Física de Ondas, Apuntes de Física

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Física de Ondas

Juan Luis Gutiérrez Blanco

1 de septiembre de 2010

Índice general

1. Introducción

1.1. Números complejos

Un número complejo c puede escribirse como una parte real, a y una parte imaginaria, b, c = a + ib. Su complejo conjugado es c∗^ = a − ib. Este número complejo c también puede escribirse como un módulo y una fase c = ρe iϕ. Evidentemente ρ =

a^2 + b^2 y tan (ϕ) = ba. Por otra parte, tenemos que a = ρ cos (ϕ) y b = ρ sin (ϕ).

Exponencial compleja

La exponencial compleja e iϕ^ viene dada por:

e iϕ^ = cos (ϕ) + i sin (ϕ) (1.1)

y su complejo conjugado es

e− iϕ^ = cos (ϕ) − i sin (ϕ) (1.2)

Si sumamos las ecuaciones 1.1 y 1.2, tenemos que:

e iϕ^ + e− iϕ^ = 2 cos (ϕ)

es decir,

cos (ϕ) =

( e iϕ^ + e− iϕ

) (1.3)

Si restamos las ecuaciones 1.1 y 1.2, tenemos

e iϕ^ − e− iϕ^ = 2i sin (ϕ)

luego,

sin (ϕ) =

2 i

( e iϕ^ − e− iϕ

)

es decir,

sin (ϕ) = − i 2

( e iϕ^ − e− iϕ

) (1.4)

1. Introducción

1.2. Relaciones trigonométricas

Suma y diferencia de dos ángulos

Las relaciones trigonométricas de la suma o diferencia de ángulos vienen dadas por

sin (α ± β) = sin (α) cos (β) ± cos (α) sin (β)

cos (α ± β) = cos (α) cos (β) ∓ sin (α) sin (β)

tan (α ± β) = tan (α) ± tan (β) 1 ∓ tan (α) tan (β)

Ángulo doble y ángulo mitad

sin (2α) = 2 sin (α) cos (α)

cos (2α) = cos^2 (α) − sin^2 (α)

es decir, cos (2α) = 1 − 2 sin^2 (α)

o cos (2α) = 2 cos^2 (α) − 1

tan (2α) =

2 tan (α) 1 − tan^2 (α)

sin

( α 2

)

√ 1 − cos (α) 2

cos

( α 2

)

√ 1 + cos (α) 2

tan

( α 2

)

√ 1 − cos (α) 1 + cos (α)

Suma y diferencia del seno y el coseno de dos ángulos

sin (α) ± sin (β) = 2 sin

( α ± β 2

) cos

( α ∓ β 2

)

cos (α) + cos (β) = 2 cos

( α + β 2

) cos

( α − β 2

)

cos (α) − cos (β) = −2 sin

( α + β 2

) sin

( α − β 2

)

Parte I.

Osciladores

2. Oscilador armónico unidimensional

2.1. Oscilador con un grado de libertad

La dinámica de una partícula de masa m unida a un soporte fijo por un muelle de constante k viene dada por la segunda ley de Newton, ma = −kx. Eso es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden

m

d^2 x dt^2 = −kx (2.1)

si hacemos k = mω 02 , podemos escribir la ecuación 2.1 como

d^2 x dt^2

= −ω^20 x (2.2)

donde ω 0 tiene unidades de frecuencia (inverso de tiempo). Para determinar una solución de la ecuación diferencial 2.2, hemos de indicar la posi- ción inicial x (0) y, como es una ecuación de segundo orden, hemos de indicar también la velocidad inicial, v (0) (consideramos que t = 0 es el tiempo inicial para abreviar). La solución más general posible de esta ecuación es x (t) = c−e− iω^0 t^ + c+e iω^0 t. La velocidad será v (t) = −iω 0 c−e− iω^0 t^ +iω 0 c+e iω^0 t. Así, para el instante inicial, t = 0, tenemos: x (0) = c− + c+ v (0) = −iω 0 c− + iω 0 c+

es decir, x (0) = c− + c+ (2.3) iv (0) ω 0

= c− − c+ (2.4)

Por tanto, las constantes complejas c− y c+ se obtienen a partir de las condiciones iniciales. Si sumamos las ecuaciones 2.3 y 2.4, tenemos:

x (0) + iv (0) ω 0

= 2c−

luego

c− =

x (0) + iv ω (0) 0 2

1. Oscilador armónico unidimensional

Si restamos las ecuaciones 2.3 y 2.4, tenemos:

x (0) − iv (0) ω 0

= 2c+

luego

c+ =

x (0) − iv ω (0) 0 2 A un movimiento del tipo x (t) = c−e− iω^0 t^ +c+e iω^0 t^ es a lo que llamaremos movimiento armónico. La idea es que es un movimiento oscilatorio con una sola frecuencia, ω 0. Puesto que x y v son variables reales, c− y c+ han de ser complejos conjugados. Si hacemos 2 c+ = a − ib y 2 c− = a + ib, podemos escribir la trayectoria como

x (t) =

( a + ib 2

) (cos (ω 0 t) − i sin (ω 0 t)) +

( a − ib 2

) (cos (ω 0 t) + i sin (ω 0 t))

luego,

x (t) =

( a 2

a 2

) cos (ω 0 t)+

( ai 2

ai 2

) sin (ω 0 t)+

( ib 2

ib 2

) cos (ω 0 t)+

( b 2

b 2

) sin (ω 0 t)

es decir x (t) = a cos (ω 0 t) + b sin (ω 0 t)

donde a y b son constantes reales, dadas por las condiciones iniciales, que se calculan trivialmente a partir de las constantes complejas. De hecho, a = x (0) y b = v ω (0) 0. Por otra parte, si escribimos las constantes complejas como un módulo y un argumento y hacemos 2 c+ = Ae− iϕ^ y 2 c− = Ae iϕ , podemos escribir la trayectoria como

x (t) =

A

e iϕ e− iω^0 t^ +

A

e− iϕ e iω^0 t

luego,

x (t) =

A

e− i ( ω^0 t − ϕ )^ +

A

e i ( ω^0 t − ϕ )

entonces

x (t) =

A

(cos (ω 0 t − ϕ) − i sin (ω 0 t − ϕ)) +

A

(cos (ω 0 t − ϕ) + i sin (ω 0 t − ϕ))

es decir x (t) = A cos (ω 0 t − ϕ)

donde A y ϕ son constantes reales que se calculan a partir de las constantes complejas, es decir,

A =

√√ √√ x (0)^2 + v (0)^2 ω^20

1. Oscilador armónico unidimensional

Igualando las expresiones 2.5 y 2.6, tenemos que:

mω 02 2

x^2 =

( d^2 V dx^2

)

x =

x^2

entonces

mω^20 =

( d^2 V dx^2

)

x =

luego la frecuencia propia del oscilador será

ω 0 =

√ 1 m

( d^2 V dx^2

)

x =

Esto es importante, la frecuencia propia depende de la masa de la partícula y de la derivada segunda de la curva de energía potencial. Conociendo la dependencia de la energía potencial con la distancia tenemos toda la información del sistema. Este desarrollo truncado en el término cuadrático sólo vale cerca del mínimo. Todo potencial que tenga un mínimo dará una dinámica de oscilador armónico para oscilaciones de amplitud suficientemente pequeña. De ahí el interés de los osciladores armónicos. Por eso lo que aquí estamos estudiando se aplica a montones de problemas en la física. Si tenemos un punto de equilibrio estable de un sistema y nos apartamos un poco de ese punto acabaremos teniendo un oscilador armónico. Si consideramos oscilaciones de mayor amplitud puede ser necesario introducir más términos en el desarrollo del potencial, pues nos alejamos más del punto de equilibrio.

V (x) = V (0) +

( dV dx

)

x =

x +

( d^2 V dx^2

)

x =

x^2 +

( d^3 V dx^3

)

x =

x^3 +

( d^4 V dx^4

)

x =

x^4 + ...

Estos nuevos términos son los denominados términos no armónicos. Tenemos una fuerza de ligadura más complicada que dará lugar a nuevas frecuencias de oscilación. En este caso tenemos un oscilador no armónico. Hemos visto que cualquier potencial regular (para que podamos derivarlo) se comporta como un oscilador armónico, si no siempre, por lo menos sí para oscilaciones de amplitud suficientemente pequeña. Por otro lado sabemos que hay moléculas que son estables. Por ejemplo la molécula de nitrógeno N 2 , formada por dos átomos de nitrógeno unidos por un enlace covalente. Este enlace tiene una distancia de equilibrio entre los dos núcleos. Eso indica -sin saber nada de química cuántica- que tenemos un potencial con un mínimo a la distancia de equilibrio. En conclusión, para vibraciones pequeñas las moléculas se comportan como osciladores armónicos. Experimentalmente se comprueba que esto es así.

2.1. Oscilador con un grado de libertad

2.1.2. Oscilador amortiguado

Ahora consideremos además un término de rozamiento, de forma que sobre la partícula actúa la fuerza debida al oscilador armónico −kx más un término disipativo −bv. Así la segunda Ley de Newton queda, ma = −kx − bv El término k = mω^20 representa un oscilador armónico de frecuencia propia ω 0. El término b representa la fuerza de rozamiento, proporcional a la velocidad. b tiene di- mensiones de (^) tiempomasa. Por ello es bueno introducir un tiempo característico, al que de- nominaremos tiempo de relajación, definido por τ = mb. Este tiempo podemos entenderlo como la “memoria” del sistema. Así la ecuación diferencial de segundo orden que tenemos es: d^2 x dt^2

= −ω^20 x − γ dx dt

donde γ = (^) mb = (^1) τ Veamos cómo calcular las soluciones de esta ecuación. Imaginemos que buscamos una solución de tipo armónico, es decir una solución de la forma

x (t) = Ae i Ω t^ (2.8)

hemos introducido una “frecuencia” Ω a determinar. Derivando la expresión 2.8, tenemos que dx dt = iΩAe i Ω t^ (2.9)

y d^2 x dt^2 = −Ω^2 Ae i Ω t^ (2.10)

Sustituyendo las expresiones 2.8, 2.9 y 2.10 en la expresión 2.7, tenemos nuestra ecuación como −Ω^2 Ae i Ω t^ = −ω 02 Ae i Ω t^ − iγΩAe i Ω t

es decir, −Ω^2 = −ω 02 − iγΩ

luego, la ecuación a resolver queda

Ω^2 − iγΩ − ω 02 = 0

Las raíces de esta ecuación de segundo grado son:

Ω = i γ 2

√ ω 02 − γ^2 4

Si llamamos ω′^ =

√ ω^20 − γ 2 4 , la solución aceptable será de la forma^ x^ (t) =^ ce

iω ′ t − γ t (^2).

Si ω 0 < γ 2 , el periodo propio es mucho mayor que el tiempo de relajación y el sistema disipa su energía sin tener tiempo de oscilar

2.1. Oscilador con un grado de libertad

2.1.3. Oscilador armónico amortiguado y forzado

La dinámica de la partícula viene dada por la segunda Ley de Newton,

ma = −kx − bv + F cos (ωt)

Sobre la partícula considerada, de masa m actúan tres fuerzas:

Ligadura El término k = mω^20 representa la fuerza de ligadura, un oscilador armónico de frecuencia propia ω 0.

Rozamiento El término b representa la fuerza de rozamiento, proporcional a la veloci- dad. La introducción de este mecanismo de disipación es fundamental para llegar a tener una solución oscilatoria a tiempos largos.

Fuerza externa El término F cos (ωt) representa la fuerza externa que actúa sobre la partícula. La fuerza externa oscila a la frecuencia ω.

La ecuación diferencial a resolver es, por tanto,

m d^2 x dt^2 = −kx − b dx dt

• F cos (ωt)

o, lo que es lo mismo d^2 x dt^2 = −ω^20 x −

τ

dx dt

• f cos (ωt)

con ω 0 =

√ k m ,^ τ^ =^

m b y^ f^ =^

F m. Para encontrar la solución, es algo más sencillo usar la notación compleja, escribir cos (ωt) = e

− iωt + eiωt 2 y quedarnos con sólo una de las dos exponenciales. d^2 x dt = −ω 02 x −

τ

dx dt

f e iωt

Ahora posición y velocidad serán complejas. Desde luego sólo tendrá sentido físico para nosotros la parte real. Esta ecuación presenta un transitorio y una solución estacionaria:

Transitorio Depende de las condiciones iniciales, cuya influencia va desapareciendo de- bido al término disipativo (con un tiempo característico τ )

Solución estacionaria Para tiempos mucho mayores que τ , la disipación ha borrado la dependencia de las condiciones iniciales. Finalmente se tiene una solución que oscila con amplitud constante a la frecuencia de la fuerza externa.

En este caso, la ecuación diferencial es inhomogénea. La solución a este tipo de ecuación está formada por dos términos: la solución general del sistema homogéneo, d (^2) x dt =^ −ω (^20) x− 1 τ

dx dt , más una solución particular del caso inhomogéneo. Es claro que la solución más general para el sistema homogéneo es

1. Oscilador armónico unidimensional

x (t) =

( c0+e iω ′ t

• c 0 −e− iω ′ t ) e− γ^ t 2

En el caso inhomogéneo, la ecuación diferencial a resolver es

d^2 x dt = −ω^20 x −

τ

dx dt

f e iωt^ (2.14)

La solución de esta ecuación será del tipo:

x = ce iωt^ (2.15)

Derivemos esta ecuación: dx dt = iωce iωt^ (2.16)

d^2 x dt^2 = −ω^2 ce iωt^ (2.17)

Sustituyendo las expresiones 2.15, 2.16 y 2.17 en la ecuación 2.14, tenemos

−ω^2 ce iωt^ = −ω^20 ce iωt^ − iγce− iωt^ +

f e iωt

de donde, ( ω^20 − ω^2 + iγω

) c =

f

luego

c =

f 2

( ω^20 − ω^2 + iγω

)

es decir,

c = f

( ω 02 − ω^2

)

2

(( ω^20 − ω^2

) 2

• (γω)^2

) (^) − if γω 2

(( ω 02 − ω^2

) 2

• (γω)^2

)

La solución real será, por tanto,

x (t) = c+e iωt^ + c−e− iωt

con

c+ = f

( ω^20 − ω^2

)

2

(( ω 02 − ω^2

) 2

• (γω)^2

) (^) − if γω 2

(( ω^20 − ω^2

) 2

• (γω)^2

)

c− = f

( ω^20 − ω^2

)

2

(( ω 02 − ω^2

) 2

• (γω)^2

) (^) + if γω 2

(( ω^20 − ω^2

) 2

• (γω)^2

)

Si hacemos 2 c+ = Ae− iδ^ y 2 c− = Ae iδ , tenemos que

x =

A

e− iδ e iωt^ +

A

e iδ e− iωt