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Física
Análisis Dimensional
«¿Cuándo dejaré de maravillarme para empezar a conocer».
Galileo Galilei
La física es el estudio de la materia y la energía, el estudio
de la naturaleza, pero ¿con qué fin, con qué propósito?
Hace casi 4000 años, en las alturas de los templos Zigurat,
los sacerdotes astrólogos de Babilonia– escrutaban los
cielos en busca de presagios del futuro. Sus descendientes
intelectuales, los astrónomos de la Edad Media e incluso
los del Renacimiento, elaboraban horóscopos en su tiempo
libre; la astrología mística, de una forma u otra, estaba en el
trasfondo. Así, los propósitos cambian a medida que cambia
la ciencia; los astrofísicos modernos, aunque descendientes
en línea directa de los hechiceros, tienen un objetivo
diferente en su mente.
En términos generales, la ciencia busca entender el
universo tal como lo percibimos. Hay que tener en cuenta
desde el principio que nuestra comprensión puede ser
profunda, incluso puede ser correcta, pero en cierta medida,
siempre tentativa, con independencia de lo poderosos que
nos haga. Por ejemplo, James Watt convirtió el primitivo
motor de vapor en una máquina que cambio el curso
mismo de la historia. Ese trabajo partió de la base de una
«comprensión» del calor, basada en el flujo de un fluido
invisible que en realidad nunca existió, la teoría era falsa,
pero el motor era correcto.
Es tan presuntuoso seguramente decir «sabremos con
certeza», como decir «nunca sabremos con certeza», pero
la ciencia, hasta donde podemos decir, es un maravilloso
juego sin fin, en el que ni siquiera sabemos qué es lo que
no sabemos.
Arquímedes
Matemático griego. Hijo de un astrónomo, quien
probablemente le introdujo en las matemáticas,
Arquímedes estudió en Alejandría, donde tuvo como
maestro a Conón de Samos y entró en contacto
con Eratóstenes; a este último dedicó Arquímedes
su Método, en el que expuso su genial aplicación
de la mecánica a la geometría, en la que «pesaba»
imaginariamente áreas y volúmenes desconocidos para
determinar su valor. Regresó luego a Siracusa, donde
se dedicó de lleno al trabajo científico.
De la biografía de Arquímedes, gran matemático e
ingeniero, a quien Plutarco atribuyó una «inteligencia
sobrehumana», sólo se conocen una serie de anécdotas.
Son célebres los ingenios bélicos cuya paternidad le
atribuye la tradición y que, según se dice, permitieron
a Siracusa resistir tres años el asedio romano, antes
de caer en manos de las tropas de Marcelo; también
se cuenta que, contraviniendo órdenes expresas del
general romano, un soldado mató a Arquímedes por
resistirse éste a abandonar la resolución de un problema
matemático en el que estaba inmerso.
Arquímides Newton Galileo Einstein
5 to Secundaria
“El hombre es la medida de todas las cosas.”
Protágoras s.V a.C.
Es todo aquello posible o susceptible de ser medido.
Las magnitudes pueden ser directamente apreciables por
nuestros sentidos como tamaños y pesos de las cosas o
indirectas como la aceleración y la energía.
Medir es comparar una magnitud cualquiera con otra to-
mada de referencia.
El sistema métrico decimal o simplemente sistema mé-
trico es un conjunto de unidades de medida, basadas en el
metro y relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos
de 10 (base 10).
MAGNITUD
¿QUÉ SE ENTIENDE POR MEDIR?
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
Clasificación de las
Magnitudes
Por su origen Por su Naturaleza
Magnitudes
Fundamentales
Magnitudes
Derivadas
Magnitudes
Auxiliares
Magnitudes
Escalares
Magnitudes
Vectoriales
como las como las
tenemos
El «año luz » es una
unidad de longitud para
mediciones astronómicas.
E s l a d i s t a n c i a q u e
recorrería en el espacio,
un rayo luminoso durante
un año a la velocidad de
300 000 km/s.
- Las magnitudes fundamentales, son aquellas que sirven
de base para las demás magnitudes.
- Las magnitudes derivadas, resultan de la combinación
de las magnitudes fundamentales y auxiliares.
Curiosidad
Con maletín en el ascensor
Con un maletín en la mano, tomas el ascensor en la
planta baja. El ascensor empieza a subir. ¿El maletín
te parece más pesado, más ligero o igual que antes?
Rpta: Más pesado
Fue implantado en la 1.
a
Conferencia General de Pesos y
Medidas (París, 1889), con el que se pretendía buscar un
sistema único para todo el mundo para facilitar el intercam-
bio, ya que hasta entonces cada país, e incluso cada región,
tenía su propio sistema, a menudo con las mismas denomi-
naciones para las magnitudes, pero con distinto valor. Como
unidad de medida de longitud se adoptó el metro, definido
como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano
terrestre, cuyo patrón se reprodujo en una barra de platino
iridiado. El original se depositó en París y se hizo una copia
para cada uno de los veinte países firmantes del acuerdo
(entre ellos España). Como medida de capacidad se adoptó
el litro, equivalente al decímetro cúbico. Como medida de
peso (en realidad de masa) se adoptó el kilogramo, masa de
un litro de agua pura.
Además se adoptaron múltiplos (deca, 10; hecto, 100; kilo,
1000 y miria, 10 000) y submúltiplos (deci, 0,1; centi, 0,
y mili, 0,001) y un sistema de notaciones para emplearlos.
Actualmente se ha sustituido por el Sistema Internacional
de Unidades (SI) al que se han adherido muchos de los
países que no adoptaron el Sistema Métrico Decimal.
5 to Secundaria
- Determina la fórmula dimensional de «X».
X =
Hallando las dimensiones de las magnitudes:
[X] = [ ]
⇒ [X] =
Donde: [Densidad] = ML
[Velocidad] = LT
[Fuerza] = MLT
⇒ [X] =
⇒ [X] = L
T
Resolución:
Densidad x Velocidad
Fuerza
Densidad x Velocidad
Fuerza
- Si la ecuación P = Q + RD es dimensionalmente
correcta; determina [R] si:
P = presión; D = densidad
Aplicando el principio de homogeneidad.
⇒[P] = [Q] = [RD]
⇒[P] = [RD] ⇒ [P]= [R][D]
donde:
[P] = ML
T
; [D] = ML
⇒ ML
T
= [R]. ML
⇒ [R] = L
2
T
Resolución:
ML
x LT
MLT
- Si la ecuación I = W – es dimenscionalmente
correcta, determina [Z], si:
I
= volumen; F = fuerza
Por principio de homogeneidad:
[I] = [W] – [ ]
[I] = [ ] ⇒ L
3
⇒ [Z] = ML
T
Resolución:
F
Z
F
Z
MLT
[Z]
- Si la siguiente fórmula E = mV
x
es dimensionalmente
correcta, determina x; si:
E = energía; m = masa;
v=velocidad
[E] = [mV
x
] = [m][v]
x
ML
2
T
= M. (LT
x
L
2
T
= L
x
T
–x
⇒ x = 2
Resolución:
- Si la siguiente fórmula;
M. F =aR
6
D
x
es dimensionalmente correcta; determina
X si:
M = masa; F = fuerza;
R = longitud; D = densidad;
a = aceleración
[MF] = [aR
6
D
x
]
[M] [F] = [a] [R]
6
[D]
x
M. MLT
= LT
. L
6
(ML
x
M
2
LT
= L
7
T
M
x
L
–3x
M
2
LT
= M
x
L
7–3x
T
⇒ x = 2
Resolución:
F
Z
[
Densidad
]
x
[
Velocidad
]
[
Fuerza
]
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD
Si una ecuación es dimensionalmente correcta, todos los
términosdelaecuaciónsondimensionalmentehomogéneos.
A+B=C–D ⇒ [A]=[B]=[C]=[D]
EJERCICIOS RESUELTOS
Física
Rpta:
Rpta:
Rpta:
Rpta:
En la siguiente fórmula física: 3
PK = mgh; donde P = potencia; m = masa y
g = aceleración de la gravedad; h=altura.
¿Qué magnitud representa K?
Resolución:
Halla la ecuación dimensional de «S» en:
S =
Resolución:
tg60°
. Presión
tg
°
Área
sen30°
En la siguiente fórmula física correcta, ¿qué
magnitud repre–senta «k»?
K =
Resolución:
F. D
4E
F = fuerza
D = distancia
E = energía
Si la siguiente ecuación es dimensionalmente
correcta, determina [x] y [a]:
x = Aπ
at
2
. sen (α + )
donde : A = área; t = tiempo;
α = ángulo; π = 3,
Resolución:
π
Física
- En un resorte ideal se verifica que F = kx,
donde F = fuerza y x= deformación (distancia).
Halla [k].
a) M b) L
2
c) T
d) LT e) MT
- Halla la ecuación dimensional de «A» si:
A =
a) M
1/
L
b) ML c) LT
d) M
1/
L
2
e) MLT
densidad. volumen
10log100. área
- En la siguiente ecuación dimensional homogénea
se tiene que x = d sen (abx), donde [x] = L y [a] = T.
¿Cuáles son las dimensiones de «b»?
a) T
b) L
c) LT
d) L
T
e) L
2
T
- Halla la ecuación dimensional de «Q» en:
Q =
a) LT b) T c) T
d) L e) 1
energía. aceleración
trabajo. velocidad
- Enlasiguientefórmulafísicacorrecta,¿quémagnitud
representa «A»?
A =
Donde: m = masa; a = aceleración; L = longitud;
P = potencia
a) Fuerza b) Tiempo
c) Masa
d) Longitud e) Adimensional
m. a. L
10 P
- En la siguiente fórmula física: E = AV
2
+ BP
donde: E = energía; P = presión; V = velocidad
Determina qué magnitud representa A/B
a) Longitud b) Caudal c) Presión
d) Densidad e) Volumen
- De la siguiente ecuación dimensionalmente
correcta, determina [x] e [y]. V = x. t.+ y. a
donde: V = velocidad; t = tiempo; a = aceleración
a) L ; T b) LT
; L c) LT
; T
d) LT
; T e) L
T
2
; T
- La siguiente fórmula física es dimensionalmente
correcta y homogénea: E = AW
2
+ BV
2
+ CP
donde: E = energía W= velocidad angular
V = velocidad lineal P = presión
Halla
a) LM
b) L c) M
d) LM
2
T
e) LM
- En la siguiente ecuación dimensional, calcular
las dimensiones de b/ac
V = +
siendo : V = volumen;
t = tiempo;
h = altura
a) LT
b) T
3
c) T
d) T
e) L
2
[ ]
- Si P + αV
2
- βh/3 = k es dimensionalmente
correcta, halla [α/β].
donde: P = presión; V = velocidad; h = altura
a) L
T
b) L
2
T
2
c) LT
d) LT
e) L
T
2
BC
A
a
t
3
b + h
c
- ¿Cuál será la dimensión de «x» para que la
expresión sea dimensionalmente correcta?
x =
donde: w = trabajo; m = masa; h = altura.
a) L
2
b) M
2
c) MT
d) T
e) ML
2
w
m (b
2
2
- A partir de la fórmula mostrada determina
[x. y. z], de tal manera que la fórmula sea
dimensionalmente correcta:
y =
donde: w = velocidad angular; d = distancia;
A = área; V = velocidad.
a) L
4
T b) L
4
T
c) L
3
T
d) L
4
T
e) L
3
T
wx
2
A – z
2
5 to Secundaria
Análisis Vectorial
«Nada es estático, todo fluye».
Heráclito
Un coche que se mueve a lo largo de una carretera, viaja
siguiendo una trayectoria prefijada, pero existen algunos
movimientos en la naturaleza para los cuales el camino
o carretera no está fijado de antemano. Si conduces una
canoa en un lago, piloteas un avión o se te pide hallar el
movimiento de un satélite que se mueve en el cielo, estás
ante una nueva situación. No hay carreteras o caminos en
la superficie del lago o en el espacio. Te preguntarás, ¿qué se
puedeusar,ademásdenúmerosyunidades,paraorientarme?
la respuesta es: el vector, y las magnitudes físicas que lo
necesitan se llaman Magnitudes Vectoriales.
Si preguntamos por la longitud de un objeto nos
bastaría responder simplemente con un valor numérico y
su respectiva unidad. Así por ejemplo:
Pero si preguntamos a alguien donde está la comisaría
y nos responde que está a 9 cuadras de distancia,
probablemente seguiremos preguntando hasta que nos
aclaren la dirección a seguir (¿Hacia donde?). Por lo tanto
distinguiremos 2 tipos de magnitudes.
6 m
Unidad
Valor
Numérico
Es aquel tipo de magnitud que queda totalmente
representada con un número y su respectiva unidad.
MAGNITUD ESCALAR
Ejemplo :
Es aquel tipo de magnitud que posee dirección, por lo
tanto para representarla usamos vectores.
Es un elemento matemático que sirve para representar
las magnitudes de tipo vectorial.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
ELEMENTOS DE UN VECTOR
- Módulo : es el valor que representa al vector.
- Dirección : es la orientación que tiene el vector. Está
dado por el ángulo que hace el eje positivo con el vector
en sentido antihorario.
MAGNITUD VECTORIAL
VECTOR
V
θ
A
v
B
Módulo
Dirección
x
Línea de
Acción
y
Ejemplo :
5 to Secundaria
La resultante de dos fuerzas depende tanto de la
dirección de éstas, como de sus magnitudes.
- Se tienen dos vectores cuyo módulo es igual a 10 y
además el ángulo entre los 2 vectores es 53. Hallar el
valor de su resultante.
FUERZA ES UN VECTOR
Hombre
100 N
200 N
= Resultante
300 N
Caballo
200 N
Hombre
100 N
Resultante
100 N
Resolución:
- Encuentra la magnitud del vector A + B sabiendo que
|A| = 5 y
|B| = 8.
Observamos que los vectores A y B son perpendicualres
entre sí:
⇒ R = A + B
⇒|R| = A
2
+ B
2
⇒|R| = 5
2
2
⇒|R| = 89
Resolución:
y
x
A
B
B
A
- Elmódulodelaresultantededosvectoresperpendiculares
es 10 y cuando forman 120° es 2 3. Halla el módulo del
mayor de ellos.
Primer caso : Cuando son perpendiculares.
|A|
2
+ |B|
2
2
|A|
2
+ |B|
2
Resolución:
B
A
|R|=
R
⇒|R|= 10
2
2
⇒|R|= 100 + 100 +2. 100.
⇒|R|= 200 + 120
⇒|R|= 320
⇒|R|= 8 5
Segundo caso : Cuando forman 120°.
A
B
|R|=2 13
EJERCICIOS RESUELTOS
Física
Y tomando en consideración el producto notable:
(a + b)
2
= a
2
2
y colocando: a = |A| y b = |B|
⇒ (|A| + |B|)
2
⇒ |A|
2
+|B|
2
+ 2|A||B|
100 + 2 x 48
⇒ (|A| + |B|)
2
⇒ |A| + |B| = 14 ... (3)
De (1) , (2) y (3) tenemos que:
|A| = 8 y |B| = 6
- Determina el módulo de la resultante de los vectores
mostrados.
Descomponemos los vectores cuyo módulo es 4 3.
Resolución:
4 3 sen30°
4 3
4 3 cos30°
4 3 cos30°
4 3
4 3 sen30°
Y ahora hallando la resultante horizontal (R
x
) y la resultante
vertical (R
y
⇒ R
x
=20 – 4 3cos30°– 4 3 cos30°
⇒ R
x
⇒ R
x
- Dos vectores tienen sus módulos en la relación de 5 a
- La resultante de los dos forman 37° con el de menor
módulo. ¿Qué ángulo forman los vectores concurrentes?
Sean los vectores a y b y la relación entre sus módulo es:
Resolución:
a
b
a = 5k
b = 6k
Del gráfico, en el triángulo ABC.
tg 37°= =
⇒ 3(5 + 6cosφ) = 4(6senφ)
⇒ 5 + 6 cosφ = 8 senφ
⇒ 8 senφ – 6 cosφ = 5
6k sen φ
5k + 6k cosφ
A
37°
φ
5k=a
b=6k
6k
φ
6ksenφ
6kcosφ
B
C
6sen φ
5+ 6cosφ
6sen φ
5+ 6cosφ
Multiplicamos por ( )
⇒ senφ – cosφ =
⇒ cos37°. senφ – sen37°. cosφ =
sen(φ – 37°) =
⇒ sen ( φ – 37°) = sen30°
⇒ φ – 37° = 30° ⇒ φ = 67°
sen30°
|R|
2
=|A|
2
+|B|
2
+2|A||B|cos120°
2
= 100 + 2 |A||B| ( – )
52 = 100 – |A||B|
⇒ |A||B| = 48 ... (2)
⇒ R
y
= 4 3 sen 30° – 4 3 sen 30°
⇒ R
y
⇒ |R| = R
x
2
+ R
y
2
2
⇒ |R| = 8
Física
Rpta:
Rpta:
Halla el módulo de la resultante.
Resolución:
Determina los componentes del vector A
(|A|=10N).
Resolución:
y x
A
- Si |A| = 5; |B| = 18; |C|=12, hallar el mó-
dulo de la resultante sabiendo que es mínima.
- Determina la dirección del vector resultante del
conjunto de vectores mostrados en la figura.
20°
20°
A
C
B
α
- Halla el módulo del vector resultante de los
vectores mostrados.
- Si el vector resultante del conjunto de vectores
mostrados está en el eje Y, halla el ángulo θ.
y
x
θ
5 to Secundaria
- Determina el módulo del vector A mostrado si
el vector resultante forma 37° con el semieje
positivo de las «X».
- Determina el módulo de la resultante de los
vectores mostrados.
d
b
c
q
a
e f
d
f
b
e
c
g
h
8 u
A
7N
En los siguientes casos halla el vector resultante.
n
o
m
s
t
p
q
r
a) f b) 2a c) –a
d) –2a e) 0
a) –c b) e c) c
d) –e e) 2c
a) 2q b) –q c) t
d) 0 e) –2q
a) 30 u b) 8 u c) 5 μ
d) 20 u e) 10 u
5 to Secundaria
Características Físicas
del Movimiento Mecánico
ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO
a) Sistema de Referencia
Es un conjunto conformado por un observador, al cual
se le asocia un sistema de ejes coordenados y un sistema
temporal (reloj) que nos permite describir y analizar el
fenómeno del movimiento mecánico.
b) Móvil
Es aquel cuerpo o partícula que está en movimiento
mecánico.
Al observar el vuelo de un pájaro, una persona
caminando, un auto desplazándose o simplemente ver la
caída de las hojas de un árbol, nos damos cuenta que estamos
rodeados de movimiento y podríamos ir más allá, porque
sabemos del movimiento de la Tierra, de los planetas y aun
del mismo sol que en conjunto se mueven entorno al centro
de la galaxia(Vía Láctea). En un nivel microscópico tenemos
el movimiento molecular, el de los electrones alrededor
del núcleo. Éste y otros ejemplos más nos hacen notar la
importancia que tiene el fenómeno más fundamental y obvio
que observamos alrededor nuestro, el MOVIMIENTO.
El movimiento es una forma de existencia de la materia,
pero en estas clases estudiaremos una forma de movimiento:
«El Movimiento Mecánico»
Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo o
una partícula a través del tiempo respecto a un sistema de
referencia, el cual se considera fijo.
Para el futbolista,
la pelota se mueve
porque cambia
de posición con
respecto a él.
INTRODUCCIÓN
EL MOVIMIENTO MECÁNICO
c) Posición (r)
Es una magnitud vectorial que se encarga de ubicar al
móvil respecto al sistema de referencia en cada instante.
d) Trayectoria
Es la ruta que ha empleado el móvil. A la longitud de
la trayectoria se le denomina recorrido (s).
e) Desplazamiento( ∆ r)
Es aquella magnitud física vectorial que expresa el
cambio de posición que experimenta el móvil. Al módulo
del desplazamiento se le denomina distancia (d).
f ) Intervalo de tiempo (t)
Es el tiempo que se requiere para llevarse a cabo un
evento determinado.
- Velocidad (V)
Magnitud vectorial que nos expresa la rapidez con la
que cambia de posición una partícula en movimiento.
r
A
r
B
B
A
Trayectoria
r
s=recorrido
Observador
MEDIDAS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO
Física
- Rapidez Promedio (V
p
Es la relación que existe entre la longitud recorrida por
un móvil y el intervalo de tiempo empleado.
a) Por su trayectoria
- Rectilíneo
Circular
- Curvilíneo Parabólico
Elíptico
b) Por su rapidez
- Uniforme : Velocidad
constante
- Variado : Velocidad
variable
- Rapidez Instantánea
Es la rapidez que se tiene en cualquier instante.
- Velocidad Media(V
m
Es la relación que existe entre el vector desplazamiento
y el tiempo empleado en el cambio de posición.
V
m
∆r
t
V
p
s
t
CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO
UNIDAD DE MEDICIÓN
La velocidad en el S.I. se expresa en:
( )
metros
segundo
m
s
El movimiento es relativo
Un objeto puede estar moviéndose para un
observador pero no para otro observador. Si cerca
de nosotros pasa un automóvil, al ver que se aleja
diremos que se mueve, pero el piloto ve que el
autóvil siempre está junto a él, luego para el piloto
el automóvil estará en reposo relativo.
El automóvil se mueve con relación al observador
(O); pero, está en reposo con respecto al piloto (P).
Para convertir una velocidad de
km/h a m/s se utiliza:
km
h
m
s
Nota
60
kph
Se lee
km
h
Observación
Al módulo de la velocidad se le conoce como
«rapidez».
Importante
El velocímetro de un
auto nos da la rapidez
instantánea.
Física
Rpta:
Rpta:
Rpta:
Rpta:
3 Del gráfico, la esfera es lanzada en «A» y se
detiene en C. ¿Cuál es el recorrido realizado si
el trayecto es el que se muestra?
Resolución:
Una esfera se lanza de «A» llegando hasta el
punto D. ¿Cuánto fue su recorrido?
Resolución:
Del gráfico, se observa que el módulo del des-
plazamiento realizado es de 65m. ¿A qué altura
fue lanzado el objeto?
Resolución:
h
25m
20m
9m 16m
12m
A
B
C
D
C 24m
10m
B
20m
A
15m
Una esfera pequeña es soltada desde un avión
que vuela horizontal. Si el módulo del despla-
zamiento realizado es de 1300m, ¿a cuántos
metros de altura se encontraba el avión en el
momento de soltar la esfera?
Resolución:
500m
5 to Secundaria
Rpta:
Rpta:
Si la partícula describe el trayecto indicado, 6
determina el módulo del desplazamiento rea-
lizado.
Resolución:
60cm A
B
60cm
La esfera de billar es lanzada en A y se detiene
en D. ¿Cuál es el recorrido realizado si el tra-
yecto realizado es el que se muestra en la figura.
Resolución:
A D
C
32cm 72cm
30cm
24cm
40cm
B
- Una partícula recorre el arco AB cuyo radio
es de 10 m. Determina el módulo del despla-
zamiento.
B
A
- La posición de un móvil que viaja con movi-
miento rectilíneo viene dada por la ecuación:
X = (2t
2
Determina la magnitud de la velocidad media
desde t=2s hasta t=4s.
∧
- Una partícula se encuentra en la posición
r
0
= (3i + 4 j)m y luego de cierto tiempo se
encuentra en la posición r
f
= (–7i + 2j)m.
Determina el desplazamiento realizado.
∧ ∧
∧ ∧
- Una hormiga se desplaza sobre la mesa en la
que se han trazado los ejes X e Y. Inicialmente
está en A(–6; 5) m, llegando finalmente a
B(10; 17).
Determina el módulo del desplazamiento de la
hormiga.
- Durante un partido de vóley, la pelota es lanzada
de un extremo a otro, a lo largo de la cancha, cuya
longitud es de 30 m. Si ha vuelto 5 veces al punto
de partida, ¿cuánto fue su recorrido?
- En la ecuación paramétrica de una partícula
viene expresada por la ecuación:
X = (t
2
Halla el módulo de la velocidad media deste
t = 0s hasta t = 2s.
∧
