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EXAMEN ORDINARIO DE FÍSICA I. PROBLEMAS
1.- Un disco homogéneo de 2 kg y r=0,3 m lleva enrollada una cuerda en su periferia y está sostenida por la mano de una persona que acelera hacia arriba sin que se mueva el centro de masas del disco. Determinar: a) la tensión de la cuerda; b) la aceleración angular; c) la aceleración de la mano. A continuación dejamos caer el disco sin mover la mano; calcular: d) la aceleración del centro de masas; e) la aceleración angular de la cuerda; f) la tensión en la cuerda; g) la velocidad del centro de masas después de dar una vuelta completa. Momento de inercia de un disco respecto de un eje que
pasa por su centro: I= 1 2 mr^
a) Nos dicen que el centro de masas del disco permanece en reposo, de modo que su aceleración es nula y el disco tiene una rotación pura en torno a su centro. Hacemos el diagrama de sólido libre del disco y tenemos lo que aparece en la figura. Aplicamos la segunda ley de Newton: ΣFy =ma CMy ⇒ T-mg=0 ⇒ T=mg=2 · 9,8=19,6 N T=19,6 N b) Ahora aplicamos la ecuación de la rotación:
ΣM (^) CM =I (^) CMα ⇒ Tr=
mr^2 α ⇒ α=
2T
mr
=65,33 rad/s^2 α=65,33 rad/s^2 c) Para que el centro de masas no se desplace hacia abajo la aceleración de
la mano debe ser hacia arriba, y debe ser la misma que tendría el centro de masas si
la mano no se moviera. Si el cilindro simplemente se soltase, su centro de masas se
desplazaría hacia abajo con una aceleración que sería:
a CM=αr Por tanto, la mano deberá tener esa misma aceleración pero hacia arriba, de
modo que así la aceleración del centro de masas del disco sea nula:
a (^) mano=αr=65,33 · 0,3=19,6 m/s^2 a (^) mano=19,6 m/s^2 d) Ahora simplemente el disco se deja caer desenrollándose de la cuerda. Entonces, el centro de masas sí tiene aceleración, vertical y hacia abajo. Nos queda el diagrama como aparece en la figura, y aplicamos de nuevo la segunda ley de Newton, teniendo en cuenta que puesto que el cilindro rueda sin deslizar por la cuerda a CM =αr=0,3α. Tendremos: ΣFy =ma CMy ⇒ mg-T=m0,3α ⇒ 2 · 9,8-T=2 · 0,3α ⇒ 19,6-T=0,6α
ΣM (^) CM =I (^) CMα ⇒ Tr=
mr^2 α ⇒ T=
2·0,3α ⇒ T=0,3α
Tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas: 19,6-T=0,6α T=0,3α Sustituimos la segunda en la primera: 19,6-T=0,6α ⇒ 19,6-0,3α=0,6α ⇒ α=21,78 rad/s^2 a (^) CM=0,3α=0,3 · 21,78=6,53 m/s^2 a (^) CM=6,53 m/s^2
e) La aceleración angular ya la tenemos: α=21,78 rad/s^2 f) Y la tensión: T=0,3α=0,3 · 21,78=6,53 N T=6,53 N g) Cuando el sistema da una vuelta completa el centro de masas ha recorrido
una distancia y=2πr=2π · 0,3=1,885 m con movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado. Teniendo en cuenta que además parte del reposo tendremos:
y=y 0 +v 0 t+
a (^) CM t 2 ⇒ 0=1,885-
6,53t 2 ⇒ t=0,760 s
v VM=v 0 +a CMt=-6,53 · 0,760=-4,96 m/s El signo nos indica el sentido, hacia abajo. v (^) CM =4,96 m/s También podemos hacerlo por energías. Tenemos dos fuerzas, la tensión y el peso. La tensión no realiza trabajo, ya que está aplicada en el centro instantáneo de rotación, de modo que sólo el peso realiza trabajo:
W (^) mg =∆E (^) C ⇒ - ∆U=∆E (^) C ⇒ Uinicial -Ufinal =E (^) Cfinal -E (^) Cinicial ⇒ mg(h (^) inicial -h (^) final)=
mvCM^2 +
I (^) CMω^2 Y tenemos en cuenta que puesto que el cilindro rueda sin deslizar: v (^) CM =ωr ⇒ ω=
v (^) CM r mg(h (^) inicial -h (^) final)=
mvCM^2 +
I (^) CMω^2 ⇒ mg2πr=
mvCM^2 +
mr^2 �
v (^) CM r
2
9,8 · 2π0,3=
v (^) CM^2 +
v (^) CM^2 ⇒ v (^) CM =4,96 m/s Vemos que el resultado es el mismo.
2.- Una masa m 2 =20 g está situada sobre otra m 1 =18 g, la cual está sujeta a un resorte con k=10 N/m. El coeficiente de rozamiento estático entre las masas es 0,6. Las masas están oscilando sobre una superficie sin fricción. a) ¿Cuál es la amplitud máxima que puede tener la oscilación sin que m 2 deslice sobre m 1? b) En estas condiciones, el sistema se introduce en un medio viscoso que da lugar a una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad, siendo la constante de proporcionalidad de 1 Ns/m. Justificar el tipo de amortiguamiento que se produce; c) escribir la ecuación correspondiente suponiendo que se empieza a contar el tiempo (t=0) para la amplitud inicial máxima y velocidad nula; d) ¿qué tiempo tiene que transcurrir para que la amplitud se reduzca un 99,9%?
a) Si m 2 no desliza respecto de m 1 el sistema se comporta como un único bloque de masa m=m 1 +m 2 =18+20=38 g=0,038 kg unido a un resorte de constante k= N/m, de modo que efectuará un MAS de frecuencia angular:
ω 0 =� k m =�^
10 0,038 =16,222 rad/s Ahora queremos que el bloque 2 no deslice respecto del bloque 1. Si hacemos el diagrama de sólido libre del bloque 2 en cualquier momento tendremos lo que aparece en la figura. En todo momento la fuerza de rozamiento será igual al producto m 2 a=m 2 ẍ , donde evidentemente la aceleración es variable, ya que es la del
EXAMEN ORDINARIO DE FÍSICA I. CUESTIONES
1.- a) ¿Qué se entiende por movimiento circular uniforme? Deducir (explicar y describir detalladamente) cuáles son los vectores velocidad y aceleración (especificando módulo, dirección y sentido) de una partícula que describe un movimiento circular uniforme. b) Escribir las expresiones de la velocidad y de la aceleración absolutas de una partícula en términos de la velocidad y aceleración relativas, y explicar el significado físico de los distintos términos que aparecen.
a) Un movimiento circular y uniforme es una situación particular de movimiento curvilíneo en el que la trayectoria es un círculo (radio R=cte) y la variación del ángulo (θ) con respecto al tiempo (velocidad angular ω) es constante, de forma que la celeridad es constante. El movimiento por tanto es plano. El arco recorrido es s y así, la velocidad será:
s=arco=radio x ángulo=Rθ ⇒ v=
ds dt
d dt
(Rθ)=R
dθ dt =Rω La velocidad es siempre tangente a la trayectoria. Por tanto, la velocidad de la partícula es tangente a la circunferencia, como puede verse en la figura, y su sentido es el de avance del móvil. En cuanto a la aceleración, en principio en un movimiento curvilíneo tenemos dos componentes de aceleración, normal y tangencial. La tangencial nos da la variación del módulo de la velocidad en el tiempo; puesto que el módulo de la velocidad en el movimiento circular uniforme es constante, la aceleración tangencial será nula. Nos queda sólo la componente normal, cuyo módulo es:
a=a (^) n =
v 2 R
(ωR)^2 R =ω^2 R Y la dirección, como cualquier componente normal, tiene la dirección del radio de curvatura y apuntando hacia el centro de curvatura. Por tanto, en este caso, apuntando hacia el centro de la circunferencia. b) La velocidad absoluta de una partícula (P) viene dada por la expresión: v = vO’ +ω x r’ + vrel donde v rel es la velocidad medida en el sistema relativo, v O’ es la velocidad de traslación con la que se mueve el sistema móvil (con origen O’) y ω x r’ es el término debido al giro (con velocidad angular instantánea ω del sistema móvil o relativo ( r’ es el vector posición relativo O’P). Los términos v O’ y ω x r’ constituyen los términos de arrastre de traslación y rotación, respectivamente. La aceleración absoluta de una partícula es: a = a (^) O’ + α x r’ + ω x (ω x r’ ) +2ω x vrel + a (^) rel donde a rel es la aceleración relativa y a O’ es la aceleración de traslación del origen del sistema de referencia móvil. A toda la suma a O’ +α x r’ +ω x (ω x r’ ) se la denomina aceleración de arrastre. El término 2ω x v (^) rel es la denominada aceleración de Coriolis.
2.- ¿Qué se entiende por trabajo de una fuerza? ¿Qué se entiende por fuerzas conservativas y no conservativas? A partir de la expresión W= ∆ Ec deduzca el teorema de conservación de la energía.
Trabajo es la energía transferida a o desde un objeto, debido a la acción de una fuerza. El trabajo positivo es una transferencia de energía al objeto, y el trabajo negativo es una transferencia de energía desde el objeto. La expresión del trabajo de una fuerza entre los puntos A y B es:
W(A→B)= � F·dr
B
A
= � Ft ds
B
A Se habla de fuerzas conservativas cuando el trabajo efectuado sobre la partícula es independiente de la trayectoria seguida por esta y sólo depende de las posiciones inicial y final. En tales situaciones el trabajo se puede obtener a partir de una función escalar denominada energía potencial. Se habla de fuerzas no conservativas cuando el trabajo efectuado sobre la partícula depende de la trayectoria seguida por esta y no depende solamente de las posiciones inicial y final. En estas situaciones el trabajo no se puede obtener a partir de ninguna función escalar. Partimos ahora de la expresión: W=∆E C Si tenemos fuerzas conservativas y no conservativas podemos poner: W=W (^) c +W (^) nc =∆E (^) C En el caso de las fuerzas conservativas, en que el trabajo efectuado sobre la partícula es independiente de la trayectoria seguida por esta y sólo depende de las posiciones inicial y final, el trabajo se puede poner como la diferencia de una magnitud escalar U(r) evaluada en los puntos inicial y final. A esta magnitud se le denomina energía potencial (U): W c =U(r A )-U(r B )=-∆U Nos queda por tanto: W (^) c +W (^) nc =∆E (^) C ⇒ W (^) nc =∆E (^) c -W (^) c =∆E (^) c +∆U=∆(E (^) c +U)=∆E (^) Mecánica El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual al cambio de la energía mecánica del sistema. En cuanto a las fuerzas no conservativas, el trabajo se convierte muchas veces en energía térmica, otras se emplea en deformar el material o en realizar reacciones químicas. Podemos generalizar y decir que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas se transforma siempre en alguna otra forma de energía: ∆W (^) nc =-∆E (^) otra ⇒ W (^) nc =∆E (^) Mecánica =-∆E (^) otra ⇒ ∆E (^) Mecánica +∆E (^) otra =0 ⇒ ∆E (^) Total = La energía total se conserva. El principio de conservación de la energía nos dice por tanto que la energía puede ser transformada de una forma a otra, pero no puede ser creada ni destruida; la energía total se mantiene constante. Obviamente todo esto dentro del marco de la física clásica, ya que en el marco relativista es posible que la masa se transforme en energía y viceversa (equivalencia masa-energía).
3.- a) Definir el centro de masas de un sistema de partículas. Mostrar que el momento lineal del sistema de partículas es nulo si tomamos como referencia el centro de masas. b) Considérese la situación de choque completamente inelástico entre dos partículas A y B (masas mA y m B), estando la partícula B en reposo inicialmente. Obtener explícitamente la expresión de la pérdida de energía cinética debida al choque y determinar su valor numérico en el caso m A =m B.
a) Dado un sistema de partículas definimos la posición del centro de masas como:
r⃗ (^) CM =
Σm (^) i r⃗ (^) i Σm (^) i
m Σm (^) i ⃗r (^) i El movimiento general del sistema de partículas se suele poner como el movimiento del centro de masas (traslación) más el movimiento interno del sistema (movimiento de las partículas respecto al centro de masas, rotación en el caso de un sólido rígido). Se denomina Sistema Centro de Masas a un sistema de referencia con ejes que mantienen constante su dirección y cuyo origen coincide en todo momento con el centro de masas del sistema. Este sistema no tiene porque ser inercial.
El momento angular de un sistema de partículas va a ser la suma, a todas las partículas, de los momentos angulares individuales. Veamos entonces cuál es el momento angular de un sólido rígido que gira respecto de un cierto eje fijo. Consideremos en principio una única partícula que gira en torno a un eje. Como sabemos, se puede definir una velocidad angular ω que describa este giro y tendremos: L=r x mv=r x m(ω x r) ⇒ L=mr^2 ω Por tanto vemos que el momento angular L tiene la dirección y sentido de la velocidad angular ω. Vamos a extender un poco este razonamiento y consideremos ahora una placa con espesor despreciable, en la que evaluaremos L. En este caso, para una partícula de masa m i , que se encontrara a una distancia ri del eje de giro y que se moviese con velocidad vi tendríamos: Li =r (^) i x m (^) i v (^) i =r (^) i x m (^) i (ω x ri ) ⇒ Li =m (^) i r (^) i^2 ω Sumando para todas las partículas: L⃗ =ΣL⃗i =Σm (^) i r (^) i^2 ω��⃗ =�Σm (^) i r (^) i^2 �ω��⃗ =Iω��⃗ donde hemos tenido en cuenta que la velocidad angular ω es la misma para todas las partículas. Se define así una nueva magnitud física, el momento de inercia I con respecto a un cierto eje de rotación: I=Σm (^) i r (^) i^2 Por la definición de momento de inercia podemos decir que es una magnitud escalar que depende de la distribución de masa y del eje de rotación. Juega un papel en rotación análogo al que juega la masa en el movimiento de traslación. Su unidad en el Sistema Internacional es el kgm 2 , y para su cálculo en un cuerpo extenso podemos tener en cuenta la definición de densidad y ponerlo como:
I= � r^2 dm = � r 2 ρdV
siendo dV el elemento de volumen diferencial �ρ= dm dV �.
5.- a) Para una partícula oscilando, ¿qué tres tipos de amortiguamiento se pueden producir? Describir físicamente en qué consisten. b) ¿Qué se entiende por onda? Explicar el concepto de frente de ondas y qué se entiende por ondas planas, cilíndricas y esféricas.
a) En el movimiento amortiguado tenemos que resolver la ecuación diferencial: mẍ +γẋ +kx=0 ⇒ ẍ +2βẋ +ω 02 x= La solución de esta ecuación diferencial depende del valor de β(γ) frente a ω 0 , y tenemos tres casos:
- β<ω 0 ⇒ amortiguamiento débil
- β=ω 0 ⇒ amortiguamiento crítico
- β>ω 0 ⇒ amortiguamiento supercrítico Vamos a ver en qué consiste cada uno de ellos. En el amortiguamiento débil (β<ω 0 ) la solución de la ecuación diferencial es: x=A 0 e - βtsen(ω’t+ϕ)
siendo ω'^ =�ω 02 - β^2. En este caso la amplitud no es constante (por tanto no es un movimiento armónico simple) sino que decrece exponencialmente con el
tiempo. El movimiento no es estrictamente periódico, aunque se puede considerar
T= 2 π ω'. Matemáticamente la amplitud se hace cero en el infinito, pero en la realidad se observa que el sistema llega a perder toda la energía y se para. En el amortiguamiento crítico (β=ω 0 )
podemos ver que ω'^ =�ω 02 - β^2 =0 y no está definida la frecuencia. De hecho, la solución no es oscilatoria, sino que es: x(t)=(A 0 +A 1 t)e - βt donde A 0 y A 1 son dos constantes que dependen de las condiciones iniciales. El sistema efectúa una única oscilación y vuelve lentamente a la posición de equilibrio, por lo que son sistemas de especial interés en el diseño de mecanismos destinados a evitar vibraciones, como los amortiguadores de los coches. En el amortiguamiento supercrítico o sobreamortiguado (β>ω 0 ) tendremos que la frecuencia
ω'^ =�ω 02 - β^2 es imaginaria, y la solución no viene dada por funciones sinusoidales sino por funciones hiperbólicas que son en esencia exponenciales. El sistema en este caso no efectúa ninguna oscilación y al separarlo de la posición de equilibrio simplemente retorna a ella lentamente. La solución de la ecuación en este caso es: x(t)=A 1 e - ω^1 t^ +A 2 e - ω^2 t siendo A 1 y A 2 constantes de integración que dependen de las condiciones iniciales, y:
ω 1 =β+�β^2 - ω 02
ω 2 =β-�β^2 - ω 02 b) Se entiende por onda a la propagación de una perturbación de alguna propiedad de un medio, por ejemplo densidad, presión, campo eléctrico o campo magnético, a través de dicho medio, implicando un transporte de energía sin transporte de materia. El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa, como aire, agua, un trozo de metal, e incluso inmaterial como el vacío. Una noción importante en el concepto de ondas es el denominado frente de ondas, entendiéndose por tal todos los puntos del medio material que tienen el mismo estado de deformación en un instante dado.
Si el frente de ondas viene dado por planos perpendiculares a un eje, a esta onda la denominamos onda plana. Los frentes de ondas son planos de sección S constante.
En el caso de ondas cilíndricas los frentes de onda son cilindros coaxiales paralelos a una línea dada. La onda se propaga en todas las direcciones perpendiculares a dicha línea. Este tipo de ondas se generaría en un medio isótropo y homogéneo que contuviera muchas fuentes colocadas en una cierta línea.
Por último, en las ondas esféricas los frentes de onda son esferas concéntricas. La onda se propaga en todas las direcciones del espacio. Este tipo de onda se generaría en un medio isótropo y homogéneo cuando hay una perturbación puntual.
