Equacions diferencials
2n parcial 26 de gener de 2016
1. (2,0 Punts) Usant la transformada de Laplace, resoleu el sistema
x0(t) + x(t)−8y(t) = et
y0(t)−2x(t) + y(t) = 1,
amb les condicions x(0) = y(0) = 0.
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Segon parcial EDOS
Tipo: Exámenes
2015/2016
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2n parcial 26 de gener de 2016
- (2,0 Punts) Usant la transformada de Laplace, resoleu el sistema
x ′( t ) + x ( t ) − 8 y ( t ) = e t y ′( t ) − 2 x ( t ) + y ( t ) = 1 ,
amb les condicions x (0) = y (0) = 0.
2n parcial 26 de gener de 2016
- (2,0 Punts) Resoleu el seg¨uent problema d’autovalors de Sturm-Liouville [ (1 + x^2 ) y ′
]′
λ 1 + x^2
y = 0 , per a x ∈ [0 , 1], amb y (0) = y (1) = 0
fent el canvi de variables x = tan t. Limiteu-vos a considerar λ > 0 i no cal que normalitzeu les autofuncions.
2n parcial 26 de gener de 2016
Per tant, la soluci´o polin`omica ´es
Pm ( x ) = m
∑^ m
n =
( m + n − 1)! 2 n ( m − n )!( n !)^2
xn. (2,0 Punts)
2a soluci´o. y 2 no pot ser polinomica perque hi ha un terme de la forma
y 2 ( x ) = Pm ( x ) log x +.... (1,0 Punts)
Valor a x = −2 i ortogonalitat. Per tal de trobar les relacions d’ortogonalitat, escrivim l’equaci´o donada en forma autoadjunta. Multiplicant per x , tenim
(− xy ′)′^ +
m^2 x + 2
y = 0 , − 2 < x < 0_._ (1)
Fixeu-nos que necessariament _Pm_ ( _x_ ) ha de ser divisible per _x_ + 2 si _m >_ 0, ja que [− _xP_ (^) _m_ ′( _x_ )]′^ ´es un polinomi de grau _m_ − 1 i, per tant, tamb´e ho ha de ser _Pm_ ( _x_ ) _/_ ( _x_ + 2). Aixo vol dir que Pm (−2) = 0 i, per tant, Pm ( x ), m = 1 , 2 , 3 ,... , s´on soluci´o del problema d’autovalors de Sturm-Liouville (singular) definit per l’Eq. (1) i la condici´o y (−2) = 0. Els autovalors corresponents s´on:
λm = m^2 , m = 1 , 2 , 3 ,....
[Per a m = 0, xy ′^ = k i y = k log x + k ′. Pero _k_ = 0 si _y_ (0) ha d’esta definit, i k ′^ = 0 si y (−2) = 0. Ergo, y = 0, i no tenim soluci´o dels problema d’autovalors.] De l’Eq. (1) dedu¨ım la relaci´o d’ortogonalitat ∫ (^0)
− 2
dx x + 2
Pm ( x ) Pn ( x ) = Anδn,m, n, m = 1 , 2 , 3 ,.... (2,0 Punts)
2n parcial 26 de gener de 2016
- (3,0 Punts) L’equaci´o de difusi´o ´es ∂f ∂t
= β ∇^2 f,
on f ´es una funci´o f ( ~r, t ) de la posici´o, ~r , i del temps, t , i β ´es una constant anomenada coeficient de difusi´o. Usant separaci´o de variables, trobeu la seva soluci´o general en coordenades cil´ındriques r , φ , z , en el cas particular en que f nom´es ´es funci´o de r i de t , f ( b, t ) = 0 per a tot t , i 0 ≤ r ≤ b. La funci´o f ( r, t ) ha d’estar ben definida a r = 0 i suposeu que f ( r, 0) est`a donada.
Si f nom´es ´es funci´o de r i t ,
∂f ∂t
β r
∂r
( r
∂f ∂r
)
. (2,0 Punts)
Substituint f ( r, t ) = R ( r ) T ( t ) (2,0 Punts) a l’equaci´o de difusi´o en coordenades cil´ındriques (sense incloure els termes en φ i en z ), tenim
1 β
R ( r ) T ′( t ) =
r
[ rR ′( r ) T ( t )]′^ ⇒
βT ( t )
T ′( t ) =
rR ( r )
[ rR ′( r )]′^ ,
per a tot t i tot r. Per tant, cada costat ha de ser igual a la mateixa constant, − λ^2 :
T ′( t ) T ( t )
= − βλ^2 T ( t ) = T (0)e− βλ
(^2) t , (2,0 Punts)
i 1 r
[ rR ′( r )]′^ + λ^2 R ( r ) = 0 ⇒ r^2 R ′′( r ) + rR ′( r ) + ( λr )^2 R ( r ) = 0_._ (1,0 Punts)
Fent el canvi obvi R ( r ) = ρ ( λr ) = ρ ( ξ ) tenim
ξ^2 ρ ′′^ + ξρ ′^ + ξ^2 ρ = 0_._
Aquesta ´es l’equaci´o de Bessel. La soluci´o d’aquesta equaci´o que est`a ben definida a ξ = 0 ´es ρ ( ξ ) = aJ 0 ( ξ ). Per tant,
R ( r ) = aJ 0 ( λr ). (1,0 Punts)