FEC TEMA 1 2014, Apuntes de Ingeniería Infórmatica

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1. Aritmética binaria, formatos de

representación numérica y

arquitectura de Von Neumann

Contenidos

1.- Tipos de información: instrucciones y datos

1. Introducción

2. Sistemas posicionales

2.- Representaciones numéricas

1. Coma fija

2. Coma flotante. Estándar IEEE 754

1.- Tipos de información: instrucciones y datos

• Todo ordenador maneja un conjunto finito de valores: Binario (dos estados) Ancho de los buses, tamaño de los registros, … Ej.: En un registro/bus de 8 bits caben 256 valores distintos ¿Cómo representar un estado de ánimo?
• Algunos tipos de información son infinitos y continuos, mientras que la información se almacena de forma finita y discontinua. Conjunto Números Naturales Capacidad del ordenador 1, 2, 3, … ∞ Infinito Finita: ej. registro de 16 bits 1, 2, 3, …, 65536, 65537, … ∞ no se pueden representar

Características de la representación

• Toda representación elegida tiene limitaciones. Es preciso describir estas limitaciones y para ello se utiliza principalmente dos atributos:  Rango de representación: Intervalo entre el menor y mayor elemento representable.  Resolución de la representación: Diferencia entre un elemento representable y el siguiente.  Nos ofrece una idea del máximo error cometido en la representación de una cantidad.  La resolución puede ser constante o no.

Tamaño de información característico

• Octeto o byte: secuencia de 8 bits
• Palabra: Información manipulada en paralelo en el interior del computador (32 bits típico, 16, 8, 4 y 36, 48, 64) ↑palabra ⇒ ↑nº representables ⇒ ↑potencia de cálculo  Media palabra: Para cuando no hace falta gran precisión. Ahorra “sitio”  Doble palabra: Para mejorar precisión de cálculo. Necesita de más “sitio”
• Resolución de acceso a memoria: Tamaño mínimo de información que es capaz de leer directamente de memoria.

Sistemas de numeración posicionales-Repaso Definición Binario: Base 2, {0,1} Hexadecimal Base 16, {0,1,2, 3,…, 8, 9, A, B, …, F } Posición S 4 3 2 1 0 - 1 - 2 - 3 - 4 Peso - /+ 16 8 4 2 1 ½ ¼ 1/8^ 1/ Posición S 4 3 2 1 0 - 1 - 2 - 3 - 4 Peso - /+ 16 4 16 3 16 2 16 1 16 0 16

• 1 16 - 2 16 - 3 16 - 4

Códigos de Representación

• Signo magnitud: Signo = 0 (si es positivo), Signo = 1 (si es negativo)
• Complemento a 1: binario (si es positivo), complementado (si es negativo)
• Complemento a 2: binario (si es positivo), C1+1 (si es negativo)
• Exceso: Se suma el exceso 2 n- 1 - 1 al número que se quiere representar Número S-M C- 1 C- 2 Exc 4bits - 7 ≤ x ≤ + Exc 5 bits - 15 ≤ x ≤ + Exc 6 bits - 31 ≤ x ≤ + 3 0 11 011 011 1010 10010
• 12 1 1100 10011 10100 Imposible 00011 010011 23 0 10111 010111 010111 Imposible
• 72 - 2 n-^1 + 1 ≤ x ≤ 2n-^1 **- 1
• 2 n-**^1 + 1 ≤ x ≤ 2n-^1 **- 1
• 2 n-**^1 ≤ x ≤ 2n-^1 **- 1
• 2 n-**^1 + 1 ≤ x ≤ 2n-^1 R = A + 2 n- 1
• 1

Códigos de Representación - Ejemplo -

Signo magnitud

- 2 n-^1 + 1 ≤ x ≤ 2n-^1 - 1 - 31 ≤ x ≤ + como el número es - el bit de signo es 1 1 1 0 1 1 1 Resultado: 1 1 0 1 1 1

C - 1

- 2 n-^1 + 1 ≤ x ≤ 2n-^1 - 1 - 31 ≤ x ≤ + como el número es - se complementan todos sus dígitos 0 1 0 1 1 1  1 0 1 0 0 0 Resultado: 1 0 1 0 0 0

C - 2

- 2 n-^1 ≤ x ≤ 2n-^1 - 1 - 32 ≤ x ≤ + como el número es - se complementan todos sus dígitos y después se suma 1 0 1 0 1 1 1  **1 0 1 0 0 0

• 1 1 0 1 0 0 1 Resultado: 1 0 1 0 0 1** Exceso - 2 n-^1 + 1 ≤ x ≤ 2n-^1 - 31 ≤ x ≤ + exceso = 2n-^1 - 1 = 31 se suma el exceso

• 23 +31 = 8 0 0 1 0 0 0 Resultado: 0 0 1 0 0 0 Disponemos de un registro de 6 bits y queremos representar el número - 23

Formatos numéricos: coma fija

Delimita tres zonas de representación Signo, Parte entera, Parte fraccionaria  Hay que definir previamente el Nº de bits asignados  La parte entera se introduce de derecha a izquierda  La parte fraccionaria de introduce de izquierda a derecha  El signo siempre es el bit más significativo  Si el nº de bits a introducir > capacidad del formato aparecen truncamientos  Errores de representación Definición: P.E. 4 bits, P.F. 5 bits ( el signo se sobreentiende que es 1 bit) S P.E. P.F 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1

Formatos numéricos: coma flotante

Coma flotante : parte de la notación exponencial de un número

• 12,456 = - 1,2456 x 10 1 0,0000000213 = 2,13 x 10
• 8 3916538910213 = 3,916538910213 x 10 12
• 11011,001 = - 1,1011001 x 2 100  Partiendo de una representación en base (B)  Cualquier número se representa mediante:  Signo (S),  Mantisa (M),  Exponente (E) S M x B

E

Formatos numéricos: Estándar IEEE

• Estándar para el almacenamiento en coma flotante utilizado por la mayoría de los ordenadores.
• Define dos formatos: Precisión simple : 32 bits (S: 1, E: 8, M: 23). Variables de tipo float Precisión doble : 64 bits (S: 1, E: 11, M: 52). Variables de tipo double
• Características: Exponente: exceso 2 n- 1
• 1 Mantisa: signo-magnitud, normalizada con bit implícito S Exponente Mantisa

Formatos numéricos: Estándar IEEE

Precisión simple : 32 bits (signo: 1, exponente: 8, mantisa: 23)  El valor se calcula con la siguiente expresión:

N = (-1)S × 1.M × 2

E- 127  Donde: S = 0 indica número positivo, S = 1 indica número negativo 0 < E < 255 (E=0 y E=255 indican excepciones) 00000000000000000000000 ≤ M ≤ 11111111111111111111111

 Bit implícito: Una vez normalizado, el bit más significativo es 1, no se

almacena en M para dejar espacio para un bit más (aumenta la precisión) S Exponente Mantisa