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Mecánica de fluidos y turbomáquinas.
Flujo de fluido ideal alrededor de un
cilindro
Cristobal Mesa Hidalgo (2502)
Para el entendimiento de un flujo de fluido real se debe tener en cuenta
en primer lugar los fluidos ideales. Si bien se sabe que los fluidos ideales
no existen en la realidad son simplemente teoría, estos pueden ser
asumidos como el aire y el agua, pero en una velocidad realmente baja,
se definirán las condiciones para que se pueda obtener un fluido ideal y
se estudiara el caso en específico de un fluido alrededor de un cilindro
sin circulación, se demostraran analíticamente las formulas
correspondientes y se compara mediante el programa Ansys, el cual
será explicado paso a paso.
Introducción
En la realidad existen muchos problemas de diseños en fluidos de los cuales se requieren
un conocimiento más detallados de lo que son las velocidades y presiones y como están se
van distribuyendo. El comprender como se comporta un fluido incompresible no viscoso en
2 y 3 dimensiones da una pequeña visión de cómo se comportará un fluido real.
Se explicará las líneas de corriente y como se llegaron a demostrar cada una de ellas en la
situación física seleccionada (flujo alrededor de un cilindro sin circulación) de forma analítica
y después se llevará acabo una simulación por Ansys.
Objetivos del estudio
El objetivo principal es estudiar las líneas de corriente de un flujo ideal
incompresible, con los conocimientos de mecánica de fluidos y turbomáquinas, de
esta manera se demostrará de forma analítica cada una de las fórmulas de flujos
potenciales del fluido y posteriormente visualizar de manera computacional.
Objetivos específicos
- Escoger una situación física, en este caso es un flujo de velocidad uniforme
alrededor de un cilindro.
- Utilizar herramientas computacionales avanzadas.
- Comparar los resultados analíticos con la solución computacional.
Marco teórico
Para poder comprender de mejor manera el estudio se definirían los siguientes conceptos:
- Fluido: Un fluido se define como una sustancia que cambia su forma continuamente
siempre que esté sometida a un esfuerzo cortante, sin importar qué tan pequeño
sea. Shames, I., (1995). Mecánica de fluidos, Santafé de Bogotá, Colombia: McGRAW-HILL.
- Fluido Newtoniano: Son aquellos fluidos donde el esfuerzo cortante es directamente
proporcional a la rapidez de deformación. Shames, I., (1995). Mecánica de fluidos,
Santafé de Bogotá, Colombia: McGRAW-HIL
- Fluido incompresible: El fluido es incompresible cuándo el volumen de todas las
porciones de este permanezca inalterado sobre el curso de su movimiento.
𝑉𝑧 =
𝜕ø
𝜕𝑧
La función ø se le denomina como función potencial de velocidad y se cumple que
= ∇ø
De la ecuación anterior la ingresamos en la ecuación de la continuidad para los flujos
incompresibles
∇ ∙ 𝑉
⃗
= ∇ ∙ ∇ø = ∇
2
ø = 0
Función de Corriente ψ
Analizando la ecuación de flujo incompresible es posible definir la función ψ=ψ(x,y),
la cual denominamos como la función corriente, de esta manera
𝑉𝑥 =
𝜕𝜓
𝜕𝑥
𝑉𝑦 = −
𝜕𝜓
𝜕𝑦
Reemplazando en la ecuación de continuidad queda:
𝜕
2
𝜕𝑥𝜕𝑦
−
𝜕
2
𝜕𝑦𝜕𝑥
= 0
como podemos observar la ecuación anterior satisface la ecuación de continuidad
∇
2
𝜓 = 0
Las líneas de la función de corrientes son las líneas de corriente, para esto diferenciamos
ψ se obtiene
𝑑ψ =
𝜕ψ
𝜕ψ
En esta ecuación se ve representado, la ecuación de corriente.
La variación de los valores de la función de corriente, entre dos líneas de corriente, de los
cuales están relacionada con el caudal entre ellas. En este caso la ecuación de continuidad
queda de la siguiente manera:
Como se representa en la imagen siguiente:
Demostrando la función de corriente
𝜕ψ
𝜕ψ
Integrando se obtiene:
𝜓 2
𝜓 1
Como se ve, es la diferencia de los valores de la función de corriente entre 2 líneas es igual
al caudal volumétrico, por unidad de profundidad, el cual que pasa entre 2 líneas de
corriente.
La pendiente entre 2 líneas de corriente:
𝜓=𝑐𝑡𝑒
Se debe tener en cuenta que la pendiente de ø=cte con la pendiente de ψ=cte, son
perpendiculares, esto quiere decir que forman un ángulo recto entre si, esto es útil para
representar el flujo gráficamente mediante la malla formada por las líneas de corriente y las
equipotenciales.
Circulación
La circulación está definida como la integral de línea sobre una curva cerrada, de la
componente tangencial de la velocidad, es decir
𝑐
Si se aplicamos el teorema de Stokes se obtiene además que
En el caso de que se tiene un flujo con un ángulo respecto al eje X se tiene las funciones
de corrientes y potencial respectivamente
ø = 𝑈
Teniendo estos conocimientos previos se procede a calcular la formula del flujo alrededor
de un cilindro circular.
Para poder calcular estas formulas debemos tener en cuenta el principio de superposición
para los flujos potenciales, en este caso el flujo uniforme con velocidad U, es perturbado
por la presencia de un cilindro circular de radio R, que cuyo eje es perpendicular a la
velocidad. Como sabemos la coordenada paralela al eje del cilindro es ignorada.
Para el caso utilizaremos las coordenadas polares (r,ϑ) en el plano perpendicular al eje
del cilindro, utilizamos el origen como el centro mismo. El angulo ϑ se mide a partir de la
dirección de U. consideremos el potencial de velocidad ø, el cual proviene del potencial
del flujo uniforme
ø
𝑈
Además del potencial de un dipolo de momento P orientado en la dirección de U
ø
𝐷
De tal manera que la suma de ambos queda como
ø = ø
𝑈
𝐷
En este caso se supone que no existe una circulación alrededor del cilindro, por lo tanto,
esta sería una solución única, de este modo la expresión de las componentes de la
velocidad quedaría de esta manera:
𝑟
𝜕ø
2
𝜗
𝜕ø
2
Para las ecuaciones anteriores tenemos que buscar un p que satisfaga las condiciones de
contornó
𝑢 = 𝑈 para r→ ∞
𝑅
= 0 para r=R
Con esto se cumple que el campo de velocidad del dipolo va decreciendo con la distancia
de r al cuadrado. Pero en cambio a la segunda ecuación, se requiere que el momento
dipolar tenga valor de
2
Reemplazando en las ecuaciones anteriores se tiene que
ø = 𝑈𝑟𝑐𝑜𝑠𝜗( 1 +
2
2
de acuerdo a que se están utilizando las ecuaciones en forma de coordenadas polares,
por lo tanto, la función corriente queda
𝑟
𝜗
De la misma manera que se hizo para demostrar las ecuaciones anteriores, el caso de la
función de la corriente queda como
2
2
En el punto 4 debemos ingresar el al Setup para ingresar las condiciones de borde del
problema.
en el ingresamos al boundary condition y determinamos las condiciones de borde del
problema
Una vez ingresada la condición de entrada del fluido de aire, seleccionamos initialization,
y seleccionamos initialize.
Por ultimo seleccionamos run calculation, e ingresamos las iteraciones que en este caso
fueron 90. Después de esto cerramos el programa y volvemos al menú de WorkBench.
Por ultimo seleccionamos el Results
Una vez dentro seleccionamos streamlines, y seleccionamos desde donde queremos que
parta la simulación, seleccionamos entrada y la cantidad de líneas que deseamos
visualizar.
Comparación entre la solución analítica y solución
computacional
Como podemos observar en las 2 imágenes las líneas de corrientes son bastante
semejantes, entre la simulación realizada y lo que debería ser en teoría, por lo que la
simulación fue un completo éxito, esto también es debido a las condiciones de borde que
se generaron. Como se observa no se pueden ver líneas de perturbación ni vórtices
dentro de las líneas de corriente.
Referencias.
Shames, I., (1995). Mecánica de fluidos, Santafé de Bogotá, Colombia: McGRAW-HILL.
Streeeter, V., (1999) Mecánica de fluidos, Santafé de Bogotá, Colombia: McGRAW-HILL.
