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Leandro Bautista
Tema 1. Campo gravitatorio
0. Concepto de campo
Diremos que en una región del espacio existe un campo creado por una magnitud física
si es posible asignar en cada instante un valor a dicha magnitud para todos los puntos de dicha
región.
Ej: Si tenemos un vaso que contiene agua con hielo, donde no se ha alcanzado el equilibrio
térmico y medimos la Tª cada punto tendrá una Tª distinta. Existe un campo de Tª.
Si estudiamos la velocidad con la que se desplaza un fluido por una tubería vemos que
depende del rozamiento de las paredes y la viscosidad, por tanto a cada pto de la tubería le
corresponde una velocidad. Esto es un campo de velocidades.
Si la magnitud que define al campo es un escalar decimos que es un campo escalar ( Tª)
y si es vectorial que es un campo vectorial ( velocidad ).
Decimos que un campo es estacionario si no depende del tiempo.
Si la magnitud que define al campo permanece cte el campo es uniforme.
Un campo escalar se puede representar mediante superficies isoescalares, por ejemplo
las superficies isobaras, que miden la presión atmosférica. El corte de estas superficies con
planos paralelos a la superficie de la tierra definen las líneas isobaras.
Un campo vectorial se define mediante líneas de campo, que son líneas tangentes en
cada punto a la magnitud vectorial que define el campo.
Cuando la magnitud que define el campo es una fuerza, se llaman campos de fuerzas.
Propiedades de las líneas de campo:
- Su sentido de recorrido y el vector que representa el campo coinciden en cada punto.
- Pueden ser cerradas ( campo magnético) o abiertas ( campo gravitatorio y eléctrico)
- En cada punto de la línea el campo solo puede tener una dirección por lo que las líneas de
campo no se pueden cortar.
- Parten de manantiales o fuentes y llegan o convergen en sumideros.
- Si el campo es uniforme, las líneas de campo son rectas paralelas.
- En los puntos o zonas donde las líneas están más juntas o tienden a converger el campo es
más intenso.
Dos ejemplos de campos de fuerza son:
Leandro Bautista
Campos conservativos. Energía potencial
Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo que realizan las fuerzas
del campo para trasladar una partícula de un punto A a uno B depende del
punto inicial y final y no del camino seguido.
Propiedades.
I)El trabajo que realiza el campo dentro de una trayectoria cerrada es cero.
II
A
I B
B
II A
a
I B
B
A
F dr Fdr Fdr Fdr Fdr
r r r r r r r r r r
II)El trabajo que realiza el campo puede expresarse como la variación de la energía potencial
entre dos puntos inicial y final. W = (^) A B
B
A
F dr = Ep − Ep
r r · = -∆Ep;
W mgdr mgh h mghB mghA Ep
B
A
= ∫ − =− ( B − A )=− + =−∆
W kxdx kxB kxA Ep
B
A
2 2
2
III) Tª de la fuerzas vivas.
Supongamos un cuerpo que se desplaza con una trayectoria cualquiera bajo la acción de una
fuerza F
r
. ( Supondremos que la F
r es paralela a la dirección de desplazamiento, si no habría
que coger únicamente su componente tangencial). El trabajo realizado por F
r es
2 2
2
· · B A
B A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
mv mv
v dr mvdv m dt
dv W = Fdr = Fdr = madr = m = = = −
r r
Esto se conoce como Tª de las fuerzas vivas. Sea cual sea la naturaleza de las fuerzas que actúan
sobre un cuerpo, el trabajo total realizado al trasladarlo entre dos puntos es igual a la variación
de la energía cinética. W = ∆Ec.
Debemos recordar, por tanto que si sobre un cuerpo solo actúan fuerzas conservativas su energía
mecánica se mantiene constante.
W = ∆Ec; W = -∆Ep; Por tanto EcB-EcA= EpA – EpB y por tanto EcB+EpB= EpA + EcB
Son campos conservativos cualquier central, el eléctrico, el gravitatorio y el elástico.
1. Concepciones del universo. Desde la antigüedad hasta Kepler.
El estudio del universo interesó a las personas desde la más remota antigüedad. Los
egipcios dividían en 36 grupos las estrellas, En Mesopotamia se introdujeron los meses y la
semana bautizando los días por el Sol, La luna y los cinco planetas conocidos. También
dividieron el día en 2 grupos de 12 horas, y la hora en minutos y segundos. Los chinos se
preocuparon del universo. Para ellos, los cuerpos celestes más importantes eran la estrella polar
y las estrellas circumpolares, que nunca salen ni se ponen. La polar era el emperador de los
cielos, las circumpolares príncipes y el resto de estrellas funcionarios.
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Entre ellos destaca Aristarco de Samos ( Siglo III a.C.) que ideó métodos para calcular
la relación entre los diámetros de la Tierra y la Luna, la distancia Tierra-Luna en función del
diámetro de la Tierra y la distancia entre la Tierra y el Sol en relación con a la distancia Tierra –
Luna. Los resultados no son muy exactos debido a la imprecisión de los aparatos pero los
métodos son correctos. Aristarco mantenía la idea de un Universo en el que el centro es el Sol y
en torno a él giran la Tierra y los demás planetas. Es el precursor del modelo heliocéntrico , que
no fue aceptada en su cultura. También indica que la Tierra gira sobre su eje, basándose en los
estudios de Hericlades del Porto. Un discípulo suyo, Eratóstenes de Cirene , ideó un método
para medir el diámetro de la tierra.
Hiparco de Nicea ( siglo II a.C.) considerado el mejor astrónomo de la antigüedad,
estudió el movimiento del Sol y observó que no tiene siempre la misma velocidad. Propuso un
modelo en el cual es Sol se mueve en un circulo que llamo epiciclo: el centro del epiciclo a su
vez se mueve en torno a la tierra describiendo otro circulo llamado deferente.
En el siglo II de nuestra era , Ptolomeo, siguiendo con los trabajos de Hiparco, sugirió un
esquema geocéntrico según el cual la Tierra seguía estando inmóvil en el centro del universo y
los astros, en orden de proximidad la Luna, Mercurio, VenusEl Sol, Marte, Júpiter , Saturno y
las estrellas efectuaban dos tipos de movimientos: Un movimiento orbital en el llamado epiciclo
del planeta, y otro movimiento que llevaba a cabo el centro del epiciclo alrededor de la tierra y
que se llamaba deferente.
1.2 Teorías heliocéntricas
La primera teoría heliocéntrica la formula Aristarco de Samos ( siglo III a.C.) Sugiere
que el esquema más simple del movimiento de los astros se obtiene si se sitúa el Sol en el centro
del Universo. La Tierra tendría dos movimientos , rotación diaria y traslación anual. Esta teoría
fue desechada frente a la aristotélica, porque la Tierra debía ser el centro del universo. Además
se le hacía un reproche; Si la teoría fuese acertada la Tierra estaría unas veces más cerca y otras
más lejos de ciertas estrellas del fondo estelar, lo que haría que se vieran como si hubieran
sufrido un desplazamiento sobre el fondo de las estrellas más lejanas. Nadie había observado
este desplazamiento. A esto se le conoce como paralaje estelar.
Ajustando adecuadamente las velocidades del movimiento del planeta y en su epiciclo y de su centro en la deferente
se podía dar una explicación bastante precisa de todos los
problemas, como el movimiento retrogrado de los planetas tuvo una gran aceptación y se mantuvo en vigor durante
muchos siglos. Mantenía el movimiento circular uniforme como movimiento natural de los cielos. El artificio de los
epiciclos no satisfacía a los que abogaban por un modelo
simplista como el aristotélico.
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Galileo fue quién apuntó, en el siglo XVII, la clave de la dificultad para medir el
paralaje: las estrellas estaban mucho más lejos de lo que se pensaban. En 1838, un astrónomo
alemán, Bessel, midió el primer paralaje de una estrella. El resultado que obtuvo equivaldría al
tamaño del ángulo de una peseta medido desde 5 km de distancia.
1.3 Teoría heliocéntrica de Copérnico
Nicolás Copérnico ( 1473-1543) expone una teoría heliocéntrica que desecha la teoría
Ptolomeica y retorna a la simplicidad de los movimientos planetarios. Sitúa al Sol en el centro
del Sistema y todos los planetas, incluida la Tierra se moverían en circunferencias concéntricas.
La Tierra tendría un doble movimiento de traslación y rotación.
Esta concepción del Universo es contraria a la Biblia y a las teorías de Aristóteles, por
lo que no fueron aceptadas por sus contemporáneos. De hecho, Copérnico nunca publicó su
obra De revolutionibus orbius caelestium ( Revoluciones de las esferas celestes) que se publicó
póstumamente en 1443
Uno de los mayores aciertos de la teoría de Copérnico fue el establecimiento de los
periodos orbitales de los planetas alrededor del Sol y las distancias relativas de los planetas al
Sol.
También ofrecía una sencilla explicación del
movimiento retrogrado de los planetas. Si se observa el dibujo, la retrogradación del planeta tiene lugar cuando la
Tierra lo adelanta, debido a que su periodo de revolución
alrededor del Sol es más corto.
Justificó también correctamente la no observación del paralaje. Las
Estrellas estaban tan lejos que la diferencia era inapreciable.
1.4 Galileo
Galileo Galilei ( 1564-1642) apoyó y desarrolló la teoría heliocéntrica de Copérnico.
En 1610 publica el Mensajero celestial donde dice:
- Júpiter tiene cuatro planetas ( Kepler los llamaría después satélites) girando en torno a
él. Esto venía a decir que la Tierra no era el centro de rotación de todos los cuerpos
celestes y rompía con el dogma de los siete cuerpos celestes, aparte de las estrellas fijas, que se suponía constituían el universo.
- La superficie lunar no era lisa ni perfectamente esférica sino que tenía rugosidades , cadenas montañosas y valles. Esto supone atentar contra la idea de que salvo la Tierra
los demás cuerpos celestes eran esféricos y uniformes
- Las estrellas fijas no parecían aumentar a través del telescopio .Esto implicaba que
estaban increíblemente lejos, lo que permite explicar la ausencia de paralajes
observadas.
- La Vía Láctea, cuyo nombre se deber al aspecto lechoso que presenta su rastro en el
cielo, estaba compuesto por una infinidad de estrellas indistinguibles a simple vista.
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d rsen r
d sen
L rpsen pd
Tª del momento angular
Derivando la ecuación anterior se obtiene: rxma rxF M
dt
d v xmv rxm dt
d r
dt
d L r r r r r
r r r
r r
Ya que la derivada del vector de posición respecto del tiempo es la velocidad y el producto
vectorial de esta por la cantidad de movimiento es cero, pues son vectores paralelos.
dt
d L
r
= M
r A esta expresión se le conoce como Tª del momento angular: “ La variación del
momento angular de una partícula con respecto a un punto en la unidad de tiempo, es igual al
momento resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula con respecto a dicho punto.”
Conservación del momento angular. Consecuencias
Si el momento M =0 entonces L = cte. Es decir, si la
suma de los momentos de las fuerzas exteriores que
actúan sobre un sistema es cero, el momento angular del sistema permanece cte.
Por ejemplo esto ocurre en el caso de las fuerzas
centrales ya que al tener r y F la misma dirección el momento es cero
2.3 Par de fuerzas
Se denomina par de fuerzas a dos fuerzas paralelas, iguales en módulo y de sentido
contrario. La resultante es 0. R = F 1 -F 2 = 0.
- No produce movimiento de traslación, solo de rotación
- El módulo del producto de un par de fuerzas es igual al producto del
módulo de una de las fuerzas por la distancia entre ellas. M = Fd. A d se le conoce como brazo del par
3. Leyes de Kepler
A finales del siglo XVI, un astrónomo danés, Brahe, calculó numerosos datos sobre el
movimiento de los planetas con muchísima precisión. También trató de medir algún paralaje
pero no lo consiguió. Conocía las teorías de Copérnico, pero también el poder de la iglesia y
creó un modelo geocéntrico y heliocéntrico a la vez. Todos los planetas giraban alrededor del
Sol y todo ese conjunto, a su vez, gira alrededor de la Tierra que está inmóvil en el centro del
universo.
Johanes Kepler fue su discípulo, pero era un Coperniciano convencido. A la muerte de
Brahe, Kepler decidió interpretar esos datos adaptándolos a las órbitas circulares de Copérnico.
Los cálculo cuadraban hasta Marte. Según los datos de Brahe la órbita de Marte estaba a 8`de
arco ( 0,13º) fuera del esquema de Copérnico. Al estudiar esta discrepancia Kepler se dio cuenta
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de que si las órbitas son elípticas en las que en uno de los focos se situaba el Sol se solucionaba
el problema.
Con esto y el resto de los datos Kepler enunció tres leyes que describían el movimiento
planetario:
1ª ley : Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol.
2º ley: Las áreas barridas por el radio vector que parte del centro del Sol, son directamente
proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas. cte
t
S
t
S
2
2
1
1
Velocidad areolar: Es el cociente entre el área barrida y el tiempo empleado en barrerla. Va=s/t
m/s. Por esto a esta propiedad también se conoce como Tª de las áreas.
Esta propiedad es consecuencia del Tª de conservación del momento angular. Como el sistema
solar es un sistema aislado ∑ M = 0
r y por tanto L
r = cte. Como las fuerzas de atracción son
centrales
→ → F y r son paralelos y por tanto M
r =0.
Las órbitas son planas ya que si L
r =cte lo es en dirección y sentido , L
r es perpendicular
a r
r y a v
r y por tanto deben estar en un mismo plano.
Por tanto, dt
d r m dt
rd rm dt
ds L mvr rm
ϑ 2 ϑ = = = =
Como sabemos que dt
r d
dt
r d
dt
dA π ϑ
2
2
= = y despejando dt
dA
dt r
d 2
ϑ ; Sustituyendo
arriba
dt
dA m dt
dA
r
L r m 2
2
2 = → Así que si L = cte→ cte dt
dA
También podemos razonarlos diciendo que si las áreas son iguales, implica que la velocidad del
planeta cambia, siendo mayor en los puntos más cercanos al Sol, ya que debe recorrer más
distancia en el mismo tiempo.
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rA = 4 r B ; (^3)
2
3
2
B
B
A
A
r
T
r
T
= → A B A B
B
B
B
A T T T T r
T
r
T
2 2 ·
2
3
2
= → = → =
La velocidad T
r
t
s v
2 π = =
B
B B
B
B
B
B
B
B
A
A A
T
r v
T
r
T
r
T
r
T
r v
B A
B
B
B
B
B
A v v
T
r
T
r
v
v 2 2
4. Nociones actuales sobre el sistema solar.
La idea que tenemos hoy acerca del sistema solar no coincide con mucho de lo visto
hasta ahora. Para empezar, tampoco el Sol es centro de nada. Nuestro sistema planetario no es
más que uno de los muchos que posiblemente acompañan a numerosas estrellas de la galaxia en
que habitamos, la Vía Láctea. A su vez nuestra galaxia no es más que una de los billones o
trillones de galaxias que posiblemente componen el Universo.
Características de nuestro sistema solar:
- Todos los planetas efectúan dos movimientos distintos: uno de traslación alrededor del Sol
y otro de rotación en torno a su propio eje.
- Todos los planetas describen orbitas planas alrededor del Sol.-
- Casi todas las órbitas planetarias están aproximadamente en el mismo plano.
- Todos los planetas se trasladan en el mismo sentido alrededor del Sol ( en sentido
antihorario ). La mayoría de los satélites hacen lo mismo alrededor de los planetas
- El eje de rotación de la mayor parte de los planetas ( salvo Urano y Plutón) es prácticamente
perpendicular al plano orbital.
- La mayoría de los satélites describen órbitas en el plano ecuatorial delos planetas. ( Salvo
los de Urano y Plutón)
- Todos los planetas rotan en sentido antihorario excepto Venus, Urano y Plutón.
- La fuerza que gobierna el movimiento planetario es de tipo central y actúa en la dirección
que une planeta y Sol.
- Las órbitas planetarias son estables. Asumiendo que la masa del planeta apenas varía, su
distancia media al Sol permanece constante.
- Las orbitas de los satélites en torno a los planetas son planas y estables
- La fuerza que gobierna el movimiento de los satélites en torno a los planetas es de tipo
central, dirigida a lo largo de la línea que une satélite y planeta.
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5. Ley de la gravitación universal
Newton desarrolló lo que conocemos como la ley de la gravitación universal:
“ La interacción gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva y puede expresarse mediante una
fuerza central directamente proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia que los separa.
u r r
mm F G
r r
2
`
= − G es la cte de gravitación universal 6,67 ·
2 /kg
2
. El valor
de esta constante es tan pequeña que a menos que una de las
masas sea muy grande la fuerza de atracción es inapreciable.
El signo negativo de la expresión vectorial indica el carácter
atractivo de la fuerza y el vector ur la dirección radial, su dirección siempre es la recta que une las dos masas.
Son fuerzas a distancia, no necesitan un medio material para
existir.
Siempre se presentan a pares. Si un cuerpo m atrae a otro mcon una fuerza F, el m atrae al m
con una fuerza que es igual en modulo y dirección pero sentido contrario. Por ejemplo, la fuerza
que la Tierra ejerce sobre la Luna es igual que la que la Luna ejerce sobre la Tierra. En el caso
de una piedra y la Tierra, la fuerza con que la Tierra atrae a la piedra es la misma con la que la
piedra atrae a la Tierra.
La distancia r debe entenderse como la distancia entre los centros de los cuerpos.
Si G = 6,67 ·
2 /kg
2 , la MT = 6 · 10
24 kg y el radio de la Tierra = 6370 km determina
a) Magnitud con que la Tierra atrae a una piedra de 100 g
N
r
mm F G
T 0 , 98 6370 · 10
32
24 11 2
−
b) Magnitud con la que la piedra atrae a la Tierra.
Igual pero de sentido contrario
c) El valor de la aceleración que adquiere la piedra
m s g m
F
a = = = =
2 9 , 8 / 0 , 1
d) Aceleración de la Tierra
F
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Si un cuerpos de masa m se encuentra a una altura h sobre la superficie terrestre, se hallará
sometido a 2 ( r h )
mm F G
T
T
=. Como F = m·a entonces ma r h
mm G
T
T · ( )
2
y por tanto
2 r h
Gm a
T
T
: La aceleración con que cae a tierra un objeto de masa m depende de la masa de
la Tierra y no de la del objeto. Por tanto una piedra de 100 g cae con la misma aceleración
que una de 10 kg.
La aceleración varía de manera inversa al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Si h es
muy pequeña en comparación al rT ( h <<<< rT ) se puede escribir
2 T
T
r
Gm a = Si sustituimos G =
6,67 · 10
2 /kg
2 ; mT= 6 · 10
24 kg y rT = 6370 km obtenemos a = 9,8 m/s
2
6.2 Significado de la cte en la 3ª ley de Kepler
Consideremos un planeta de masa m que orbita en torno al Sol ( masa ms) a una distancia r. La
fuerza gravitacional es centrípeta y por tanto mwr
r
mm G
s 2 2 =. Sabemos que T
w
2 π
r T
m r
mm G
s 2
2
2
=. Según la 3ª ley de Kepler T
2 =Kr
3
r kr
m r
mm G
s 3
2
2
=. Y despejando K
s
s
Gm
K
r Kr
Gm
2
2
2
2
Esto quiere decir que Kepler tenía razón cuando atribuía al Sol el movimiento
planetario pues K es la misma para el movimiento de todos los planetas y solo depende de la
masa del sol, no de los planetas.
Lo mismo ocurre con la K de un satélite en torno a un planeta. Solo depende de la masa
del planeta.
De esta forma se podría hallar la masa del planeta:
3 2
2 3
2 2 4 4 r GT
r m Gm
T
Si no te acuerdas de la fórmula se puede deducir mwr r
M m G P^2 2
T G
r M G
w r M (^) p p 2
2 3 2 3
Determina la masa de Marte sabiendo que uno de sus dos satélites, Fobos, describe una orbita
circular de 9,27 · 10
6 m de radio alrededor del planeta de 7,5 horas
kg T G
r M (^) p
23 11 4 2
2 63
2
2 3
6 , 47 · 10 6 , 67 · 10 ·( 2 , 7 · 10 )
−
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G representa la fuerza con la que se atraen dos masas de 1 kg al situarlas a una distancia de 1 m
una de la otra. En este caso se atraen con 6,67 · 10
7. Campo gravitatorio terrestre
Llamaremos campo gravitatorio a la perturbación que un cuerpo produce en el espacio
que le rodea por el hecho de tener masa.
Podemos considerar una partícula de masa M que perturba el
espacio que le rodea, creando un campo gravitatorio. Dicho
campo se hace evidente cuando una partícula testigo de masa m se sitúa en él a una distancia r del centro de M y es atraída con
una fuerza ur r
Mm F G
r r
2 = − donde r = R + d; Estaremos fuera
del campo gravitatorio cuando F = 0. Para ello r debe ser ∞. Esto es teórico. Si las masas son pequeñas en relación a la
distancia la F →0. Ej: Tiza- bolígrafo
7.1 Intensidad del campo gravitatorio
La fuerza depende de la cantidad de masa m. Vamos a definir una característica del
campo que solo dependa de la masa que origina el campo M y la distancia al punto que
consideremos.
La intensidad del campo gravitatorio, g
r , en un punto del espacio es la fuerza que
actuaría sobre la unidad de masa situada en ese punto. Su unidad es N/kg. Frecuentemente se
usa el término campo gravitatorio para designar la Intensidad de campo gravitatorio.
Para determinar el campo gravitatorio creado por una masa puntual M situamos una masa de prueba m en un punto P del
espacio a una distancia R de la masa M. Calculamos la F por
unidad de masa (^) r
r u r
M
G
m
u r
Mm G
m
F
g
r
r r r 2
2 = −
Podemos decir que el campo gravitatorio tiene las siguientes propiedades:
- Es un campo central y disminuye con el cuadrado de la distancia.
- El signo negativo es porque g y ur tienen sentidos contrarios. Las fuerzas gravitatorias
siempre son atractivas
Podemos escribir la ecuación de la intensidad como F mg
r (^) r =. Esto coincide con P mg
r (^) r =.
En la superficie de la Tierra (^) r
T
o u R
M
g G
r r 2
Calcula el campo gravitatorio creado por el sistema de la figura en el punto P. Determina el
módulo de la fuerza gravitatoria que actúa sobre una masa m= 0,5 kg colocada en el punto P.
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7.3 Tª de Gauss
Gauss definió un Teorema para calcular el flujo del campo electrostático. Para el campo
gravitatorio se usa una modificación de este.
Sea M una masa puntual encerrada en una esfera de radio r.
El flujo es = g · S = gS cos 180 =− gS
rr φ
Si M está en el centro de la esfera 2 r
M
g =− G
Como S = 4 π r
2 →Φ= r GM r
M
G · 4 · 4 ·
2 2
− π =− π
M es la masa encerrada dentro de la superficie
“ El flujo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada es el producto de una
constante ( - 4πG) por la masa encerrada dentro de la superficie”.
Mediante el Tª de Gauss puede justificarse que una esfera homogénea se comporte en su
exterior como una masa puntual situada en su centro. Basta con elegir una esfera concéntrica de
radio r y suponer que el campo gravitatorio es cte y perpendicular a la superficie de la esfera
elegida.
Tª Gauss Φ = -4πGMinterior Definición de Φ; Φ = -gS= -g4πr
2
8. Variaciones de la intensidad de campo
1º Intensidad en el exterior de un planeta de radio R y masa M
u r d
M
g G
r r 2
Conforme nos acercamos al planeta la g es mayor ( en módulo ) y si
hacemos un pozo en el centro del planeta sería ∞. ESTO NO ES CIERTO. LA LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL SOLO SE
CUMPLE PARA LA SUPERFICIE DEL PLANETA.
2º Interior de un planeta macizo
Sobre el punto A solo hay contribución de la masa que hay por debajo. Suponemos la densidad de la esfera constante.
2 r
m g (^) A = G ;
Igualando
2
int r
M g G erior =
Leandro Bautista
3
3
3 3
3
3
R
Mr m
R
M
r
m
R
M
d
r
m d
k r R
GMr
R
Mr
r
G
r
m g (^) A G · · 3 3
3
2 2
Justo sobre la superficie g= 2 R
GM
Hallar la intensidad del campo gravitatorio en un punto situado a igual distancia del centro de la
Tierra que de la superficie.
R
r = (^) p go R
GM
R
GM
R
R
GM
g 2
3 2 2
9. Energía potencial de un campo gravitatorio
Vamos a intentar calcular el W para llevar una masa m desde un punto a otro dentro del
campo gravitatorio. Es un campo conservativo central
Nota:
r
r r dr r dr r
21 1 2 2
−+ − −
· · ·cos 180 · ( 2 A
r r
r
r r
B
A
B
A
B
A
B AB (^) A r r GMm r
dr GMm r
Mm dr G r
Mm W Fdr Fdr Fdr G B A
B
A
r r
Es el trabajo que se realiza para llevar la masa m del pto A al B dentro del campo gravitatorio.
Sabemos que W = - ∆Ep= EpA-EpB
EpA-EpB= )
rA r B
− GMm −
Para obtener la Ep relativa a un punto del campo hay que fijar un sistema de referencia
que asigne 0 al valor de la Ep. Se elige el ∞. Si llevo B al infinito rB = ∞ →→→→ 1/rB = 0
EpA= r A
_ GMm Trabajo que hay que realizar para llevar la masa desde A al ∞ y al revés (
desde ∞ al punto A). También expresa la Ep de la masa m en el pto A.
Es la variación de la Ep que ha sufrido el cuerpo cuando ha pasado
del punto A al B
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10.2 Energía potencial en la Tierra
Si la masa creadora del campo es la masa de la Tierra ( MT) la energía potencial será
A B
A B T r r
Ep Ep GM m
Si elegimos como Ep =0 el suelo de la Tierra rB = RT →
EpB = 0
R R h
GM m r R
E GM m T T
T A T
pA T
Operando y sabiendo que (^02) T
T
R
M
g = G
R R h
h GM m R R h
R h R E GM m T T
T T T
T T pA T
2 ( )
Si h<<<< Leandro Bautista
(^2 21) po p
T
T
T
T
po
p
t
T po
T
T p E E
R
GM m
R
GM m
E
E
R
GM m E
R
GM m
r
GMm E
11. Movimiento de planetas y satélites
11.1 Velocidad orbital de un satélite
Supongamos que hay una partícula de masa m con trayectoria alrededor de la tierra circular de radio r.
Suponemos que la Tierra está quieta, m lleva velocidad v y no gasta combustible.
r
v Fc mac m
2 = = OJO : La ac no depende de la
masa, otro cuerpo de masa m` tendría la misma.
Todas las masas en la misma órbita tienen la misma
velocidad lineal.
La fuerza gravitatoria de atracción de la Tierra es 2 r
M m F G
T
r Es la misma fuerza
vista desde dos puntos de vista distintos. 2 r
M m G
T
r
v m
2
; r
M
v G
T
2 y por tanto
r
M
v G
T
11.2 Energía Total
Se llama energía total a la que tiene una masa o satélite que órbita alrededor de la tierra. Es la suma de la Ec y
de la Ep.
r
GM m
r
M
E mv mG r
M m E G
T T c
T p 2 2
2 =− = = =
La energía total es la suma de las dos energías r
M m G r
M m E G
T T T 2
= ( − 1 + =− Esta es la
energía necesaria para que un satélite esté en órbita.
Es negativa e igual a la mitad del valor de la energía potencial. El signo menos corresponde a
orbitas cerradas de objetos que no tienen energía suficiente para escapar de la atracción
terrestre.
Cuando un satélite cambia de órbita en ausencia de fuerzas exteriores su Energía mecánica se
conserva. EcA + EpA = EcB + EpB
