buscan dos números que sumados den + 5 y que multiplicados den + 6. Son + 3 y + 2. Los factores buscados son ( x + 3) y ( x + 2). Finalmente significa queoperación principal es la multiplicación. x^2 + 5 x + 6 = ( x + 3)( x + 2). Obsérvese que en esta última expresión, la

Ejemplo 2: Factorizar x^2 + 5 x - 6 Solución: En este caso,Se buscan dos números que sumados den + 5 y que multiplicados den - 6. Son + 6 y - 1. b = + 5 y c = - 6. Los factores buscados son ( x + 6) y (x - 1). Finalmente significa queoperación principal es la multiplicación. x^2 + 5 x - 6 = ( x + 6)( x - 1). Obsérvese que en esta última expresión, la

Ejemplo 3: Factorizar x^2 - x - 20 Solución: En este caso, b = - 1 y c = - 20.

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Se buscan dos números que sumados den - 1 y que multiplicados den - 20. Son - 5 y + 4. Los factores buscados son (x - 5) y ( x + 4). Significa quecipal es la multiplicación. x^2 - x - 20 = ( x - 5)( x + 4). Obsérvese que en esta última expresión, la operación prin-

Ejemplo 4: Factorizar x^2 - 2 x - 24 Solución: En este caso, b = - 2 y c = - 24. Se buscan dos números que sumados den - 2 y que multiplicados den - 24. Son + 4 y - 6. Los factores buscados son ( x + 4) y ( x - 6). Finalmente significa queoperación principal es la multiplicación. x^2 - 2 x - 24 = ( x + 4)( x - 6). Obsérvese que en esta última expresión, la

Ejemplo 5: Factorizar x^2 - 17 x + 66 Solución: En este caso, b = - 17 y c = + 66. Se buscan dos números que sumados den - 17 y que multiplicados den + 66. Son - 6 y - 11. Los factores buscados son ( x - 6) y ( x - 11). Finalmente significa quela operación principal es la multiplicación. x^2 - 17 x + 66 = ( x - 6)( x - 11). Obsérvese que en esta última e x presión,

Ejemplo 6: Factorizar a^2 - 16 a + 48 Solución: En este caso, b = - 16 y c = + 48. Se buscan dos números que sumados den - 16 y que multiplicados den + 48. Son - 4 y - 12. Los factores buscados son ( a - 4) y ( a - 12). Finalmente significa quela operación principal es la multiplicación. a^2 - 16 a + 48 = ( a - 4)( a - 12). Obsérvese que en esta última expresión,

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Ejemplo 1: Factorizar 2 x^2 + 5 x - 3 Solución: En este caso, a = 2 ; b = + 5 y c = - 3. Se buscan dos números que sumados den + 5 y que multiplicados den lo que resulte de(2)(- 3) = - 6. Son + 6 y - 1. a c , es decir El término lineal (el 2º término), que es 5en 6 x - x , por lo que resulta que x , se parte en la suma de esos números obtenidos, o sea 2 x^2 + 5 x - 3 = 2 x^2 + 6 x - x - 3 Se factoriza por agrupación: 2 x^2 + 6 x - x - 3 = 2 x ( x + 3) - 1( x + 3) = (2 x - 1)( x + 3) Finalmente 2igual, la operación principal es la multiplicación, lo que significa que (2 x^2 + 5 x - 3 = (2 x - 1)( x + 3). Obsérvese que en la expresión del lado derecho del signo x - 1) y ( x + 3) son factores; por eso se obtuvo una factorización. Ejemplo 2: Factorizar 6 x^2 + 7 x + 2 Solución: En este caso, a = 6 ; b = 7 y c = 2. Se buscan dos números que sumados den + 7 y que multiplicados den lo que resulte de(6)(2) = 12. Son + 4 y + 3. a c , es decir El 2º término, que es 7que resulta que x , se parte en la suma de esos números obtenidos, o sea en 4 x + 3 x , por lo 6 x^2 + 7 x + 2 = 6 x^2 + 4 x + 3 x + 2 Se factoriza por agrupación: 6 x^2 + 4 x + 3 x + 2 = 2 x (3 x + 2) + 1(3 x + 2) = (3 x + 2)(2 x + 1) 6 x^2 + 7 x + 2 = (3 x + 2)(2 x + 1).

Ejemplo 3: Factorizar 4 x^2 + 21 x - 18 Solución: En este caso, a = 4 ; b = 21 y c = - 18. Se buscan dos números que sumados den + 21 y que multiplicados den lo que resulte de(4)(- 18) = - 72. Son + 24 y - 3. a c , es decir El 2º término se parte en la suma de 24 x - 3 x , por lo que resulta que 4 x^2 + 21 x - 18 = 4 x^2 + 24 x - 3 x - 18 Se factoriza por agrupación: 4 x^2 + 24 x - 3 x - 18 = 4 x ( x + 6) - 3( x + 6) = ( x + 6)(4 x - 3) 4 x^2 + 21 x - 18 = ( x + 6)(4 x - 3).

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Ejemplo 4: Factorizar 6 x^2 - 43 x + 72 Solución: En este caso, a = 6 ; b = - 43 y c = 72. Se buscan dos números que sumados den - 43 y que multiplicados den lo que resulte dede (6)(72) = 432. Son - 27 y - 16. a c , es decir El 2º término se parte en - 27 x - 16 x , por lo que resulta que 6 x^2 - 43 x + 72 = 6 x^2 - 27 x - 16 x + 72 Se factoriza por agrupación: 6 x^2 - 27 6 xx 2 (^) - 16- 43 xx + 72 = 3+ 72 = (2 xx (2 - 9)(3 x - 9) - 8(2 x - 8) x - 9) = (2 x - 9)(3 x - 8)

Ejemplo 5: Factorizar 12 y^2 + 35 y - 3 Solución: En este caso, a = 12 ; b = 35 y c = - 3. Se buscan dos números que sumados den - 35 y que multiplicados den lo que resulte dede (12)(-3) = - 36. Son + 36 y - 1. a c , es decir El 2º término se parte en la suma de + 36 y - 1 y , por lo que resulta que 12 y^2 + 35 y - 3 = 12 y^2 + 36 y - 1y - 3 Se factoriza por agrupación: 12 y^2 + 36 y - y - 3 = 12 y ( y + 3) - 1( y + 3) = (12 y - 1)( y + 3) Finalmente 12la operación principal es la multiplicación, significa que (12 y^2 + 35 y - 3 = (12 y - 1)( y + 3) .Como en la expresión del lado derecho del signo igual y - 1) y (y + 3) son factores; por eso se obtuvo una factorización.

Ejemplo 6: Factorizar 3 h - 15 + 6 h^2 Solución: Primero debe ordenarse el trinomio, es decir escribirlo como 6 h^2 + 13 h - 15. En este caso, a = 6 ; b = 13 y c = - 15. Se buscan dos números que sumados den 13 y que multiplicados den lo que resulte dede (6)(-15) = - 90. Son + 18 y - 5. a c , es decir El 2º término se parte en la suma de + 18 h - 5 h , por lo que resulta que 6 h^2 + 13 h - 15 = 6 h^2 + 18 h - 5 h - 15 Se factoriza por agrupación: 6 h^2 + 18 6 h h 2 (^) + 13- 5 h (^) h - 15 = 6 - 15 = (6 h ( hh + 3) - 5(- 5)( h + 3). h + 3) = (6 h - 5)( h + 3)

página 24 FACTORIZACIÓN

( 2 ) 2 5 2( )^6

=^ x^ +^ x −

Al producto 2sión anterior se transforma en: x se le pone un nombre, por ejemplo y , es decir que y = 2 x , de manera que la expre-

x + x − = y + x −

El nuevo trinomio y^2 + 5 y - 6 se factoriza igual que el caso 4, página 18, para obtener que

12 ( y 2 + 5 y − 6 ) = 12 ( y + 6 ) ( y − 1 )

Se vuelve a sustituir la variable y por su equivalente, es decir por 2 x :

12 ( y + 6 ) ( y − 1 ) = 12 ( 2 x + 6 ) ( 2 x − 1 )

Se localiza el factor que tenga por factor común a 2 para simplificarlo con el denominador. Estefactor es (2 x + 6) , de manera que finalmente se obtiene

12 ( 2 ) ( x + 3 ) ( 2 x − 1 ) = ( x + 3 ) ( 2 x − 1 )

La factorización buscada es 2 x^^2 +^5 x^ −^3 =^ ( x^ +^3 ) ( 2 x −^1 )

Ejemplo 2: Factorizar 6 x^2 + 7 x + 2 Solución: En este caso, a = 6 ; b = + 7 y c = + 2. Se multiplica y divide a la vez (para que no se altere, conforme a la única propiedad de las fraccio-nes) el polinomio original por el coeficiente de x (^2) , o sea por 6 , escribiéndolo de la siguiente forma:

6 2 7 2 6 6^ (^27 2 )

x + x + =^ x^ +^ x +

( 6 ) 2 7 6( )^2

=^ x^ +^ x +

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Al producto 6sión anterior se transforma en: x se le pone un nombre, por ejemplo y , es decir que y = 6 x , de manera que la expre-

x + x + = y + y +

El trinomio y^2 + 7 y + 12 se factoriza igual que el caso 4, página 18, para obtener que

16 ( y 2 + 7 y + 12 ) = 16 ( y + 4 ) ( y + 3 )

Se vuelve a sustituir la variable y por su equivalente, es decir por 6 x :

16 ( y + 4 ) ( y + 3 ) = 16 ( 6 x + 4 ) ( 6 x + 3 )

Se localiza el factor (el paréntesis) que tenga por factor común a 6 para simplificarlo con el denomi-nador. En este caso, ese factor común 6 está repartido en los dos factores de la siguiente manera

16 ⎡⎣ ( 2 ) ( 3 x + 2 ) ⎤ ⎡⎦ ⎣ ( 3 ) ( 2 x + 1 ) ⎤⎦= 16 ( 6 ) ( 3 x + 2 ) ( 2 x + 1 )

= ( 3 x + 2 ) ( 2 x + 1 )

La factorización buscada es 6 x^^2 +^7 x^ +^2 =^ (^3 x^ +^2 )^ (^2 x +^1 )

Ejemplo 3: Factorizar 4 x^2 + 21 x - 18 Solución: En este caso, a = 4 ; b = 21 y c = - 18. Se multiplica y divide a la vez (para que no se altere, conforme a la única propiedad de las fraccio-nes) el polinomio original por el coeficiente de x (^2) , o sea por 4 , escribiéndolo de la siguiente forma:

4 2 21 18 4 4^ (^221 18 )

x + x − =^ x^ +^ x −

( 4 ) 2 21 4( )^72

=^ x^ +^ x −

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Ejemplo 1: Factorizar 2 x^2 + 5 xy - 3 y^2 Solución: En este caso, a = 2 ; b = + 5 y c = - 3. Se buscan dos números que sumados den + 5 y que multiplicados den lo que resulte de(2)(- 3) = - 6. Son + 6 y - 1. ac , es decir El 2º término se parte en la suma de 6 xy - xy , por lo que resulta que 2 x^2 + 5 xy - 3 y^2 = 2 x^2 + 6 xy - xy - 3 y^2 Se factoriza por agrupación: 2 x^2 + 6 xy - xy - 3 y^2 = 2 x ( x + 3 y ) - y ( x + 3 y ) = (2 x - y )( x + 3 y ) Finalmente significa que 2 x^2 + 5 xy - 3 y^2 = (2 x - y )( x + 3 y ).

Ejemplo 2: Factorizar 6 d^2 - 13 de + 6 e^2 Solución: En este caso, a = 6 ; b = - 13 y c = 6. Se buscan dos números que sumados den - 13 y que multiplicados den lo que resulte de(6)(6) = 36. Son - 4 y - 9. ac , es decir El 2º término se parte en la suma de - 4 de - 9 de , por lo que resulta que 6 d^2 - 13 de + 6 d^2 = 6 d^2 - 4 de - 9 de + 6 e^2 Se factoriza por agrupación: 6 d^2 - 4 de - 9 de + 6 e^2 = 2 d (3 d - 2 e ) - 3 e (3 d - 2 e ) = (3 d - 2 e )(2 d - 3 e ) Finalmente significa que 6 d^2 - 13 de + 6 e^2 = (3 d - 2 e )(2 d - 3 e ).

EJERCICIO 9

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas: 1)4) 210 x^2 j^2 + 7 (^) - 21 xyjk + 5 - 10 y^2 k 2 2)5) 34 xm^2 2 - 4 (^) - 17 xymn + y - 15^2 n 2 3)6) 67 xa^22 ++ 8 xyac - (^) y +^2 c 2 7)10) 39 aa^22 - 25+ 12 abab - 50 + 4 bb 22 8)11) 49 hd^22 - 24- 30 hidf + 35+ 25 if^2 2 9)12) 14100 x^2 x^2 - 9 (^) + 20 xz - 8 xyz +^2 y 2

13. 81 x^2 + 36 xy + 4 y^2 14) 4 c^2 + 20 cg + 25 g^2 15) 64 k^2 - 48 kr + 9 r^2

página 28 FACTORIZACIÓN

Una suma de cubos se factoriza en dos factores, de la siguiente forma:

El primer factor es un binomio formado con la suma de las raíces cúbicas de los

términos originales;

el segundo factor es un trinomio que se forma a partir del factor anterior de la si-

guiente manera:

Y Y Cuadrado del primer término (del factor anterior);menos el producto del primer término (del factor anterior) por el segundo;

Y más el cuadrado del segundo término (del factor anterior).

CASO 6: SUMA DE CUBOS

Si se multiplica ( a^2 - ab + b^2 )( a + b ) se obtiene

2 2

3 2 2 2 2 3 3 3

a ab b a b a a b ab a b ab b a b

− +

− +

• − +

es decir, que ( a^2 - ab + b^2 )( a + b ) = a^3 + b^3. Obviamente que si se invierte la igualdad anterior lo que

resulta es cierto sin lugar a dudas, o sea que se puede afirmar que

a^3 + b^3 = ( a^2 - ab + b^2 )( a + b )

lo que equivale a afirmar que la factorización de a^3 + b^3 es ( a^2 - ab + b^2 )( a + b ) , o bien, ya que la

multiplicación es conmutativa, a^3 + b^3 = ( a + b )( a^2 - ab + b^2 ).

De lo anterior se desprende la siguiente regla:

Ejemplo 1: Factorizar x^3 + 1 Solución: La raíz cúbica de x^3 es x ; la raíz cúbica de 1 es 1. El primer factor es la suma de esas raíces cúbicas, es decir, es ( x + 1). El segundo factor se forma a partir del anterior, o sea de ( x + 1) : Y cuadrado del primer término: ( x ) 2 = x^2 ; Y menos el producto del primero por el segundo: - ( x )(1) = - x ;