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Problemas de Selectividad de

Matem´aticas II

Comunidad de Madrid

Por examen y resueltos

Prof: Isaac Musat Herv´as

´ultima actualizaci´on:

24 de noviembre de 2025

• 1. A˜no Indice general
  • 0.1. Modelo 2000 - Opci´on A
  • 0.2. Modelo 2000 - Opci´on B
  • 0.3. Junio 2000 - Opci´on A
  • 0.4. Junio 2000 - Opci´on B
  • 0.5. Septiembre 2000 - Opci´on A
  • 0.6. Septiembre 2000 - Opci´on B
• 1. A˜no
  • 1.1. Modelo 2001 - Opci´on A
  • 1.2. Modelo 2001 - Opci´on B
  • 1.3. Junio 2001 - Opci´on A
  • 1.4. Junio 2001 - Opci´on B
  • 1.5. Septiembre 2001 - Opci´on A
  • 1.6. Septiembre 2001 - Opci´on B
• 1. A˜no
  • 2.1. Modelo 2002 - Opci´on A
  • 2.2. Modelo 2002 - Opci´on B
  • 2.3. Junio 2002 - Opci´on A
  • 2.4. Junio 2002 - Opci´on B
  • 2.5. Septiembre 2002 - Opci´on A
  • 2.6. Septiembre 2002 - Opci´on B
• 1. A˜no
  • 3.1. Modelo 2003 - Opci´on A
  • 3.2. Modelo 2003 - Opci´on B
  • 3.3. Junio 2003 - Opci´on A
  • 3.4. Junio 2003 - Opci´on B
  • 3.5. Septiembre 2003 - Opci´on A
  • 3.6. Septiembre 2003 - Opci´on B
• 1. A˜no
  • 4.1. Modelo 2004 - Opci´on A
  • 4.2. Modelo 2004 - Opci´on B
  • 4.3. Junio 2004 - Opci´on A
  • 4.4. Junio 2004 - Opci´on B
  • 4.5. Septiembre 2004 - Opci´on A
  • 4.6. Septiembre 2004 - Opci´on B
• 1. A˜no
  • 5.1. Modelo 2005 - Opci´on A
  • 5.2. Modelo 2005 - Opci´on B
  • 5.3. Junio 2005 - Opci´on A
  • 5.4. Junio 2005 - Opci´on B
  • 5.5. Septiembre 2005 - Opci´on A
  • 5.6. Septiembre 2005 - Opci´on B
• 1. A˜no
  • 6.1. Modelo 2006 - Opci´on A
  • 6.2. Modelo 2006 - Opci´on B
  • 6.3. Junio 2006 - Opci´on A
  • 6.4. Junio 2006 - Opci´on B
  • 6.5. Septiembre 2006 - Opci´on A
  • 6.6. Septiembre 2006 - Opci´on B
• 1. A˜no
  • 7.1. Modelo 2007 - Opci´on A
  • 7.2. Modelo 2007 - Opci´on B
  • 7.3. Junio 2007 - Opci´on A
  • 7.4. Junio 2007 - Opci´on B
  • 7.5. Septiembre 2007 - Opci´on A
  • 7.6. Septiembre 2007 - Opci´on B
• 1. A˜no
  • 8.1. Modelo 2008 - Opci´on A
  • 8.2. Modelo 2008 - Opci´on B
  • 8.3. Junio 2008 - Opci´on A
  • 8.4. Junio 2008 - Opci´on B
  • 8.5. Septiembre 2008 - Opci´on A
  • 8.6. Septiembre 2008 - Opci´on B
• 1. A˜no
  • 9.1. Modelo 2009 - Opci´on A
  • 9.2. Modelo 2009 - Opci´on B
  • 9.3. Junio 2009 - Opci´on A
  • 9.4. Junio 2009 - Opci´on B
  • 9.5. Septiembre 2009 - Opci´on A
  • 9.6. Septiembre 2009 - Opci´on B
  • 9.7. Septiembre 2009 - Opci´on A (Reserva)
  • 9.8. Septiembre 2009 - Opci´on B (Reserva)
• 10.A˜no
  • 10.1. Modelo 2010 - Opci´on A
  • 10.2. Modelo 2010 - Opci´on B
  • 10.3. General-Junio 2010 - Opci´on A
  • 10.4. General-Junio 2010 - Opci´on B
  • 10.5. Espec´ıfica-Junio 2010 - Opci´on A
  • 10.6. Espec´ıfica-Junio 2010 - Opci´on B
  • 10.7. General-Septiembre 2010 - Opci´on A
  • 10.8. General-Septiembre 2010 - Opci´on B
  • 10.9. Espec´ıfica-Septiembre 2010 - Opci´on A
  • 10.10.Espec´ıfica-Septiembre 2010 - Opci´on B
• 11.A˜no
  • 11.1. Modelo 2011 - Opci´on A
  • 11.2. Modelo 2011 - Opci´on B
  • 11.3. Junio 2011 - Opci´on A
  • 11.4. Junio 2011 - Opci´on B
  • 11.5. Septiembre 2011 - Opci´on A
  • 11.6. Septiembre 2011 - Opci´on B
• 12.A˜no
  • 12.1. Modelo 2012 - Opci´on A
  • 12.2. Modelo 2012 - Opci´on B
  • 12.3. Junio 2012 - Opci´on A
  • 12.4. Junio 2012 - Opci´on B
  • 12.5. Junio 2012 (coincidente)- Opci´on A
  • 12.6. Junio 2012 (coincidente)- Opci´on B
  • 12.7. Septiembre 2012 - Opci´on A
  • 12.8. Septiembre 2012 - Opci´on B
• 13.A˜no
  • 13.1. Modelo 2013 - Opci´on A
  • 13.2. Modelo 2013 - Opci´on B
  • 13.3. Junio 2013 - Opci´on A
  • 13.4. Junio 2013 - Opci´on B
  • 13.5. Junio 2013 (coincidente)- Opci´on A
  • 13.6. Junio 2013 (coincidente)- Opci´on B
  • 13.7. Septiembre 2013 - Opci´on A
  • 13.8. Septiembre 2013 - Opci´on B
  • 13.9. Septiembre (coincidente)2013 - Opci´on A
  • 13.10.Septiembre (coincidente)2013 - Opci´on B
• 14.A˜no
  • 14.1. Modelo 2014 - Opci´on A
  • 14.2. Modelo 2014 - Opci´on B
  • 14.3. Junio 2014 - Opci´on A
  • 14.4. Junio 2014 - Opci´on B
  • 14.5. Junio 2014 (coincidente)- Opci´on A
  • 14.6. Junio 2014 (coincidente)- Opci´on B
  • 14.7. Septiembre 2014 - Opci´on A
  • 14.8. Septiembre 2014 - Opci´on B
• 15.A˜no
  • 15.1. Modelo 2015 - Opci´on A
  • 15.2. Modelo 2015 - Opci´on B
  • 15.3. Junio 2015 - Opci´on A
  • 15.4. Junio 2015 - Opci´on B
  • 15.5. Junio 2015 (coincidente)- Opci´on A
  • 15.6. Junio 2015 (coincidente)- Opci´on B
  • 15.7. Septiembre 2015 - Opci´on A
  • 15.8. Septiembre 2015 - Opci´on B
  • 15.9. Septiembre 2015 (coincidente)- Opci´on A
  • 15.10.Septiembre 2015 (coincidente)- Opci´on B
• 16.A˜no
  • 16.1. Modelo 2016 - Opci´on A
  • 16.2. Modelo 2016 - Opci´on B
  • 16.3. Junio 2016 - Opci´on A
  • 16.4. Junio 2016 - Opci´on B
  • 16.5. Junio 2016 (coincidente) - Opci´on A
  • 16.6. Junio 2016 (coincidente) - Opci´on B
  • 16.7. Septiembre 2016 - Opci´on A
  • 16.8. Septiembre 2016 - Opci´on B
• 17.A˜no
  • 17.1. Modelo 2017 - Opci´on A
  • 17.2. Modelo 2017 - Opci´on B
  • 17.3. Junio 2017 - Opci´on A
  • 17.4. Junio 2017 - Opci´on B
  • 17.5. Junio 2017 (coincidente) - Opci´on A
  • 17.6. Junio 2017 (coincidente) - Opci´on B
  • 17.7. Septiembre 2017 - Opci´on A
  • 17.8. Septiembre 2017 - Opci´on B
  • 17.9. Septiembre 2017 (coincidente) - Opci´on A
  • 17.10.Septiembre 2017 (coincidente) - Opci´on B
• 18.A˜no
  • 18.1. Modelo 2018 - Opci´on A
  • 18.2. Modelo 2018 - Opci´on B
  • 18.3. Junio 2018 - Opci´on A
  • 18.4. Junio 2018 - Opci´on B
  • 18.5. Junio 2018 (coincidente)- Opci´on A
  • 18.6. Junio 2018 (coincidente)- Opci´on B
  • 18.7. Julio 2018 (extraordinaria)- Opci´on A
  • 18.8. Julio 2018 (extraordinaria)- Opci´on B
• 19.A˜no
  • 19.1. Modelo 2019 - Opci´on A
  • 19.2. Modelo 2019 - Opci´on B
  • 19.3. Junio 2019 - Opci´on A
  • 19.4. Junio 2019 - Opci´on B
  • 19.5. Junio 2019 (coincidente)- Opci´on A
  • 19.6. Junio 2019 (coincidente)- Opci´on B www.musat.net”
  • 19.7. Junio 2019 (Valencia)- Opci´on A
  • 19.8. Junio 2019 (Valencia)- Opci´on B
  • 19.9. Julio 2019 (extraordinaria)- Opci´on A
  • 19.10.Julio 2019 (extraordinaria)- Opci´on B
• 20.A˜no
  • 20.1. Modelo 2020 - Opci´on A
  • 20.2. Modelo 2020 - Opci´on B
  • 20.3. Julio 2020 - Opci´on A
  • 20.4. Julio 2020 - Opci´on B
  • 20.5. Julio 2020 (coincidente) - Opci´on A
  • 20.6. Julio 2020 (coincidente) - Opci´on B
  • 20.7. Septiembre 2020 - Opci´on A
  • 20.8. Septiembre 2020 - Opci´on B
• 21.A˜no
  • 21.1. Modelo 2021 - Opci´on A
  • 21.2. Modelo 2021 - Opci´on B
  • 21.3. Junio 2021 - Opci´on A
  • 21.4. Junio 2021 - Opci´on B
  • 21.5. Junio 2021 (coincidente) - Opci´on A
  • 21.6. Junio 2021 (coincidente) - Opci´on B
  • 21.7. Julio 2021 - Opci´on A
  • 21.8. Julio 2021 - Opci´on B
• 22.A˜no
  • 22.1. Modelo 2022 - Opci´on A
  • 22.2. Modelo 2022 - Opci´on B
  • 22.3. Ordinaria 2022 - Opci´on A
  • 22.4. Ordinaria 2022 - Opci´on B
  • 22.5. Ordinaria 2022 (Coincidente) - Opci´on A
  • 22.6. Ordinaria 2022 (Coincidente) - Opci´on B
  • 22.7. Extraordinaria 2022 - Opci´on A
  • 22.8. Extraordinaria 2022 - Opci´on B
  • 22.9. Extraordinaria 2022 (Coincidente) - Opci´on A
  • 22.10.Extraordinaria 2022 (Coincidente) - Opci´on B
• 23.A˜no
  • 23.1. Modelo 2023 - Opci´on A
  • 23.2. Modelo 2023 - Opci´on B
  • 23.3. Ordinaria 2023 - Opci´on A
  • 23.4. Ordinaria 2023 - Opci´on B
  • 23.5. Ordinaria-Coincidente 2023 - Opci´on A
  • 23.6. Ordinaria-Coincidente 2023 - Opci´on B
  • 23.7. Extraordinaria 2023 - Opci´on A
  • 23.8. Extraordinaria 2023 - Opci´on B
  • 23.9. Extraordinaria-Coincidente 2023 - Opci´on A
  • 23.10.Extraordinaria-Coincidente 2023 - Opci´on B
• 24.A˜no
  • 24.1. Modelo 2024 - Opci´on A
  • 24.2. Modelo 2024 - Opci´on B
  • 24.3. Ordinaria 2024 - Opci´on A
  • 24.4. Ordinaria 2024 - Opci´on B
  • 24.5. Ordinaria-coincidente 2024 - Opci´on A
  • 24.6. Ordinaria-coincidente 2024 - Opci´on B
  • 24.7. Extraordinaria 2024 - Opci´on A
  • 24.8. Extraordinaria 2024 - Opci´on B
  • 24.9. Extraordinaria-coincidente 2024 - Opci´on A
  • 24.10.Extraordinaria-coincidente 2024 - Opci´on B
• 25.A˜no
  • 25.1. Modelo
  • 25.2. Ordinaria
  • 25.3. Ordinaria-Coincidente
  • 25.4. Extraordinaria
  • 25.5. Extraordinaria-coincidente
• 26.A˜no
  • 26.1. Modelo

Cap´ıtulo 0

A˜no 2000

0.1. Modelo 2000 - Opci´on A

Problema 0.1.1 (2 puntos) Dados los vectores −→u = (a, 1 + a, 2 a), −→v = (a, 1 , a) y −→w = (1, a, 1), se pide:

a) (1 punto) Determinar los valores de a para que los vectores −→u , −→v y −→w sean linealmente dependientes.

b) (0,5 puntos) Estudiar si el vector −→c = (3, 3 , 0) depende linealmente de los vectores −→u , −→v y −→w para el caso a = 2. Justificar la respuesta.

c) (0,5 puntos) Justificar razonadamente si para a = 0 se cumple la igualdad −→u · (−→v ∧ −→w ) = 0

Nota: el s´ımbolo ∧ significa producto vectorial.

Soluci´on:

a) (^) ∣ ∣ ∣∣ ∣ ∣

a 1 + a 2 a a 1 a 1 a 1

= a(a^2 − 1)0 =⇒ a = 0, a = ± 1

Si a 6 = 0 y a 6 = ±1 =⇒ −→u , −→v y −→w son Linealmente Independientes.

Si a = 0 o a = ±1 =⇒ −→u , −→v y −→w son Linealmente Dependientes.

b) si a = 2, los tres vectores son linealmente independientes y, por tanto, forman una base. Luego el vector −→c = (3, 3 , 0) es combinaci´on lineal de −→u , −→v y −→w. Veamos de que combinaci´on lineal se trata, tenemos: (^)   

−→u = (2, 3 , 4) −→v = (2, 1 , 2) −→w = (1, 2 , 1)

(3, 3 , 0) = a(2, 3 , 4) + b(2, 1 , 2) + c(1, 2 , 1) =⇒

d(P, A) = |

AP | =

(x − 4)^2 + y^2

d(P, r) =

|x − 1 | 1

=⇒ (x − 4)^2 + y^2 = 4(x − 1)^2 =⇒

x^2 4

y^2 12

b) Se trata de una hip´erbola a^2 = 4 y b^2 = 12, como c^2 = a^2 + b^2 = 16 =⇒ c = 4. Los focos ser´ıan los puntos F ′(− 4 , 0) y F (4, 0).

Problema 0.1.3 (3 puntos) Sea

f (x) =

sin x x

• 2 si x 6 = 0

k si x = 0 a) (1 punto) ¿Hay alg´un valor de k para el cual f (x) sea continua en x = 0? b) (1 punto) ¿Hay alg´un valor de k para el cual f (x) sea derivable en x = 0?

c) (1 punto) Determinar sus as´ıntotas.

Soluci´on:

a) l´ım x−→ 0

Å

sin x x

ã = l´ım x−→ 0

sin x + 2x x

ï 0 0

ò = l´ım x−→ 0

cos x + 2 1

Para que f sea continua en x = 0 =⇒ k = 3 b) Para que f sea derivable en x = 0 primero debe de ser continua, luego k = 3. Ahora se estudia si es derivable con este valor:

f ′(0) = l´ım h−→ 0

f (0 + h) − f (0) h

= l´ım h−→ 0

sin h h + 2^ −^3 h

= l´ım h−→ 0

sin h − h h^2

ï 0 0

ò = l´ım h−→ 0

cos h − 1 2 h

ï 0 0

ò = l´ım h−→ 0

− sin h 2

En conclusi´on, para que una funci´on sea derivable antes tiene que ser continua y por tanto k = 3. Y en este caso tambi´en se cumple f ′(0−) = f ′(0+) y es derivable.

c) As´ıntotas:

• Verticales no hay, la ´unica posible ser´ıa en x = 0 y en ese punto hay una discontinuidad evitable si k 6 = 3 y continua si k = 3.
• Horizontales l´ım x−→∞

Å

sin x x

ã = 2 =⇒ y = 2

• Oblicuas no hay por haber horizontales

Problema 0.1.4 (3 puntos) Sea el sistema

  

−x+ λy+ 2 z = λ 2 x+ λy− z = 2 λx− y+ 2 z = λ

a) (1 punto) Discutir la compatibilidad del sistema seg´un los diversos valores de λ.

b) (1 punto) Resolver el sistema para λ = −1.

c) (1 punto) Resolver el sistema para λ = 2.

Soluci´on:

a)

A =

Ñ

− 1 λ 2 λ 2 λ − 1 2 λ − 1 2 λ

é

, |A| = − 3 λ^2 − 6 λ − 3 = 0 =⇒ λ = − 1

• Si λ 6 = −1 =⇒ |A| 6 = 0 =⇒Rango(A) = 3 =Rango(A) =nº de inc´ognitas =⇒ Sistema Compatible Determinado. (Soluci´on ´unica)
• Si λ = −1:

A =

Ñ

é

Como tiene dos filas iguales y el menor

∣∣ −^1 −^1

∣∣ = 3 6 = 0 tenemos que Rango(A) =

2 =Rango(A) Calculamos la abscisa del punto de corte de ambas gr´aficas en funci´on del par´ametro a:

x^2 = a =⇒ x = ±

a

Elegimos la soluci´on positiva porque as´ı nos lo indica el enunciado del problema. Tenemos, por tanto, que cuando x =

a ambas curvas se cortan (x 0 , y 0 ) = (

a, a) y la posici´on de las curvas cambia, de manera que, la que estaba por encima pasar´a a estar debajo. Es decir,

∫ √a

0

(a − x^2 ) dx =

√a^ (x

(^2) − a) dx =⇒

ax −

x^3 3

ò√a

0

x^3 3

− ax

ò√a

0

=⇒ a =

Problema 0.2.3 (3 puntos)

a) (1 punto) Encontrar la distancia del punto P (1, − 1 , 3) a la recta que pasa por los puntos Q(1, 2 , 1) y R(1, 0 , −1).

b) (1 punto) Hallar el ´area del tri´angulo cuyos v´ertices son los puntos P , Q y R.

c) (1 punto) Encontrar todos los puntos S del plano determinado por P , Q y R de manera que el cuadril´atero de v´ertices P , Q, R y S sea un paralelogramo.

Soluci´on:

a) Calculamos la ecuaci´on de la recta r que pasa por Q y R: ® (^) −−→ QR = (0, − 2 , −2) Q(1, 2 , 1)

x = 1 y = 2 − 2 λ z = 1 − 2 λ

QP ×

QR| = |

i

j

k 0 − 2 − 2 0 − 3 2

∣∣ |^ =^ |(−^10 ,^0 ,^ 0)|^ = 10

d(P, r) =

QP ×

QR|

QR|

u

b) Tenemos ® (^) −−→ QP = (0, − 3 , 2) −−→ QR = (0, − 2 , −2)

S =

QP ×

QR| = 5 u^2

c) El plano π que contiene a los puntos P , Q y R es el siguiente

π :

0 0 x − 1 − 3 − 2 y 2 − 2 z + 1

∣∣ = 10(x^ −^ 1) = 0 =⇒^ π^ :^ x^ −^ 1 = 0

Sean P , Q y R v´ertices consecutivos, entonces S = P +

QR = (1, − 1 , 3) + (0, − 2 , −2) =

Sean P , R y Q v´ertices consecutivos, entonces S = P +

RQ = (1, − 1 , 3) + (0, 2 , 2) =

Sean Q, P y R v´ertices consecutivos, entonces S = Q +

P R = (1, 2 , 1) + (0, 1 , −4) =

Sean Q, R y P v´ertices consecutivos, entonces S = Q +

RP = (1, 2 , 1) + (0, − 1 , 4) =

Sean R, P y Q v´ertices consecutivos, entonces S = R +

P Q = (1, 0 , −1) + (0, 3 , −2) =

Sean R, Q y P v´ertices consecutivos, entonces S = R +

QP = (1, 0 , −1) + (0, − 3 , 2) =

Los puntos S son (1, − 3 , 1), (1, 1 , 5) y (1, 3 , −3). Todos ellos est´an contenidos en el plano π

Problema 0.2.4 (3 puntos)

a) (1 punto) Encontrar los valores de λ para los que la matriz

A =

Ñ

λ − 1 1 − 1 0 λ − 2 1 λ 0 2

é

es invertible.

b) (1 punto) Para λ = 2, hallar la inversa de A y comprobar el resultado.

c) (1 punto) Resolver el sistema

A

Ñ

x y z

é

=

Ñ

é

para λ = 1

Soluci´on:

Problema 0.3.2 (2 puntos)

a) Determinar el centro y el radio de la esfera:

x^2 + y^2 + z^2 − 2 x + 4y + 8z − 4 = 0

b) Determinar el centro y el radio de la circunferencia intersecci´on de la esfera del apartado anterior con el plano z = 0.

Soluci´on:

a) (^)     

− 2 a = − 2 − 2 b = 4 − 2 c = 8 a^2 + b^2 + c^2 − r^2 = − 4

a = 1 b = − 2 c = − 4 r = 5 Esfera de centro (1, − 2 , −4) y radio r = 5.

b) Al cortar la esfera con el plano z = 0 nos queda la circunferencia:

x^2 + y^2 − 2 x + 4y − 4 = 0   

− 2 a = − 2 − 2 b = 4 a^2 + b^2 − r^2 = − 4

a = 1 b = − 2 r = 3 Circunferencia de centro (1, − 2 , 0) y radio r = 3.

Problema 0.3.3 (3 puntos) Para una matriz cuadrada, se define su traza como la suma de los elementos de la diagonal principal. En lo que sigue, A y B son matrices cuadradas 2 × 2.

a) (0,5 puntos) Comprobar que se verifica:

T raza(A + B) = T raza(A) + T raza(B)

b) (1 punto) Comprobar que T raza(A · B) = T raza(B · A)

c) (1 punto) Utilizando los resultados anteriores, demostrar que es imposible tener AB−BA = I, donde I denota la matriz identidad.

d) (0,5 puntos) Encontrar dos matrices A y B para las que:

T raza(AB) 6 = T raza(A) · T raza(B)

Soluci´on:

a) Sean A =

Å

a 1 a 2 a 3 a 4

ã , A =

Å

b 1 b 2 b 3 b 4

ã

T raza(A) = a 1 + a 4 , T raza(B) = b 1 + b 4 T raza(A) + T raza(B) = a 1 + b 1 + a 4 + b 4

A + B =

Å

a 1 a 2 a 3 a 4

ã

Å

b 1 b 2 b 3 b 4

ã

Å

a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 a 4 + b 4

ã

=⇒ T raza(A + B) = a 1 + b 1 + a 4 + b 4 Luego: T raza(A + B) = T raza(A) + T raza(B) b) A · B =

Å

a 1 a 2 a 3 a 4

ã ·

Å

b 1 b 2 b 3 b 4

ã

Å

a 1 b 1 + a 2 b 3 a 1 b 2 + a 2 b 4 a 3 b 1 + a 4 b 3 a 3 b 2 + a 4 b 4

ã

B · A =

Å

b 1 b 2 b 3 b 4

ã ·

Å

a 1 a 2 a 3 a 4

ã

Å

a 1 b 1 + a 3 b 2 a 2 b 1 + a 4 b 2 a 1 b 3 + a 3 b 4 a 2 b 3 + a 4 b 4

ã

ß T raza(AB) = a 1 b 1 + a 2 b 3 + a 3 b 2 + a 4 b 4 T raza(BA) = a 1 b 1 + a 3 b 2 + a 2 b 3 + a 4 b 4 =⇒ T raza(AB) = T raza(BA)

c) Suponemos que la igualdad es cierta, es decir: AB − BA = I =⇒ AB = BA + I =⇒ T raza(AB) = T raza(BA + I) =⇒ T raza(AB) = T raza(BA) + T raza(I), como T raza(AB) = T raza(BA) =⇒ 0 = 2 Luego esta igualdad es falsa.

d) Sea A una matriz cualquiera y B = I

A =

Å

ã , B =

Å

ã

A · B = A =⇒ T raza(A · B) = T raza(A) = 4, T raza(B) = 2 T raza(A) · T raza(B) = 4 · 2 = 8 Luego T raza(A · B) 6 = T raza(A) · T raza(B)

Problema 0.3.4 (3 puntos) Sea f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d un polinomio que cumple f (1) = 0, f ′(0) = 2, y tiene dos extremos relativos para x = 1 y x = 2.

a) (2 puntos) Determinar a, b, c y d.

b) (1 punto) ¿Son m´aximos o m´ınimos los extremos relativos?

Soluci´on:

a) f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, f ′(x) = 3ax^2 + 2bx + c     

f (1) = 0 =⇒ a + b + c + d = 0 f ′(1) = 0 =⇒ 3 a + 2b + c = 0 f ′(2) = 0 =⇒ 12 a + 4b + c = 0 f ′(0) = 2 =⇒ c = 2

a = 1/ 3 b = − 3 / 2 c = 2 d = − 5 / 6 La funci´on ser´a: f (x) =

x^3 −

x^2 + 2x −

b) Calculamos la segunda derivada

f ′′(x) = 2x − 3 =⇒

ß f ′′(1) = − 3 < 0 =⇒ M´aximo f ′′(2) = 1 > 0 =⇒ M´inimo

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