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Tema 10.- Movimiento ondulatorio
10.1.- Ecuación de ondas
11.2.- Ondas armónicas
10.3.- Ondas en tres dimensiones
Cuestiones y problemas
En Física clásica se reconocen dos formas totalmente distintas de transmitir energía y
momento lineal: el movimiento de partículas (estudiado en el bloque de Mecánica) y el
movimiento ondulatorio. En el primero, además de energía y momento, se produce un
movimiento de materia (masa). En el movimiento ondulatorio, la energía y el momento
se transfieren de un lugar a otro sin que haya un transporte de materia. En muchas
clases de ondas se produce una perturbación en un medio material que se propaga en
dicho medio.
Por ejemplo, en la fig. 10.1a tenemos una
onda en un muelle elástico, donde la
perturbación que se propaga es la altura que
alcanza cada segmento del muelle respecto la
posición horizontal (medio sin perturbar).
Aquí, la perturbación se desplaza de
izquierda a derecha, pero el movimiento de
las partes del muelle lo hacen de arriba abajo.
Es una onda transversal : el movimiento de
las partículas es perpendicular a la dirección
de propagación de la onda.
En la figura 10.1b la perturbación que se propaga es la compresión de las espiras del
muelle, y se trata de una onda longitudinal : el movimiento de las partículas es en la
misma dirección de propagación de la onda. Estos dos ejemplos, donde se necesita un
medio material para que la onda se propague, son ondas mecánicas. El movimiento se
transfiere por la interacción de cada parte del material con las partes adyacentes. Esta
interacción se da mediante fuerzas elásticas, con lo que las ondas mecánicas también se
llaman elásticas.
Además de los dos ejemplos anteriores, también
son ondas mecánicas las que se propagan en una
cuerda, en la superficie de un líquido, las ondas
sonoras (longitudinales; el medio se comprime y
expande alternativamente en la dirección de
propagación de la onda, variando la presión; fig.
10.2), las ondas sísmicas (longitudinales en
líquidos y gases, longitudinales y transversales en
sólidos), etc.
Por otra parte, existen ondas que no necesitan un medio material para propagarse: son
las ondas electromagnéticas (luz, microondas, ondas de radio y TV, etc.). En ellas, la
perturbación que se propaga son campos eléctricos y magnéticos, perpendiculares a la
dirección de propagación (ondas transversales). Independientemente del tipo de onda,
Fig. 1 0 .2.- Ondas sonoras (o de presión). Las partículas del medio vibran a lo largo del eje x, produciendo zonas donde la presión del medio aumenta y disminuye alternativamente.
Dirección de propagación de la onda
Movimiento de las partículas
Dirección de propagación de la onda
Movimiento de las partículas
(a)
(b)
Fig. 1 0 .1.- Ondas en un muelle elástico. (a) ondas transversales. (b) ondas longitudinales.
^
las características de su propagación son comunes a todas ellas, lo que trataremos en el
presente Tema.
10.1.- Ecuación de ondas
La fig. 10.3 representa una perturbación en una cuerda o muelle elástico (como en la fig.
10.1a) que se desplaza hacia la derecha con velocidad v, sin modificar su forma. Esto se
denomina pulso de onda , y v es la velocidad de propagación del pulso. El sistema de
referencia O’ se mueve con el pulso (con velocidad v hacia la derecha), y en t=
coincidía con el sistema de referencia O, que está fijo. En t=0, la forma del pulso está
descrita por la función y(x). Para cualquier instante t, el pulso está descrito por y’(x’),
ya que el sistema O’ se mueve con el pulso.
Entre los sistemas O y O’ se cumple x=x’+vt;
y’=y, con lo que el pulso de onda viene dado, en
cada instante t y para cada posición x como
y(x,t) = y(x-vt) (onda desplazándose hacia la derecha )
Si el pulso se desplazara hacia la izquierda , tendríamos y(x,t)=y(x+vt). La forma
particular de la función y depende de cada caso particular de onda. Es una función tanto
de la posición (x) como del tiempo (t), aunque siempre en la forma y(x,t)=y(xvt). En
este ejemplo, y representa la altura de cada punto de la cuerda respecto la horizontal,
pero puede ser cualquier perturbación del medio (como la presión en las distintas partes
de un gas, para las ondas sonoras).
La función y(x,t)=y(xvt) es la función de onda , y describe la perturbación del medio en cualquier punto e instante. Haciendo el cambio de variable u=xvt y aplicando la regla de la cadena de la derivación:
du
dy x
u du
dy x
y( x,t)
2
2 2
2 2
2 du
d y x
u du
d y x
y( x,t)
du
dy v t
u du
dy t
y( x,t)
2
2 2 2
2 2
2 du
d y v t
u du
d y v t
y( x,t)
con lo que se verifica la relación
2
2 2 2
2 x
y(x,t) v t
y(x,t)
ó 2
2 2 2
2 t
y(x,t) v
x
y(x,t)
que es la ecuación de ondas monodimensional. Cualquier función matemática y(x,t) que cumpla esta ecuación diferencial será una onda con velocidad de propagación v. Según lo visto anteriormente, basta que sea y(x,t)=y(xvt) para que esta ecuación se cumpla.
Ondas transversales en una cuerda tensa. Un pulso de onda puede propagarse en una cuerda sometida por sus extremos a una tensión F. Sea m la masa de la cuerda y L su longitud. Así =m/L es la densidad lineal de la cuerda (masa por unidad de longitud). En la fig. 10.4 se muestra una parte de la cuerda por donde pasa un pulso transversal.
Los ángulos 1 y 2 son ligeramente distintos, de manera que la fuerza neta sobre trozo de cuerda tiene una componente vertical no nula, Fy=F(sen 2 -sen 1 ), que hace moverse la cuerda verticalmente, mientras que la componente horizontal es prácticamente nula (Fx=F(cos 2 - cos 1 )=0) con lo que no hay movimiento horizontal.
Tomando el límite xdx; ydy; sen 2 -sen 1 d(sen)d(tg), ya que suponemos que el ángulo es pequeño, y utilizando la 2ª ley de Newton, Fd(tg)=(dm)a. Teniendo en cuenta que tg=y/x (pendiente
Fig. 1 0 .3.- Pulso de onda hacia la derecha.
Fig. 1 0 .4.- Onda transversal en una cuerda sometida a tensión.
y la velocidad de propagación viene dada por v=/k=/T=. La onda armónica es
doblemente periódica : en el espacio , pues para un instante fijo, la onda se repite cada
longitud de onda ; y en el tiempo , pues para un punto fijo, la onda se repite cada
intervalo de tiempo T. En la figura 10.5 se muestra una onda armónica con y 0 =3 cm,
=4 m, T=8 s y 0 =0.
Energía de las ondas armónicas. Cuando una onda armónica se propaga en una cuerda, cada punto de ésta realiza un movimiento vertical en forma de movimiento armónico simple (MAS): Para x=x 0 fijo, y(x 0 ,t)=y(t)=y 0 sen[±t+(kx 0 + 0 )] es la ecuación de un MAS de amplitud y 0 , frecuencia angular y periodo T=2/ (ver fig. 10.5b). Todos los puntos de la cuerda oscilan con la misma amplitud y periodo , aunque con distinta fase inicial dada por kx 0 + 0. La energía mecánica ( cinética más potencial elástica ) asociada a una partícula de masa m oscilando en un MAS de amplitud A es E=½m^2 A^2 (Tema 9). Para un elemento de cuerda de masa dm=dx la energía mecánica correspondiente será, en valor medio, dEmed=½( ^2 y 02. Hay que recordar que esta energía es suma de la energía cinética asociada a la velocidad con que se mueven las partículas de la cuerda (hacia arriba y hacia abajo), más la energía potencial elástica asociada a las deformaciones que sufre la cuerda (se estira y se comprime, véase como sucede esto con el muelle elástico de la figura 10.1a)
La onda se propaga en la cuerda con velocidad v, de forma que en el tiempo dt, la onda recorre una distancia dx=vdt. Dividiendo dEmed por dt tenemos la potencia (energía por unidad de tiempo) media transmitida por la onda :
Pmed = 2
1 v ^2 y 0 (^2) que es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda.
10.3.- Ondas en tres dimensiones
Hasta el momento hemos visto ondas monodimensionales, que se propagan en una sola
dirección (x). El ejemplo más claro es el de la onda en una cuerda, aunque también sería
el caso de la fig. 10.6, donde un oscilador extenso produce ondas que se propagan según
el eje x. Estas ondas se pueden representar matemáticamente como una función
armónica monodimensional y(x,t). Gráficamente, se puede representar la onda
utilizando los frentes de onda , que son las superficies en las cuales el valor de la
perturbación y es la misma. Asociados a los frentes de onda podemos representar los
rayos , que son líneas perpendiculares al frente de ondas y que indican la dirección de
propagación. En el caso de la fig. 10.6, los frentes de onda son superficies planas. Por
ello, las ondas monodimensionales también se llaman ondas planas. Los rayos
asociados a las ondas planas son líneas rectas paralelas entre sí.
t=
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x (cm) y (cm)
(a) t=
x (m)
x=
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t (s) y (cm)
T
(b) x=
t (s)
Fig. 1 0 .5.- Onda armónica representada (a) en función de x para t=0; (b) en función de t para x=0.
x (^)
Frentes de onda (planos)
rayos
Fig. 1 0 .6.- Ondas planas y representación en frentes de onda y rayos.
En el caso más general, las ondas se propagan en las
tres direcciones del espacio. Cuando una onda es
emitida por un fuente puntual , y el medio en que se
propaga es homogéneo e isótropo (la velocidad de
propagación es la misma en todas direcciones)
tenemos una onda esférica (fig. 10.7). Los frentes de
onda son superficies esféricas con centro en la
fuente, y los rayos son rectas divergentes que
provienen de la fuente. Si la fuente emite ondas con
una potencia media Pmed, esta potencia se distribuye
uniformemente sobre el frente de onda, y va
propagándose con él. A medida que el frente de
ondas se aleja de la fuente, su superficie aumenta, y
la potencia emitida se distribuye sobre una superficie
cada vez más grande. Se define intensidad de una
onda como la potencia media que incide
perpendicularmente sobre una superficie, dividida
por el área de ésta:
I = Pmed/A (W/m
2
Para una onda esférica, la potencia incide perpendicularmente sobre el frente de onda,
que a una distancia r de la fuente tiene un área A=4r^2. Así
I = med 2
4 r
P
que indica que al aumentar la distancia a la fuente (r), la intensidad de
una onda esférica disminuye como 1/r
2
( atenuación ).
Nivel de intensidad sonora. El oído humano es sensible a las ondas sonoras desde una intensidad mínima de 10-12^ W/m^2 ( umbral de audición ) hasta una máxima de 1 W/m^2 ( umbral de dolor ). Nuestra sensación psicológica de la sonoridad es de tipo logaritmo, por lo que se ha definido el nivel de intensidad sonora , , medido en decibeles (dB). Para una intensidad I, el nivel de intensidad correspondiente es
= 10 log (I/I 0 ) (dB) donde I 0 =10-12^ W/m^2.
Así, al umbral de audición le corresponde =0 dB, y para umbral de dolor =120 dB.
Efecto Doppler. Cuando hay movimiento relativo entre la fuente o emisor de una onda y el receptor de la misma, la frecuencia de la onda observada por el receptor es distinta de la que ha sido emitida por la fuente. Esto se debe a que, como en la fig. 10.8, los frentes de onda se aproximan entre sí en el sentido en que se mueve la fuente, y se separan en el sentido contrario. Así, para un observador al que se acerca la fuente (situado a la derecha en la fig. 10.8), la frecuencia percibida es mayor que la real, mientras que un observador del que se aleja la fuente (situado a la izquierda), percibe una frecuencia menor. Efectos similares se producen si la fuente está en reposo y el observador en movimiento, o si ambos están en movimiento.
Si es la frecuencia emitida por la fuente (frecuencia real), vF es la velocidad con la que se mueve la fuente F, vO es la velocidad del observador o receptor O, y v es la velocidad de la onda, la frecuencia observada por el receptor (frecuencia aparente) es ’ y viene dada por
Fuente
Frentes de onda
Rayos
Fig. 1 0 .7.- Ondas esféricas.
r
Fig. 1 0 .8.- Efecto Doppler. Fuente en movimiento.
vF
