¡Descarga Problemas de Matlab: EDOs, Laplace y cargas unitarias - Prof. 3051 y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity!
P1 P2 P3 P
Puntuaci´o (a omplir pel professorat)
Segon Parcial. 9:00h. 8/1/2014. Matem`atiques 3 - 2014/2015 Q
Yolanda Vidal (M1,M3), Jose J. Mu˜noz (M2, M4), Silvia Gago (T1), Francisco J. Puerta (T2)
RESPONEU LES PREGUNTES EN FULLS SEPARATS!
[MATLAB - 10% de la nota final de l’assignatura]
- [5 punts] Indiqueu quin resultat retorna Matlab per pantalla en executar les seg¨uents comandes. En cas que creieu que alguna comanda no s’executaria correctament expliqueu perqu`e donaria error.
a) [1:0.1:1.5] [1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5]
b) [1, 2, 3; 4, 5, 6].*[7, 8, 9; 0, 1, 2]
c) i=0;b=0; if i > 0 b = 1; elseif i< b = -1; end; b b = 0
d) v = [-1,3,5,2,6,2,8,4,2]; s = 0; i= while s< s = s+v(i); i=i+1; end; s s = 15 e) g = @(x) x
g([1 2 3]) Error de dimensions
- [3 punts] Escriviu la comanda de matlab (una ´unica l´ınea) tal que
a) Assigni la primera fila de la matriu A a un vector anomenat z z=A(1,:)
b) Calculi la matriu B que en cada posici´o contingui el cub de cada coeficient de la matriu A B=A.^
c) Defineixi el vector v = (90, 84 , 78 , 72 , ..., 6) v=[90:-6:6]
- [2 punts] Donats els dos vectors u i v de longitud n es defineix una nova operaci´o matricial donada per:
wi =
u^2 i + |vi|, si ui > 0
−ui + v^2 i , si ui ≤ 0
Indiqueu quin resultat retorna Matlab per pantalla en executar la seg¨uent comanda: a=NovaOperacioVectorial([-1,1,0],[2,-3,4],3) a=[5 4 16]
Implementeu en Matlab una funci´o que donats els vectors u i v ens retorni el vector w.
function [w]=NovaOperacioVectorial(u,v,n) function [w]=NovaOperacioVectorial(u,v,n)
_________________________________________ for i=1:n _________________________________________ if u(i)>
_________________________________________ w(i)=u(i)^2+abs(v(i)); _________________________________________ else _________________________________________ w(i)=-u(i)+v(i)^2;
_________________________________________ end _________________________________________ end
P1 P2 P3 P
Puntuaci´o (a omplir pel professorat)
Segon Parcial. 9:00h. 8/1/2014. Matem`atiques 3 - 2014/2015 Q
Yolanda Vidal (M1,M3), Jose J. Mu˜noz (M2, M4), Silvia Gago (T1), Francisco J. Puerta (T2)
RESPONEU LES PREGUNTES EN FULLS SEPARATS!
- [3 punts]
a) [1.5 punt] Trobeu la soluci´o general en forma impl´ıcita de la seg¨uent EDO:
(1 + e−x) (y^2 − 1)
= y′(x)
b) [1.5 punt] Trobeu la soluci´o general en forma expl´ıcita del seg¨uent PVI (per a valors 1 ≤ x < 2): { y′^ − (^) xy = (^2) −^2 x y(1) = 0
Soluci´o. a) Aquesta ´es una EDO de variables separables que podem reescriure com,
(1 + e−x) = (y^2 − 1)
dy dx
i, per tant, podem resoldre integrant a banda i banda de la igualtat, ∫ (1 + e−x)dx =
(y^2 − 1)dy + C.
Resolent les integrals, ∫ (1 + e−x)dx = x − e−x^ ,
(y^2 − 1)dy =
y^3 3
− y
Finalment, la soluci´o general en forma impl´ıcita ´es:
x − e−x^ =
y^3 3
− y + C
b) Veiem que aquesta ´es una EDO lineal de primer ordre. Observem que l’EDO ja esta expressada en la forma canonica, per tant podem directament identificar els coeficients p(x) i q(x),
p(x) = −
x
, q(x) =
2 − x i apliquem la f´ormula de la soluci´o anal´ıtica:
μ(x) = e
∫ p(x)dx (^) = e− ln |x| (^) = 1 |x|
x
ja que x ≥ 1
y(x) =
μ(x)
μ(x)q(x)dx + C
= x
x(2 − x)
dx + Cx, x > 0
Per a calcular la integral descomposem en fraccions simples el terme de dins de la integral:
2 x(2 − x)
A
x
B
2 − x
A(2 − x) + Bx x(2 − x)
x(B − A) + 2A x(2 − x)
que t´e com soluci´o A = B = 1. Per tant, la soluci´o y(x) ´es
y(x) = x
x(2 − x)
dx + Cx = x
∫ [
x
2 − x
]
dx + Cx = x (ln |x| − ln | 2 − x|) + Cx = x ln
x 2 − x
∣ +^ Cx
Imposant la condici´o inicial trobem la constant C:
y(1) = 0 = ln(1) + C = C,
i per tant C = 0. La soluci´o del PVI ´es doncs:
y(x) = x ln
x 2 − x
∣ ,^0 < x <^2.
P1 P2 P3 P
Puntuaci´o (a omplir pel professorat)
Segon Parcial. 9:00h. 8/1/2014. Matem`atiques 3 - 2014/2015 Q
Yolanda Vidal (M1,M3), Jose J. Mu˜noz (M2, M4), Silvia Gago (T1), Francisco J. Puerta (T2)
RESPONEU LES PREGUNTES EN FULLS SEPARATS!
- [1 punt]
a) [0.5 punts] Calculeu la transformada de la funci´o
f (t) =
0 0 ≤ t < 1 et^ t ≥ 1.
b) [0.5 punts] Calculeu l’antitransformada de Laplace de la funci´o G(s) =
s s^2 − 4
a) Utilitzant la funci´o salt unitari podem reescriure la funci´o a trossos donada com:
f (t) = etu(t − 1)
Per calcular la transformada de la funci´o, primer reescrivim aquesta funci´o com:
f (t) = et−1+1u(t − 1) = eet−^1 u(t − 1)
on aplicant la propietat P7 de translaci´o en el temps i mirant la taula de transformades elementals es dedueix que la seva transformada ´es:
L{f (t)}(s) = e
e−s s − 1
ee−s s − 1
e^1 −s s − 1
b) Podem reescriure-ho com G(s) =
s s^2 − 4
s (s + 2)(s − 2) Fem descomposici´o en fraccions simples i trobem que:
s (s + 2)(s − 2)
s + 2
s − 2
Per tant, mirant la taula de transformades dedu¨ım que:
g(t) =
(e^2 t^ + e−^2 t)
P1 P2 P3 P
Puntuaci´o (a omplir pel professorat)
Segon Parcial. 9:00h. 8/1/2014. Matem`atiques 3 - 2014/2015 Q
Yolanda Vidal (M1,M3), Jose J. Mu˜noz (M2, M4), Silvia Gago (T1), Francisco J. Puerta (T2)
RESPONEU LES PREGUNTES EN FULLS SEPARATS!
- [3 punts] Una biga de longitud L = 2 est
a empotrada pels seus extrem. Calculeu la deflexi´o o deformaci´o estatica y(x) de la biga quan se li aplica una c`arrega w(x) per unitat de longitud definida per:
w(x) =
(1 − x) , 0 < x < 1 , 0 1 < x < 2.
Tenint en compte que la deflexi´o y(x) ve modelitzada per l’equaci´o diferencial:
EIy4)^ = w(x),
on E = 2 ´es el modul d’elasticitat, I = 1/2 ´es el moment d’inercia de la secci´o transversal de la biga i y4)^ ´es la derivada quarta de la deflexi´o. Observaci´o: La condici´o de que la biga esta empotrada es tradueix en les seg¨uents condicions: y(0) = 0, y′(0) = 0, y(2) = 0 i y′(2) = 0.
Per determinar la deflexi´o y(x) seguiu els seg¨uents passos:
a) [0.75 punts] Calculeu la transformada de Laplace de la funci´o w(x).
b) [0.75 punts] Calculeu la transformada de Laplace de l’EDO (utilitzant l’apartat a)) i a¨ılleu la funci´o Y (s) = L{y(x)}(s). Substitu¨ıu els valors de y(0) i y′(0) i deixeu el resultat en funci´o de y′′(0) i y′′′(0).
c) [0.75 punts] Calculeu l’antitransformada de Y (s).
d) [0.75 punts] Imposeu les condicions y(2) = 0 i y′(2) = 0 per obtenir els valors de y′′(0) i y′′′(0). Retorneu la soluci´o y(x).
a) Calculem la transformada de Laplace de w(x)
w(x) = (1 − x) (u(x) − u(x − 1)) = (1 − x) u(x) + (x − 1) u (x − 1)
Per tant: L{w(x)}(s) = W (s) =
s
s^2
s^2
e−s
b) Resolem l’edo aplicant la transformada de Laplace a l’edo
s^4 Y (s) − s^3 y(0) − s^2 y′(0) − sy′′(0) − y′′′(0) = W (s)
s^4 Y (s) − sy′′(0) − y′′′(0) =
s
s^2
s^2
e−s
Y (s) =
y′′(0) s^3
y′′′(0) s^4
s^5
s^6
s^6
e−s
c) La seva antitransformada ´es:
L−^1 {Y (s)}(x) = y(x) = y′′(0)x^2 2
y′′′(0)x^3 6
x^4 24
x^5 120
(x − 1)^5 120
u(x − 1).
d) Imposant les altres condicions inicials y(2) = 0 i y′(2) = 0 obtenim els valors de y′′(0) = 24023 i y′′′(0) = − 209 i tenim la soluci´o del problema:
y(t) =
23 x^2 480
9 x^3 120
x^4 24
x^5 120
(x − 1)^5 120
u(x − 1).
