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Capítulo 3
Variables aleatorias
3.1 Definición, tipos
En ocasiones de un experimento aleatorio sólo nos interesará medir ciertas características del mismo. En estos casos nos bastará con conocer la distribución o modelo de probabilidad de cada característica.
Ejemplo 21 Si queremos estudiar “la suma de dos dados lanzados uno tras otro”, de los 36 resultados (a, b), estudiaremos los 11 posibles resultados a + b. Si ninguno de los dados está trucado, nuestro modelo de probabilidad será:
P ( Suma sea ω) =
1 36 si^ a^ +^ b^ = 2 2 36 si^ a^ +^ b^ = 3 .. . 1 36 si^ a^ +^ b^ = 12
Si quisiéramos estudiar también “cuánto distan”, es decir |a−b|, tendríamos 6 resultados: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ó 5 , con distribución de probabilidad dada por:
P ( Distancia sea ω) =
6 36 si^ |a^ −^ b|^ = 0 10 36 si^ |a^ −^ b|^ = 1 .. . 2 36 si^ |a^ −^ b|^ = 5
Para ambas características estamos utilizando el mismo modelo de probabilidad sobre el espacio muestral de 36 sucesos elementales: Ω = {(1, 1), (1, 2),... , (6, 5), (6, 6)}. Y este modelo de probabili- dad nos permite modelar ambas características (o cualquier otra asociada al experimento).
Definición 3.1.1. Una variable aleatoria X es una “función” X : Ω −→ R, que a cada elemento del espacio muestral le hace corresponder un número real.
La idea recogida en esta definición es que para cada suceso elemental, ω ∈ Ω, el valor X(ω) representa la característica que queremos estudiar.
Densidad y distribución
Ejemplo 22 En el experimento del lanzamiento sucesivo de dos dados, estamos considerando las siguientes variables aleatorias:
X = suma de los dados ; Y = diferencia (en valor absoluto) de ambos dados.
A partir de ellas podemos definir distintos sucesos aleatorios. Por ejemplo:
A 1 = {ω ∈ Ω : X(ω) = 5} ; A 2 = {ω ∈ Ω : X(ω) > 7 } ; A 3 = {ω ∈ Ω : Y (ω) ≤ 4 } ; A 4 = {ω ∈ Ω : (X − Y )(ω) = 6}.
Y nos interesará conocer la probabilidad de los diferentes sucesos correspondientes a una variable aleatoria, es decir, su modelo o función de probabilidad.
Definición 3.1.2. Sea X : Ω −→ R una variable aleatoria. Si A es un subconjunto de R, definimos:
P (A) = P (X ∈ A) := P ({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A}).
Ejemplo 23 De los tres primeros sucesos del ejemplo anterior, considerando que los dados no están trucados, tenemos que:
P (A 1 ) =
; P (A 2 ) =
; P (A 3 ) = 1 −
; P (A 4 ) =
que hemos calculado con las siguientes evidentes igualdades:
P (A 2 ) = P (X > 7)) = P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) + P (X = 11) + P (X = 12)
P (A 3 ) = P ((Y ≤ 4)) = 1 − P ((Y = 5)).
Obsérvese el abuso de notación, P (X > x) en lugar de P (X(ω) > x) por ejemplo, que utilizaremos, para simplificar, siempre que esté claro lo que queremos decir. Por último, los casos ω = (a, b) en que se verifica (X − Y )(ω) = 6 son siete: (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3), (3, 6) y (6, 3).
3.2 Función de masa o de densidad, función de distribución
Definición 3.2.1. La función de distribución de una variable aleatoria se define como:
F (x) = P ((−∞, x]) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x}) para todo x ∈ R.
Propiedades de las funciones de distribución
- l´ım x→−∞ F (x) = 0;
- l´ım x→∞ F (x) = 1;
- si x 1 < x 2 , entonces F (x 1 ) ≤ F (x 2 );
- F es continua por la derecha, es decir:
l´ım h→ 0 +^
F (x + h) = F (x).
Densidad y distribución
Ejemplo 24 Calcular la función de masa y la función de distribución de la variable aleatoria X =“suma de los dados”, en el experimento de tirar sucesivamente dos dados no trucados.
Solución: El espacio muestral tiene 36 elementos:
Ω = {(1, 1), (1, 2),... , (6, 5), (6, 6)}.
La variable aleatoria X, es una función del espacio muestral Ω en R que sólo toma los 11 valores en- teros: 2 , 3 ,... , 12. Puesto que los dados no están trucados, los sucesos elementales son equiprobables, y así:
P ({(a, b)}) =
, para cualquier (a, b) ∈ Ω.
Puesto que podemos contar cuántos elementos de Ω hay en cada uno de los sucesos X = 2, X = 3,
... , X = 12, conocemos la función de masa de la variable X. La siguiente tabla de valores, determina completamente la función de masa de X:
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P (X = xi)
Obsévese que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 36
Por su parte la función de distribución, F : R −→ [0, 1], viene dada por:
F (x) = 0 si x < 2 , F (x) = 1 si x ≥ 12
y para 2 ≤ x < 12 , va subiendo de 0 a 1 paulatinamente creando una gráfica con escalones horizontales entre cada dos enteros consecutivos, con los saltos en cada entero determinados por la función de masa (dibujar la gráfica).
3.2.2 Variables aleatorias continuas
Definición 3.2.3. Una variable aleatoria, X, se dice continua cuando puede tomar cualquiera de los valores de un intervalo. La función de probabilidad de una variable aleatoria continua queda caracterizada por su función de densidad, que es una función f : R −→ R verificando:
- f (x) ≥ 0 , para todo x ∈ R;
R
f (x) dx = 1.
La probabilidad de un suceso, A, relativo a una variable aleatoria continua, X, con función de densidad f se calcula mediante la fórmula:
P (A) =
A
f (x) dx
Variables aleatorias
Conviene resaltar que para una variable aleatoria continua X, los sucesos unitarios, A = {t}, tienen probabilidad 0 pues:
P ({t}) =
{t}
f (x) dx = 0.
Este hecho viene a decir que si X es una variable aleatoria continua, la probabilidad de que X tome un valor particular es nula: P (X = t) = P ({t}) = 0. Como consecuencia, la función de distribución no tiene saltos, es decir, es continua. La función de distribución se obtiene a partir de la función de densidad:
F (x) = P ((−∞, x]) =
∫ (^) x
−∞
f (t) dt.
Además, en los puntos en que F (x) es derivable:
f (x) = F ′(x).
Ejemplo 25 Sea un segmento OA de longitud 5. ¿Cuál es la probabilidad de que un punto B, situado al azar en OA, se encuentre en un segmento CD de OA? ¿Cuál es la función de densidad de la distancia OB? Solución: El conjunto Ω de sucesos es no numerable. La probabilidad de que B sea un punto cualquiera del segmento CD, es nula. La probabilidad de que B esté sobre CD se define mediante la razón de las longitudes: CD/OA. Modelizaremos el experimento tomando OA sobre el intervalo [0, 5] de la recta real:
O = 0
A = 5
C
D
B
™ U q
Podemos definir la función de distribución de la variable aleatoria continua X =“distancia OB”, de manera que sea igual a 1 cuando B esté en A:
∫ (^5)
0
f (x) dx = 1.
Puesto que el punto B se sitúa al azar en el intervalo OA, la distribución es uniforme sobre OA, es decir, la función de densidad es constante, y así:
f (x) =
0 si x /∈ [0, 5] 1 5
si x ∈ [0, 5]
=⇒ F (x) =
∫ 0 si^ x <^0 x
0
dt =
x 5
si x ∈ [0, 5] 1 si x ≥ 5.
x
f (x) 1 5 x
F (x)
Variables aleatorias
Solución: Si X es una variable aleatoria discreta con función de masa P (xi), desarrollando el cuadrado y simplificando, se obtiene:
σ^2 =
i
(xi − μ)^2 P (xi)
i
(x^2 i − 2 xiμ + μ^2 )P (xi)
i
x^2 i P (xi) − 2 μ ·
i
xiP (xi)
i
P (xi)
= E[X^2 ] − 2 μ^2 + μ^2 = E[X^2 ] − μ^2.
En el caso continuo, desarrollando el cuadrado y simplificando, se obtiene:
σ^2 =
R
(x − μ)^2 f (x) dx
R
x^2 f (x) dx − 2 μ
R
xf (x) dx
R
f (x) dx
= E[X^2 ] − 2 μ^2 + μ^2 = E[X^2 ] − μ^2.
Ejemplos
Ejemplo 26 Una persona participa en un concurso de televisión con las siguientes reglas:
- Si contesta correctamente a una pregunta con cinco respuestas posibles (sólo una correcta) gana 10 000e.
- En caso contrario se le propone una segunda pregunta con tres respuestas posibles (sólo una correcta). Si acierta gana 1 000e.
- Si tampoco acierta la segunda respuesta, se le propone una tercera con dos respuestas posibles (sólo una correcta). Si acierta no gana nada, pero si falla debe pagar 500 e.
El juego termina cuando la persona acierta o tras fallar la tercera pregunta. Si un concursante contesta al azar, calcúlese:
a) probabilidad de que obtenga una respuesta correcta;
b) la ganancia esperada;
c) E[X] y V [X], siendo X el número de preguntas propuestas al concursante.
Solución: Sea Ai el suceso “el concursante responde correctamente la cuestión i-ésima”, i = 1, 2 , 3. Los sucesos A 1 , A 2 y A 3 son independientes.
a) La probabilidad de que una respuesta sea correcta es:
P (A 1 ) + P (A 2 )P (Ac 1 ) + P (A 3 )P (Ac 1 )P (Ac 2 ) =
Esperanza: media y varianza
b) Sea Y la variable aleatoria “ganancia”. Es claro que esta variable toma los valores:
y 1 = 10 000 con P (y 1 ) =
y 2 = 1 000 con P (y 2 ) =
y 3 = 0 con P (y 3 ) =
y 3 = − 500 con P (y 3 ) =
Por tanto, la ganancia esperada es:
E[Y ] = 10 000 ·
= 2 133. 33 e.
c) La variable aleatoria X (= número de preguntas formuladas) puede tomar los valores:
x 1 = 1 con P (X = 1) = P (A 1 ) =
x 2 = 2 con P (X = 2) = P (A 2 )P (Ac 1 ) =
x 3 = 3 con P (X = 3) = P (Ac 2 )P (Ac 1 ) =
Así:
μ = E[X] =
∑^3
i=
xiP (xi) = 1 ·
V [X] = E[X^2 ] − μ^2 =
∑^3
i=
x^2 i P (xi) − μ^2
Ejemplo 27 La longitud de ciertos tornillos en centímetros se distribuye según la función de densi- dad:
f (x) =
(x − 1)(3 − x) si x ∈ [1, 3] 0 si x /∈ [1, 3].
i) Calcúlese E[X] y σ[X].
ii) Si los tornillos son válidos sólo si su longitud está entre 1. 7 y 2. 4 cm., calcúlese la probabilidad de que un tornillo sea válido.
Varias variables
Ejemplo 28 En el experimento “tirar dos dados perfectos sucesivamente”, se considera el vector aleatorio (X, Y ) : Ω −→ R^2
que dado un elemento ω = (a, b) nos devuelve:
(X, Y )(ω) = (a + b, |a − b|).
En el concurso televisivo del Ejemplo 26, se considera el vector aleatorio
(X, Y ) : Ω −→ R^2
que a cada elemento del espacio muestral, ω, le asocia:
(X, Y )(ω) = ( preguntas propuestas al concursante , ganancia del concursante ).
En la producción de tornillos del Ejemplo 27, consideramos el vector aleatorio
(X, Y, Z) : Ω −→ R^3
que al tomar cada tornillo ω ∈ Ω, nos dice:
(X, Y, Z)(ω) = ( su longitud , diámetro de la cabeza , longitud de la rosca ).
En lo que sigue definiremos los conceptos análogos al caso de una variable aleatoria para vectores aleatorios de dimensión 2. El caso n–dimensional es la generalización natural del de dimensión 2. Además, al considerar vectores aleatorios de la forma:
(X, Y ) : Ω −→ R^2
podremos hacer representaciones sobre el plano, ganando en claridad a la hora de asimilar los con- ceptos.
Definición 3.4.2. Si A es un subconjunto de R^2 descrito como conjunto de posibles valores del vector aleatorio (X, Y ) : Ω −→ R^2 , definimos:
P (A) = P ((X, Y ) ∈ A) = P ({ω ∈ Ω : (X(ω), Y (ω)) ∈ A}).
Definición 3.4.3. La función de distribución de un vector aleatorio (X, Y ) se define como:
F (x, y) = P ({(s, t) ∈ R^2 : s ≤ x, t ≤ y}) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x, Y (ω) ≤ y}) para todo (x, y) ∈ R^2.
Las propiedades de las funciones de distribución de un vector aleatorio son, en cierto modo, parecidas al caso de una variable. Sin embargo son menos manejables, de manera que utilizaremos las funciones de masa conjunta o de densidad conjunta, para el cálculo de probabilidades.
Ejercicio 2 Calcular la función de distribución del vector aleatorio
(X, Y ) : Ω −→ R^2
correspondiente al concurso televisivo del Ejemplo 28.
Variables aleatorias
3.4.1 Densidad conjunta
Definición 3.4.4. Un vector aleatorio (X, Y ) es discreto cuando sólo puede tomar un número finito o numerable de valores. El modelo de probabilidad conjunta de un vector aleatorio (X, Y ) discreto queda caracterizado por la función de masa conjunta:
P (X = xi, Y = yj ) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) = xi, Y (ω) = yj }) i = 1,... , m ; j = 1,... , n.
Cuando esté claro por el contexto, utilizaremos la siguiente notación: pi,j = P (X = xi, Y = yj ). La función de masa conjunta suele presentarse con una tabla de doble entrada:
X
Y y 1 · · · yj · · · yn x 1 .. .
.. . xi · · · · · · pi,j · · · · · · .. .
.. . xm
Ejemplo 29 Para el concurso televisivo descrito en el Ejemplo 26, calcular la función de masa del vector aleatorio determinado por: (X, Y )(ω) = ( preguntas propuestas al concursante , ganancia del concursante ). Solución: Este vector aleatorio puede tomar 3 × 4 = 12 valores, tomando la primera componente 3 posibles valores, y 4 la segunda. La siguiente tabla nos representa la función de masa conjunta:
X
Y − 500 0 1 000 10 000
1 0 0 0
1 5 2 0 0
4 15 0
3
4 15
4 15 0 0
En el caso de vectores aleatorios, aparte de la distribución conjunta, hay otras distribuciones también muy interesantes: las distribuciones marginales y las condicionadas.
Definición 3.4.5. Las distribuciones marginales de un vector aleatorio (X, Y ) son las que se obtienen al considerar cada característica por separado. Así tenemos:
Distribución marginal de X: es de tipo discreto y su función de masa marginal viene dada por:
P (X = xi) =
∑^ n
j=
P (X = xi, Y = yj ) , i = 1,... , m.
Distribución marginal de Y : es de tipo discreto y su función de masa marginal viene dada por:
P (Y = yj ) =
∑^ m
i=
P (X = xi, Y = yj ) , j = 1,... , n.
Variables aleatorias
Solución: Desarrollando el sumatorio y usando las propiedades de las funciones de distribución conjunta y marginales, tenemos:
Cov(X, Y ) =
∑^ m
i=
∑^ n
j=
(xi − E[X])(yj − E[Y ])P (X = xi, Y = yj )
∑^ m
i=
∑^ n
j=
xiyj P (X = xi, Y = yj ) − E[Y ]
∑^ m
i=
xi
( (^) ∑n
j=
P (X = xi, Y = yj )
−E[X]
∑^ n
j=
yj
( (^) ∑m
i=
P (X = xi, Y = yj )
+ E[X]E[Y ]
∑^ m
i=
∑^ n
j=
P (X = xi, Y = yj )
= E[XY ] − E[Y ]
∑^ m
i=
xiP (X = xi) − E[X]
∑^ n
j=
yj P (Y = yj ) + E[X]E[Y ]
= E[XY ] − E[Y ]E[X] − E[X]E[Y ] + E[X]E[Y ] = E[XY ] − E[X]E[Y ].
3.4.3 Independencia
Definimos a continuación la independencia de variables aleatorias discretas, de manera análoga a la definición de independencia de sucesos.
Definición 3.4.7. Dos variables aleatorias discretas, X e Y , se dicen independientes cuando:
P (X = xi, Y = yj ) = P (X = xi) · P (Y = yj ) para i = 1,... , m ; j = 1,... , n.
Surge, de manera directa, la siguiente propiedad: “Si X e Y son variables aleatorias discretas independientes entonces
E[XY ] = E[X] · E[Y ].
En particular son incorreladas, es decir: Cov(X, Y ) = 0”.
Ejercicio 4 Demostrar la propiedad anterior. Solución: Supongamos que X e Y son independientes, es decir:
P (X = xi, Y = yj ) = P (X = xi) · P (Y = yj ) ,
para i = 1,... , m ; j = 1,... , n. Calculemos la esperanza de la variable producto X · Y :
E[XY ] =
∑^ m
i=
∑^ n
j=
xiyj P (X = xi, Y = yj )
∑^ m
i=
∑^ n
j=
xiyj P (X = xi) · P (Y = yj )
∑^ m
i=
xiP (X = xi)
( (^) ∑n
j=
yj P (Y = yj )
= E[Y ]
( (^) ∑m
i=
xiP (X = xi)
= E[Y ]E[X].
Varias variables
En particular Cov(X, Y ) = E[XY ] − E[X]E[Y ] = 0, en otras palabras, X e Y son incorreladas siempre que sean independientes.
Ejercicio 5 Calcular la covarianza de las variables aleatorias X = “número de preguntas propuestas al concursante” e Y = “ganancia de un concursante”, del Ejemplo 26. Solución: De la tabla de las funciones de masa conjunta y marginales del vector (X, Y ) vemos que no son independientes, pues, por ejemplo:
P (X = 3, Y = 0) =
4 15 mientras que P (X = 3) · P (Y = 0) =
8 15 ·
4 15 6 =
4 15 .
Con los datos de la tabla calculamos: E[X] = 1 · 1 5
= 35 15
= 7 3 E[Y ] = 10 000 · 1 5
− 500 · 4 15
= 32 000 15
= 6 400 3 E[XY ] = 1 · 10 000 · 1 5
- 2 · 1 000 · 4 15
- 3 · 0 · 4 15
- 3 · (−500) · 4 15 = 32 000 15 = 6 400 3
de donde: Cov(X, Y ) = E[XY ] − E[X]E[Y ] =
6 400 3 −
7 3 ·
6 400 3 =
( 1 −
7 3
) ·
6 400 3 =
−25 600 9
3.4.4 Densidades condicionadas
Finalizamos esta sección con el concepto de probabilidad condicionada.
Definición 3.4.8. La distribución de la variable aleatoria X, condicionada por un valor fijo, yj , de la variable aleatoria Y , viene dada por la función de masa condicionada:
P (X = xi | Y = yj ) =
P (X = xi, Y = yj ) P (Y = yj )
, i = 1,... , m.
Es fácil comprobar que si X e Y son independientes, las distribuciones condicionadas coinciden con las distribuciones marginales correspondientes:
P (X = xi | Y = yj ) =
P (X = xi, Y = yj ) P (Y = yj )
=
P (X = xi) · P (Y = yj ) P (Y = yj )
= P (X = xi) , i = 1,... , m.
Y, análogamente, para Y : P (Y = yj | X = xi) = P (Y = yj ), j = 1,... , n.
3.4.5 Vectores aleatorios continuos
Definición 3.4.9. Un vector aleatorio (X, Y ) es continuo cuando toma valores en un subconjunto no discreto de R^2 ; por ejemplo: un cuadrado, un rectángulo, un triángulo, un círculo, un sector circular,.... El modelo de probabilidad conjunta de un vector aleatorio (X, Y ) continuo queda carac- terizado por la función de densidad conjunta, que es una “función” f : R^2 −→ R, verificando:
- f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R^2 ;
Varias variables
Es fácil comprobar que si X e Y son independientes, las distribuciones condicionadas coinciden con las distribuciones marginales correspondientes:
f (x | y) =
f (x)f (y) f (y)
= f (x) , para todo x ∈ R ; f (y | x) =
f (x)f (y) f (x)
= f (y), para todo y ∈ R.
Ejercicio 7 La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias continuas es:
f (x, y) =
k(x + xy) si x ∈ (0, 1), y ∈ (0, 1) 0 en otro caso.
¿Cuál es el valor de k?
Calcular la densidad marginal, la esperanza y la varianza de cada variable.
¿Son variables independientes?
Calcular la covarianza.
Solución: 1) Puesto que es una función de densidad hemos de tener integral total 1. Integrando tenemos:
∫ ∫
R^2
f (x, y) dx dy = k
0
0
(x + xy) dx dy
= k
0
x
( ∫^1
0
(1 + y) dy
dx = k
0
x
dx
3 k 2
0
x dx =
3 k 2
3 k 4
=⇒ k =
- Las densidades marginales serán:
f (x) =
R
f (x, y) dy
ahora bien:
0
x(1 + y) dy =
4 x 3
= 2x
de donde: f (x) =
2 x si x ∈ (0, 1) 0 en otro caso;
f (y) =
R
f (x, y) dx
ahora bien:
0
(1 + y)x dx =
4(1 + y) 3
(1 + y)
de donde: f (y) =
(1 + y) si y ∈ (0, 1) 0 en otro caso.
Variables aleatorias
Con las densidades marginales calculamos los parámetros pedidos de cada variable:
μX = E[X] =
∫ (^1)
0
x · 2 x dx = 2
( (^1) 3 − 0
)
2 3
E[X^2 ] =
∫ (^1)
0
x^2 · 2 x dx =
1 2 (1 − 0) =
1 2 σ^2 X = E[X^2 ] − μ^2 X = 1 2 − 4 9 = 1 18
μY = E[Y ] =
∫ (^1)
0
y · 2 3
(1 + y) dy = 2 3
( (^1) 2
1 3
)
5 9
E[Y 2 ] = 2 3
∫ (^1)
0
y^2 (1 + y) dy = 2 3
( (^1) 3
1 4
)
7 18 σ^2 Y = E[Y 2 ] − μ^2 Y = 7 18
− 25 81
= 13 162
- La densidad conjunta es el producto de las marginales:
f (x, y) = f (x) · f (y)
y, por tanto, son variables independientes.
- Al ser variables independientes, directamente son incorreladas, es decir: Cov(X, Y ) = 0.
3.5 Suma de variables independientes
Es especialmente ventajoso considerar variables que se distribuyen de manera independiente pues combinándolas linealmente se obtienen otras variables cuyas distribuciones se conocen a partir de las primeras. En la Estadística Descriptiva que hemos tratado en el Capítulo 1, es interesante que las muestras recogidas nos sirvan para inferir la distribución de cierta cualidad en determinada población. Para ello tomamos medidas numéricas de la muestra. Si cada dato muestral es representativo de la cualidad (o variable aleatoria) a inferir, nos gustaría, por ejemplo, que la media muestral fuese representativa de la media de dicha cualidad (se dice de la media poblacional); y así con el resto de las medidas: varianza, desviación típica, mediana,... Si consideramos a cada muestra, de tamaño N , como un valor concreto de un vector aleatorio (X 1 , X 2 ,... , XN ), con cada componente la misma variable, el requisito de independencia de las Xi simplifica tanto los cálculos como el análisis.
Definición 3.5.1. Dadas n variables aleatorias X 1 , X 2 ,... , Xn decimos que son variables aleatorias independientes igualmente distribuidas, en adelante v.a.i.i.d., si todas siguen el mismo modelo de probabilidad, digamos Xi ∼ X, y son independientes dos a dos.
Ejercicio 8 Probar que si X 1 , X 2 ,... , Xn son v.a.i.i.d. con distribución común Xi ∼ X, μ = E(X) y σ^2 = V (X) entonces:
E(X 1 + X 2 + · · · + Xn) = nμ , V (X 1 + X 2 + · · · + Xn) = nσ^2.
Es más si X¯ = (^1) n
X 1 + X 2 + · · · + Xn
entonces μ( X¯) = μ y V ( X¯) = σ^2 /n.
Variables aleatorias
- En un experimento aleatorio el suceso A ocurre con probabilidad 0.2. Se realiza el experimento tres veces y se define la variable aleatoria X = “número de veces que ha ocurrido A” en las tres pruebas que se suponen independientes.
(a) Calcular E[X] y V [X]. (b) Representar gráficamente la función de distribución de X. (c) Calcular P (X > 2) a partir de la función de distribución.
- La variable aleatoria X está distribuida de tal forma que su función de densidad determina con los ejes un triángulo rectángulo con ángulo recto en el origen y base sobre el intervalo (0, 1). Calcula sus funciones de densidad y distribución, la esperanza, μ, la desviación típica, σ, y la probabilidad de que X ∈ (μ − σ, μ + σ).
- Un semáforo está verde para los coches durante un minuto y medio, y rojo durante 15 segundos. Suponiendo que un automovilista llega al semáforo con igual probabilidad en cualquier instante, calcúlese el tiempo medio de espera.
- Una diana está formada por tres círculos concéntricos de radios 10, 20 y 30 cm. respectivamente. Si se cae en el círculo central se obtienen 5 puntos, 3 puntos si se cae en la primera corona y 1 punto al caer en la tercera corona. La probabilidad de que un tiro caiga en cada zona es proporcional al área de la misma (y ningún tiro cae fuera de la diana). Si se efectúan cuatro disparos, calcúlese:
(a) la puntuación esperada; (b) la probabilidad de la puntuación total se mayor que 17.
- Un examen consta de 5 temas numerados. Para elegir un tema al azar, se propone lanzar un dado; si sale de 1 a 5, el número del tema es el resultado del dado; si sale 6 se vuelve a tirar hasta que sale de 1 a 5. Sabemos que el dado está trucado de tal manera que la probabilidad de que salga el número 2 es 2/7 y la probabilidad de cualquier otro número es 1/7. Sea X la variable aleatoria que representa el tema seleccionado finalmente. Halla la probabilidad de que X valga 1 (que nos interesa especialmente ya que el tema 1 es el único que hemos estudiado).
- El vector aleatorio (X, Y ) tiene una distribución de probabilidad dada por:
P (X = 0, Y = 1) = 0.3 ; P (X = 1, Y = 1) = 0.1 ; P (X = 2, Y = 1) = 0.1 ; P (X = 0, Y = 2) = 0.1 ; P (X = 1, Y = 2) = 0.2 ; P (X = 2, Y = 2) = 0. 2.
Calcúlese:
(a) Las distribuciones marginales y condicionadas; (b) las esperanzas de cada variable, y la de XY ; (c) las varianzas de cada variable y Cov(X, Y ); (d) el coeficiente de correlación lineal.
Problemas
- La vida útil de cierto producto perecedero es una variable aleatoria con función de densidad
f (x) =
e−x^ si x > 0 0 en otro caso.
Si X 1 y X 2 representan la vida útil de dos unidades de dicho producto, seleccionadas al azar, calcúlese P (X 1 ≤ 2 , 1 ≤ X 2 ≤ 3).
- Dado el vector aleatorio (X, Y ) y la función
f (x, y)
k(x + y) si 0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 2 x − x^2 0 en otro caso.
(a) Determínese k para que f (x, y) sea su función de densidad. (b) Calcular P (0 ≤ X ≤ 1).
- Las etiquetas de cierta bebida pueden tener un premio de forma que en cada 1000 etiquetas hay 500 correspondientes a “inténtelo otra vez”, 300 con premio de 5 euros, 150 con premios de 10 euros, 40 con premios de 50 euros y 10 con premios de 100 euros. Una persona compra una botella que cuesta 10 euros. (a) Si X es la variable aleatoria correspondiente al beneficio obtenido por el comprador, ¿cuál es la distribución de X? (b) ¿Cuál es el beneficio esperado del comprador? (c) ¿Cuál es la probabilidad de perder dinero? (d) Si se sabe que el comprador ha ganado dinero, ¿cuál es la probabilidad de que le haya tocado una etiqueta de 100 euros?
- En una ciudad hay una proporción p de personas que fuman. Se define una variable aleatoria X que toma el valor 1 si al preguntar a una persona seleccionada aleatoriamente responde que es fumador, y toma el valor 0 si responde que no lo es. (a) En función de p calcula la esperanza de X e interpreta el valor obtenido. (b) Calcula la varianza de X en función de p. ¿Para qué valor de p es máxima la varianza? (c) Si se pregunta a n personas seleccionadas aleatoriamente con reemplazamiento, y la variable aleatoria Y representa el número de fumadores entre los n seleccionados, calcula la esperanza y la varianza de Y.
- Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad
f (x) =
k(1 + x), si x ∈ (0, 2) 0 , si x /∈ (0, 2)
(a) Calcula la constante k. (b) Calcula la probabilidad de que X tome valores entre 0 y 1. (c) Sabiendo que X es mayor que 1, ¿cuál es la probabilidad de que sea menor que 1.5? (d) Calcula P{|X − E(X)| > 0. 2 }
- El tiempo de vida activa de un plaguicida (en días) es una variable aleatoria X con función de densidad f (x) =
500 e
− 5001 x, si x ≥ 0 0 , si x < 0
