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INSTITUTO ENSEÑANZA SECUNDARIA “Santa Eulalia” Mérida
FÍSICA 2º BACHILLERATO
Desarrollo de los estándares de aprendizaje evaluables
Bloque 2. Interacción gravitatoria.
1. Efectúa el análisis dimensional de las ecuaciones que relacionan las diferentes
magnitudes en un proceso físico.
2. Diferencia entre los conceptos de fuerza y campo, estableciendo una relación
entre intensidad del campo gravitatorio y la aceleración de la gravedad. (teoría, V/F y
problemas).
Numerosas investigaciones indican que un gran número de alumnos no establece diferencias conceptuales entre fuerza y campo, debido fundamentalmente a un tratamiento didáctico deficiente y a la introducción del concepto de campo a partir de su definición operacional. Estableceremos las diferencias entre estos dos conceptos, fuerza y campo, desde el punto de vista de la interacción gravitatoria, justificando introducir el concepto de campo como una necesidad obligatoria para entender la interacción entre dos masas.
Las fuerzas son magnitudes físicas capaces de modificar el estado de traslación de los cuerpos. Las fuerzas modifican la cantidad de movimiento de los cuerpos y comunican aceleración a los mismos
según la segunda Ley de Newton: ⃗ =
⃗ = ⃗.^ Como consecuencia de la interacción entre dos masas surge una fuerza, que denominamos fuerza gravitatoria, cuyo valor viene determinado por la
ley de gravitación universal de Newton: ⃗ = − ⃗ (^) , donde ⃗ (^) es un
vector unitario definido por ⃗ (^) = (^) | ⃗| ⃗ = ⃗ . Toda partícula de masa M atrae
a otra partícula de masa m con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
Las características principales de esta fuerza son:
La dirección del vector fuerza es la de recta que une las dos masas. Las fuerzas gravitatorias siempre son atractivas.
Son fuerzas a distancia. No es preciso que existan ningún medio material entre las masas para que dichas fuerzas actúen.
Son instantáneas y siempre se presentan a pares. Si la masa M atrae a la masa m con una fuerza ⃗ , la masa m, a su vez, atrae a la masa M con una fuerza ⃗ . Ambas fuerzas tienen el mismo módulo
y la misma dirección, pero sentidos contrarios. Son fuerzas de acción y reacción. ⃗ = − ⃗ .
La constante de proporcionalidad G que aparece en la ley se llama constante de gravitación universal y su valor es constante en todo el universo: 6,67 10-11^ Nm^2 /kg 2. Su valor es tan pequeño que, a menos que una de las masas sea muy grande, la fuerza de atracción gravitatoria es inapreciable.
Las fuerzas gravitatorias son centrales y conservativas. La fuerza gravitatoria es una fuerza central porque está dirigida constantemente hacia el mismo punto, centro del campo, independientemente de
Dpto. Física^ y^ Química
la posición de la masa m, y su módulo depende sólo de la distancia r de la masa m a la masa M que crea el campo. La fuerza gravitatoria es conservativa porque el trabajo realizado por el campo gravitatorio para trasladar una masa m de un punto a otro depende sólo de las posiciones inicial y final de dicha masa.
Las fuerzas gravitatorias cumplen el principio de superposición, si varias masas ejercen fuerzas gravitatorias sobre otra, la fuerza total será la suma vectorial de todas ellas.
La teoría newtoniana interpreta la interacción entre dos masas mediante fuerzas gravitatorias, es decir, son fuerzas a distancia e instantáneas. Son fuerzas a distancia, pues como hemos comentado no es preciso que exista ningún medio material entre las masas para que dichas fuerzas actúen. Y son instantáneas, como consecuencia del principio de acción-reacción. En esta interpretación todo cambio se atribuye a los cuerpos y cualquier referencia al espacio sólo se hace para definir su disposición espacial. Se asume el hecho de que una masa actúa a distancia, aunque no esté donde se supone que actúa. Precisamente este hecho y la instantaneidad son los dos problemas que presenta este punto de vista, y hasta el propio Newton lo detectó al escribir: “Es inconcebible que la materia bruta, inanimada, sin la mediación de algo más que no sea material influya y afecte a otra materia sin contacto mutuo”.
Para solucionar estas deficiencias fue necesario introducir el concepto de campo, en nuestro caso, campo gravitatorio. Llamamos campo gravitatorio a la perturbación que un cuerpo produce en el espacio que lo rodea por el hecho de tener masa. Esta perturbación en cada punto, es decir, el valor del campo gravitatorio viene determinado por dos magnitudes físicas: una vectorial, la intensidad del campo gravitatorio (punto de vista dinámico), y otra escalar, el potencial gravitatorio (punto de vista energético).
La intensidad del campo gravitatorio en un punto del espacio es la fuerza que actuaría sobre la unidad de masa situada en ese punto. Se mide en N/kg. Viene dada por la expresión:
^
^
Si se tiene una masa M que crea un campo y se quiere calcular el campo
gravitatorio ⃗ en un punto P, se debe dibujar con origen en el punto P (donde se supone una masa de
1 kg) y dirigido hacia la masa M. Para dibujar ⃗ su origen es la
masa M y dirigido hacia el punto P. Para calcular la intensidad de campo gravitatorio creado por un conjunto de masas puntuales se suman vectorialmente los campos que crearía cada masa suponiendo que estuviese solo ella en el espacio: principio de superposición. En la figura adjunta representamos el módulo de la intensidad de campo gravitatorio en función de la distancia.
El potencial gravitatorio en un punto del espacio es el trabajo que se realiza cuando la unidad de masa se traslada desde dicho punto hasta el infinito. Se mide en J/kg. Viene dado por la expresión:
En la figura adjunta de la derecha observamos la variación de V con la distancia y en la de la izquierda el potencial creado por una esfera en tres dimensiones.
Existe un campo de fuerzas en un punto del espacio si al colocar en él un cuerpo de prueba, éste queda sometido a una fuerza. Decimos que una fuerza es central si está dirigida siempre hacia el
Si W (^) AB > 0 la masa m se desplaza por acción de las fuerzas del campo gravitatorio. Esto sucede cuando se acercan dos masas, es un proceso ESPONTÁNEO. Si W (^) AB < 0 la masa m se desplaza por acción de fuerzas exteriores al campo gravitatorio. Esto sucede cuando se separan dos masas. No es un proceso espontáneo.
Resumiendo, la teoría de campos, salvando las deficiencias de la teoría newtoniana, interpreta la interacción entre dos masas como interacciones locales, perfectamente percibida por los sentidos, con el campo existente previamente en el punto donde se colocará la masa testigo. El campo se considera como una realidad física cuya existencia es esencial para explicar fenómenos donde está presente y no como un proceso matemático que facilita los cálculos. El campo es el verdadero responsable de la interacción y no las masas. No podemos considerar el campo como una región del espacio que delimita la influencia de una masa, sino que debe considerarse como una perturbación del espacio-tiempo que es producida por la presencia de una masa, de manera, que la interacción gravitatoria es una consecuencia de esta perturbación y afecta por tanto a todas las masas que se aproximen a la zona de influencia de la misma. Esta perturbación se propaga a la velocidad de la luz, lo que modifica aspectos esenciales de las leyes de Newton, como, por ejemplo, la ley de acción y reacción, deduciéndose la no instantaneidad de las interacciones. En este punto de vista el objeto de análisis es el medio, o mejor dicho, el espacio, y sus posibles cambios.
Relación entre intensidad del campo gravitatorio y la aceleración de la gravedad:
Consideremos dos masas M y m, tal como se representan en la figura adjunta, siendo M mucho mayor que m. Podemos decir que m se encuentra en el campo gravitatorio generado por M.
Según la ley de Gravitación Universal de Newton sobre la masa m actúa una fuerza de atracción gravitatoria que viene dada por
la expresión: ⃗ = −
^ ⃗^ ^ (1)
Por otro lado, sabemos que las fuerzas modifican la cantidad
de movimiento de los cuerpos y comunican aceleración a los mismos según la 2ª Ley de Newton: ⃗ = ⃗ = ⃗ (2)
Igualando las expresiones (1) y (2) podemos poner: −
^ ⃗^ ^ = ⃗ ⟹^ ⃗ = − ^
^ ⃗^ ^ (
^ )
Esta aceleración se ha interpretado de varias formas, por ejemplo, si M es muy grande respecto de m y r es pequeño (un cuerpo sobre la superficie de un planeta) esta aceleración es la denominada gravedad. Si por el contrario M es muy grande respecto a m y r es grande (un planeta alrededor del Sol), entonces esta aceleración es una aceleración centrípeta resultado de la fuerza central que el cuerpo M ejerce sobre el cuerpo m. En realidad, las dos aceleraciones son una misma, denominada intensidad de campo gravitatorio, que es una magnitud vectorial que nos permite calcular el valor de la perturbación del campo gravitatorio creado por M en la posición donde se encuentra la masa m, y representa la fuerza que experimentaría la unidad de masa colocada en ese punto. Matemáticamente:
^ ⃗^
^
En definitiva, ⃗ en cada punto coincide con la aceleración ⃗ que comunican las fuerzas gravitatorias a los cuerpos situados en ese punto. La unidad en el SI es N/kg, que equivale a m/s 2.
Consideraciones a tener en cuenta: Esta aceleración es independiente de la masa m del cuerpo, y solo depende de la masa M creadora del campo y de la distancia al punto considerado. La dirección de este vector es la de la recta que une el punto considerado del campo (donde está m) con el centro de masas del cuerpo que crea el campo M. El sentido es hacia el centro de masas de la masa creadora del campo, según vemos en la figura adjunta. Según estas consideraciones podemos hallar el valor de ⃗ en la superficie de la Tierra sabiendo que la masa de la Tierra vale 5,98 10^24 kg y el radio terrestre es 6,38 10^6 m:
^
⃗ = −6,67 10 ^
(6,38 10 ^ ) ^
^
3. Representa el campo gravitatorio mediante las líneas de campo y las superficies
equipotenciales. (teoría).
Las líneas de campo son las trayectorias que seguiría la unidad de masa en libertad dentro del campo gravitatorio. Son tangentes al vector intensidad de campo g ⃗ , y
su dirección y sentido coinciden con las de dicho vector en cada punto. Además, su sentido siempre es hacia la masa
creadora. Su densidad es proporcional al módulo del campo gravitatorio, así como su número; y como consecuencia del
principio de superposición, nunca se cortan, ya que la fuerza
en cualquier punto sólo puede tener una dirección.
Una masa m abandonada en un campo gravitatorio se movería, impulsada por la fuerza gravitatoria,
hacia potenciales menores, hacia donde indican las flechas de las líneas de campo, disminuyendo su energía potencial que se va transformando en energía cinética.
Las superficies equipotenciales se obtienen al unir los puntos en los que el potencial gravitatorio tiene el mismo valor, y coinciden con todos los puntos equidistantes a la masa creadora, si es una única masa esférica. El trabajo para trasladar una masa de un punto a otro de la misma superficie equipotencial es nulo: = ( − ) = 0 ya que = . Son perpendiculares a las líneas de campo en cualquier punto, como se demuestra por: Las líneas de fuerzas son líneas tangentes en cada punto al vector intensidad de
campo y por lo tanto a la fuerza que ejerce el campo. Si una masa realiza un desplazamiento infinitesimal a lo largo de
una superficie equipotencial el trabajo realizado por el
campo es nulo: = ⃗ ∙ ⃗ = ( − ) = 0, ya que
VA =VB. Como ⃗ ∙ ⃗ = cos y si y no pueden ser
cero nos queda que cos = 0 ⟹ = 90º , como
queríamos demostrar.
Cuando las responsables del campo son varias masas, las superficies equipotenciales dejan de ser esféricas. Ver figura adjunta de las superficies equipotenciales del campo creado por dos masas puntuales iguales m.
5. Calcula la velocidad de escape de un cuerpo aplicando el principio de
conservación de la energía mecánica. (teoría, V/F y problemas)
Es la velocidad mínima con que debe ser lanzado un cuerpo desde una altura h para escapar de la atracción gravitatoria ejercida por un planeta. Se considera que un cuerpo escapa del campo
gravitatorio del planeta cuando llega a una distancia infinita del planeta (Ep=0) con velocidad nula (Ec=0). Entonces, su energía mecánica debe ser
nula y por el teorema de conservación de la energía
mecánica se obtiene la velocidad de escape.
( ) = ( )
( ) + ( ) = ( ) + ( )
1 2
^ −
0 ^ −
Donde ve= velocidad de escape (m/s en el SI) G = constante gravitación universal= 6,67·10 -11^ N·m 2 /kg 2 m= masa del objeto que se lanza (kg en el SI) M= masa del planeta donde se encuentra el objeto (kg en el SI) r = separación entre el centro del planeta y el objeto. Si el objeto se encuentra en la superficie, r es el radio del planeta (m en el SI). La velocidad de escape NO DEPENDE de la masa del objeto lanzado, sólo de la masa y el radio del
planeta desde donde se lanza. Si consideramos los datos para el planeta Tierra, y suponemos que estamos en su superficie, las
expresiones anteriores quedaran:
Donde hemos usado que la gravedad en la superficie de la Tierra es =
^ ⇒ ^ ^ ^ =^
(^) ^ y
sustituyendo datos podemos obtener que la velocidad de escape de la superficie de la Tierra es 11, km/s.
La velocidad de escape es aplicable tan solo a objetos que dependan únicamente de su impulso inicial (proyectiles) para vencer la atracción gravitatoria; obviamente, no es aplicable a los cohetes,
lanzaderas espaciales u otros artefactos con propulsión propia.
6. Aplica la ley de conservación de la energía al movimiento orbital de diferentes
cuerpos como satélites, planetas y galaxias. (problemas).
Para estudiar la energía que debemos suministrar a un cuerpo para ponerlo en órbita, por ejemplo, situar un satélite a una cierta altura, y estudiar la energía que debemos suministrar para cambiarlo de una órbita a otra, debemos utilizar el principio de conservación de la energía mecánica teniendo en cuenta que estamos en un campo de fuerzas conservativo, es decir, la energía total en la superficie de la Tierra (EmT ) tiene que ser la misma que la energía total en la órbita a la que situamos nuestro satélite (Em (^) ORB ).
Para realizar un estudio completo deberemos estudiar diferentes casos:
1º) Se tiene un satélite en reposo en la superficie de la Tierra y se quiere ponerlo a una cierta altura h (sin orbitar): En el punto de lanzamiento hay que comunicarle una energía cinética (E (^) suministrada) que, sumada a su energía potencial, coincida con la energía mecánica en la altura h.
La energía mecánica en la Tierra será la suma de la energía cinética inicial, la energía potencial terrestre (r=RT) y la energía cinética suministrada:
Em T = EciT + Ep T + Ec suministrada = 0 -
^ + Ec^ suministrada
La energía cinética inicial ECiT del satélite es cero ya que está en reposo.
La energía mecánica a la altura h a la que queremos situar nuestro satélite será:
ya que cuando el satélite alcanza esa altura su velocidad debe ser cero. Además, r= + ℎ.
Aplicando el teorema de conservación de la energía mecánica,
Em T = Em h
De esta forma la energía que hay que suministrar al satélite será:
Y de aquí podemos calcular la velocidad de lanzamiento:
^ =
−^
= 2 ^
( ) ^ ;
siendo h la altura desde la superficie de la Tierra hasta donde está el satélite.
2º) Se tiene un satélite en reposo en la superficie de la Tierra y se quiere ponerlo en órbita: En el punto de lanzamiento hay que comunicarle una energía cinética (Esuministrada) que, sumada a su energía potencial, coincida con la energía mecánica en la órbita.
La energía mecánica en la Tierra será la suma de la energía cinética inicial, la energía potencial terrestre (r=RT) y la energía cinética suministrada:
Em T = EciT + Ep T + Ec suministrada = 0 -
^ + Ec^ suministrada
La energía cinética inicial ECiT del satélite es cero ya que está en reposo.
Tierra
satélite
Tierra
satélite
Si piden la energía mínima que hay que suministrar al satélite para llevarlo a la posición deseada y no ponerlo en órbita, su velocidad final sería cero, y, por tanto, Ecorbita = 0, quedándonos que la energía suministrada valdría:
3º) Se tiene un satélite en una órbita inicial (r (^) A) y se quiere pasarlo a otra órbita final (r (^) B ):
Para hacer que un satélite cambie de una órbita situada a una distancia r (^) A del centro de la Tierra a otra órbita cuya distancia es r (^) B , necesitamos suministrarle una cantidad de energía. Para calcular esta energía debemos tener en cuenta que en ambas órbitas tiene una velocidad orbital, por tanto, aplicando el principio de conservación de la energía mecánica entre los puntos A y B:
( ) + = ( ) ( ) + ( ) + = ( ) + ( ) 1 2
^ −
^ −
^ −
^ +
Con esta expresión debemos calcular la velocidad orbital en cada una de las órbitas. Es posible simplificar el cálculo si usamos la forma general de la energía mecánica de un satélite en una órbita, de tal manera que nos quedaría:
( ) + = ( )
= ( ) − ( ) =
Si se trata de acercar el satélite a la Tierra, (^) A > B → 1/ (^) A< 1/ (^) B → 1/ (^) A−1/ (^) B < 0 → Em (^) suministrada < 0. El
satélite debe orientar sus cohetes para perder velocidad (perder energía mecánica, que se hace más negativa) y caer a una órbita más baja. Una vez alcanzada ésta debe ser de nuevo lanzada a la
velocidad orbital de la nueva órbita, que será mayor que la que la velocidad orbital de partida (acercamiento a la superficie de la Tierra).
Si se trata de alejar el satélite de la Tierra, (^) A< B → 1/ (^) A> 1/ (^) B → 1/ (^) A−1/ (^) B > 0 → Em (^) suministrada > 0. El
satélite debe orientar sus cohetes para aumentar su velocidad (aumentar su energía mecánica, que se hace menos negativa) y ascender a la nueva órbita. Una vez alcanzada debe ser de nuevo lanzada a
la velocidad orbital de la nueva órbita que será menor que la velocidad orbital de la órbita de partida (alejamiento de la superficie de la Tierra).
4º) Se pide el trabajo de escape, es decir, la energía necesaria para alejar el satélite indefinidamente de su órbita (llegar al ∞ con velocidad 0 y Epg(∞)= 0, con lo cual su energía
mecánica será nula):
Para hacer que un satélite cambie de una órbita situada a una distancia r (^) A del centro de la Tierra a otra
órbita cuya distancia es ∞, necesitamos suministrarle una cantidad de energía que coincide con la
energía mecánica que tenía en la órbita inicial.
^ −
7. Deduce a partir de la ley fundamental de la dinámica la velocidad orbital de un
cuerpo, y la relaciona con el radio de la órbita y la masa del cuerpo. (teoría, V/F y
problemas) En general un satélite es un cuerpo que orbita alrededor de otro mayor que se considera como el
generador del campo gravitatorio. Para simplificar consideraremos
una órbita circular. Cuando un satélite describe una órbita experimenta una aceleración centrípeta debido a que se encuentra
sometido a una fuerza central ( ⃗ ), que en el caso de la Tierra viene suministrada por la atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre
el satélite. Por tanto, los módulos de la fuerza centrípeta y la fuerza gravitatoria son iguales,
=
Y por lo tanto sustituyendo las expresiones de ambas fuerzas, y
denotando la velocidad ⃗ = ⃗ :
( + ℎ) ^
Esta expresión nos dice que la velocidad orbital es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la
altura sobre la superficie a la que se encuentre el satélite. La expresión se puede modificar para introducir la intensidad del campo gravitatorio,
( + ℎ) ^
Otros parámetros que se pueden conocer son la aceleración centrípeta: =
( (^) ) y el periodo del movimiento:
=
2
=
2
=
2
=
2
=
2 ( (^) + ℎ)
(^) ( + ℎ)
Todas las expresiones anteriores son válidas para cualquier planeta que gira en torno al Sol, para
cualquier satélite que gire en torno a otro planeta o para cualquier cuerpo que gire en torno a otro por
la fuerza de la gravedad. Simplemente hay que cambiar la masa de la Tierra, MT , y el radio de la Tierra, RT , por los valores correspondientes al cuerpo central. Para cuerpos muy alejados en comparación con
su tamaño es más conveniente sustituir el término RT +h por la distancia r entre sus centros de masa.
