Fm examens febrer, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga Fm examens febrer y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Exàmens resolts de Fonaments Matemàtics

Edició a càrrec de José Luis Ruiz

Febrer 2018

Departament de Matemàtiques Facultat d’Informàtica de Barcelona Universitat Politècnica de Catalunya ©c 2010—

Col.lecció de problemes apareguts en diferents actes d’avaluació de l’assignatura Fona- ments Matemàtics del Grau en Enginyeria Informàtica de la Facultat d’Informàtica de Barcelona, U.P.C., des del setembre de 2010. Problemes proposats i recopilats per:

Josep Maria Aroca Daniel Barrera Josep Elgueta Rafel Farré Jaume Martí Fernando Martínez Montserrat Maureso Mercè Mora Francesc Prats Victor Rotger José Luis Ruiz Carlos Seara Pilar Sobrevilla Francesc Tiñena Joan Trias

Les solucions han estat redactades per José Luis Ruiz amb contribucions de Fernando Martínez, Joan Trias, Francesc Prats i Francesc Tiñena. ©c 2010—2018.

Enunciats

1.1 Exàmens de taller 2010–2011 Q

Raonament

1 Considereu la connectiva ⊕ definida de la manera següent:

p ⊕ q := (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)

1. Feu la taula de veritat de la proposició (p ⊕ (p → p)) → q.

2. Doneu una proposició equivalent a (p ⊕ (p → p)) → q que no contingui la connectiva ⊕ i que contingui el mínim nombre possible de connectives.

2 Considereu la connectiva ↓ definida de la manera següent:

p ↓ q := ¬p ∧ ¬q

1. Feu la taula de veritat de la proposició ((p ↓ p) ↓ q) ↓ ((p ↓ p) ↓ q).

2. Doneu una proposició equivalent a ((p ↓ p) ↓ q) ↓ ((p ↓ p) ↓ q) que no contingui la connectiva ↓ i que contingui el mínim nombre possible de connectives.

3 Considereu la connectiva | definida de la manera següent:

p|q := ¬p ∨ ¬q

1. Feu les taules de veritat de les proposicions (p|p)|(q|q) i (p|q)|(p|q).

2. Doneu una proposició equivalent a (p|p)|(q|q) que no contingui la connectiva | i que contingui el mínim nombre possible de connectives.

3. Doneu una proposició equivalent a (p|q)|(p|q) que no contingui la connectiva | i que contingui el mínim nombre possible de connectives.

E

Exàmens resolts de Fonaments Matemàtics E

4 Considereu les connectives ↓ i | definides de la manera següent:

p ↓ q := ¬p ∧ ¬q, p|q := ¬p ∨ ¬q

1. Feu la taula de veritat de les proposicions p|q i (p ↓ p) ↓ (q ↓ q) i doneu una proposició equivalent a p|q que només contingui les connectives ¬ i ↓.

2. Feu la taula de veritat de les proposicions p ↓ q i (p|p)|(q|q) i doneu una proposició equivalent a p ↓ q que només contingui les connectives ¬ i |.

3. Doneu una proposició equivalent a p ↓ p on només intervinguin connectives clàssi- ques (negació, conjunció, disjunció, condicional, bicondicional) i doneu una proposició equivalent a p|q que només contingui la connectiva ↓.

4. Doneu una proposició equivalent a p|p on només intervinguin connectives clàssiques (negació, conjunció, disjunció, condicional, bicondicional) i doneu una proposició equi- valent a p ↓ q que només contingui la connectiva |.

5 Trobeu una proposició equivalent a p ↔ q on hi apareguin exclusivament:

1. Les connectives ¬ i ∨.

2. Les connectives ¬ i ∧.

3. Les connectives ¬ i →.

6 Simbolitzeu en el llenguatge del càlcul de predicats els enunciats que segueixen. Ho heu de fer de dues maneres:

a) sense utilitzar quantificadors universals (∀) ni condicionals (→) i amb el mínim nombre possible de negacions (¬);

b) sense utilitzar quantificadors existencials (∃) i utilitzant condicionals (→).

Els enunciats són:

1. No tota funció té derivada.

2. Hi ha funcions contínues no derivables.

3. Cap nombre enter és parell i senar alhora.

4. Tot nombre enter és parell o senar.

Useu els predicats: F : “ser funció”; C: “ser contínua”; D: “ser derivable”; N : “ser nombre enter”; P : “ser parell”; S: “ser senar”.

7 Simbolitzeu:

1. Hi ha un únic objecte que té la propietat P.

J.L. Ruiz (ed.) ©c 2010—2018 CAPÍTOL 1. ENUNCIATS

Exàmens resolts de Fonaments Matemàtics E

1. Proveu que f ◦ f = f.

2. Calculeu f [{ 1 , 2 , 3 , 4 }]. Deduïu que f no és injectiva.

3. Calculeu f −^1 [{ 0 , 1 , 2 }]. Deduïu que f no és exhaustiva.

18 Considerem l’aplicació f : N → N definida per:

f (n) =

n, si n és múltiple de 3 3 n, en cas contrari

1. Proveu que f ◦ f = f.

2. Calculeu f [{ 1 , 2 , 3 , 4 }]. Deduïu que f no és injectiva.

3. Calculeu f −^1 [{ 0 , 1 , 2 }]. Deduïu que f no és exhaustiva.

19 Considerem l’aplicació f : Z → Z definida per:

f (n) =

−n^2 , si n < 0 n^2 , si n ≥ 0

1. Calculeu f [{− 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 }].

2. Proveu que f és injectiva.

3. Calculeu f −^1 [{ 0 , 1 , 2 }]. Deduïu que f no és exhaustiva.

20 Considerem l’aplicació f : Z → N definida per:

f (n) =

2 n − 1 , si n > 0 − 2 n, si n ≤ 0

1. Calculeu f [{− 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 }] i f [{− 5 , − 3 , 0 , 3 , 5 }].

2. Calculeu f −^1 [{ 0 , 1 , 2 }] i f −^1 [{ 0 , 3 , 6 }]

3. Proveu que f és injectiva.

4. Proveu que f és exhaustiva.

21 Considerem l’aplicació f : N → Z definida per:

f (n) =

−n 2 , si n és parell n+ 2 ,^ si^ n^ és senar

J.L. Ruiz (ed.) ©c 2010—2018 CAPÍTOL 1. ENUNCIATS

Exàmens resolts de Fonaments Matemàtics E

1. Calculeu f [{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }] i f [{ 0 , 3 , 5 , 6 , 7 , 10 }].

2. Calculeu f −^1 [{− 1 , 0 , 1 , 2 }] i f −^1 [{− 3 , − 1 , 0 , 1 }].

3. Proveu que f és exhaustiva.

4. Proveu que f és injectiva.

22 Considerem l’aplicació f : N → N definida per:

f (n) =

n + 1, si n no és múltiple de 5 n 5 ,^ si^ n^ és múltiple de^5

1. Calculeu f −^1 [{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }].

2. Proveu que f és exhaustiva.

3. Calculeu f [{ 0 , 1 , 2 , 5 , 10 , 15 }]. Deduïu que f no és injectiva.

23 Considerem l’aplicació f : Z → N definida per:

f (n) = n^2 + 1.

Siguin: S = {n ∈ N : n és senar}, P = {m ∈ Z : m és parell}.

1. Proveu que f −^1 [S] = P.

2. Proveu que f no és exhaustiva.

3. Proveu que f no és injectiva.

4. És f bijectiva?

24 Considerem l’aplicació f : Z → Z definida per:

f (n) =

7 n, si n és parell n + 2, si n és senar

1. Calculeu f −^1 [{− 1 , 0 , 1 , 2 }]. Deduïu que f no és exhaustiva.

2. Proveu que f és injectiva.

3. És f bijectiva?

25 Considerem l’aplicació f : Z → Z definida per:

f (n) = n^2 + n + 1

J.L. Ruiz (ed.) ©c 2010—2018 CAPÍTOL 1. ENUNCIATS

Exàmens resolts de Fonaments Matemàtics E

4. Calculeu f [B], si B = { 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 9 }.

5. Deduïu que l’aplicació h : B → B definida per h(b) = f (b), si b ∈ B, és bijectiva.

6. Proveu que f és exhaustiva.

29 Considerem els conjunts:

A = {n ∈ N : n ≥ 2 }, P = {p ∈ N : p és un nombre primer}

i les aplicacions f : A → P , g : P → A definides per:

f (n) = nombre primer més petit que divideix n g(p) = p^2

1. Calculeu g[{ 2 , 3 , 5 , 7 , 11 }] i f −^1 [{ 2 }].

2. Proveu que f ◦ g = IP. (IP és l’aplicació identitat de P .)

3. Proveu que f és exhaustiva.

4. Per a quins valors de n ∈ A se satisfà (g ◦ f )(n) = n?

5. Proveu que g és injectiva.

30 Considerem l’aplicació f : Z → Z definida per:

f (n) =

n/ 2 , si n és parell 2 n, si n és senar

1. Calculeu f [{ 0 , 1 , 2 , 4 , 8 }]. Deduïu que f no és injectiva.

2. Proveu que f és exhaustiva.

3. És f bijectiva?

Principi d’inducció

31 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

i=

i · i! = (n + 1)! − 1

32 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

k=

(−1)k−^1 k^2 = (−1)n−^1

n(n + 1) 2

J.L. Ruiz (ed.) ©c 2010—2018 CAPÍTOL 1. ENUNCIATS

Exàmens resolts de Fonaments Matemàtics E

33 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

j=

j(j + 1) =

n(n + 1)(n + 2) 3

34 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

`=

( + 1)

n n + 1

35 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

r=

(3r − 2) =

3 n^2 − n 2

36 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

s=

(4s + 1) = n(2n + 3)

37 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

v=

(v^2 + v) =

n(n + 1)(n + 2) 3

38 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

m=

(5m − 3) =

5 n^2 − n 2

39 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

u=

(u^2 − u) =

n(n^2 − 1) 3

40 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :

∑^ n

t=

t^3 =

n^2 (n + 1)^2 4

J.L. Ruiz (ed.) ©c 2010—2018 CAPÍTOL 1. ENUNCIATS

Exàmens resolts de Fonaments Matemàtics E

de la identitat de Bézout corresponent.

a b mcd(a, b) x y 603 651 3 − 95 88 484 460 4 − 19 20 792 599 1 − 90 119 317 482 1 111 − 73 643 524 1 251 − 308 430 721 1 166 − 99 372 348 12 − 14 15 696 467 1 − 104 155 431 636 1 − 121 82 680 593 1 − 259 297 545 433 1 58 − 73 384 748 4 − 37 19 794 591 1 230 − 309 560 502 2 26 − 29 391 505 1 31 − 24 686 651 7 − 37 39 722 667 1 − 97 105 310 685 5 42 − 19 558 314 2 − 9 16 388 657 1 127 − 75

1.2 Examen parcial 22/11/

1. Considerem la proposició p següent:

∀ a, b, c ∈ Z ( c parell ∧ c = a · b → a parell ∧ b parell )

Digueu si p és certa o falsa i justifiqueu la resposta.

2. Siguin A, B conjunts no buits. Proveu que l’aplicació g : A × B → A definida per g

(x, y)

= x és exhaustiva.

55 Considerem el conjunt A = (Z − { 0 }) × (Z − { 0 }) i la relació R sobre A definida per:

(a, b) R (c, d) ⇐⇒ a · d = b · c,

on (a, b), (c, d) ∈ A.

1. Demostreu que R és una relació d’equivalència sobre A.

2. Trobeu la classe d’equivalència de l’element (a, b) ∈ A.

J.L. Ruiz (ed.) ©c 2010—2018 CAPÍTOL 1. ENUNCIATS

Exàmens resolts de Fonaments Matemàtics E

3. Doneu una descripció del conjunt quocient A/R.

56 Demostreu per inducció que l’enter n^3 + 3n^2 + 2n és divisible per 6 , per a tot enter n ≥ 0.

1. Considerem la proposició p següent:

∀ a, b, c ∈ Z ( a parell ∧ a = b + c → b senar ∧ c senar )

Digueu si p és certa o falsa i justifiqueu la resposta.

2. Siguin A, B conjunts no buits i b 0 ∈ B un element fix. Proveu que l’aplicació h : A → A × B definida per h(x) = (x, b 0 ) és injectiva.

58 Considerem el conjunt A = Z × Z i la relació R sobre A definida per:

(a, b) R (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c,

on (a, b), (c, d) ∈ A.

1. Demostreu que R és una relació d’equivalència sobre A.

2. Trobeu la classe d’equivalència de l’element (0, b) ∈ A.

3. Doneu una descripció del conjunt quocient A/R.

59 Demostreu per inducció que l’enter (n + 1)^3 − n − 1 és múltiple de 6 , per a tot enter n ≥ 0.

1.3 Examen final 17/01/

60 Digueu si les afirmacions següents són certes o falses i justifiqueu la resposta.

1. (∀n ∈ Z)(∃a, b ∈ Z n = 5a + 7b)

2. Les proposicions ¬[((¬p) ∨ q) → r] i (¬p) ∧ q ∧ (¬r) són lògicament equivalents.

3. Si f : X → Y és una funció, llavors f (f −^1 (Y )) = Y.

61 Proveu que si a, b, c ∈ Z, llavors mcd(a, b) = mcd(bc − a, b).

62 Considerem l’aplicació f : Z 29 → Z 29 definida per f (x) = 22 · x + 7

J.L. Ruiz (ed.) ©c 2010—2018 CAPÍTOL 1. ENUNCIATS

Exàmens resolts de Fonaments Matemàtics E

h) Expresseu la connectiva O en funció únicament de la connectiva X.

65 Doneu una condició necessària però no suficient perquè el nombre natural n sigui parell. Doneu una condició suficient però no necessària perquè el nombre natural n sigui parell. Justifiqueu les respostes.

66 És necessari que la suma de dos enters sigui parell perquè els dos nombres siguin parells? I suficient? Justifiqueu les respostes.

67 Doneu una condició necessària i suficient, diferent d’ella mateixa, perquè el nombre natural n sigui múltiple de 6. Doneu-ne també una de necessària però no suficient i una de suficient però no necessària. Justifiqueu les respostes.

68 Formalitzeu l’enunciat següent: ‘no hi ha més de dos enters diferents que compleixin la propietat P ’. Doneu una propietat P per a la qual l’enunciat sigui vertader i una altra propietat P per a la qual l’enunciat sigui fals. Justifiqueu les respostes.

69 Formalitzeu l’enunciat següent: ‘hi ha al menys tres enters diferents que compleixen la propietat P ’. Doneu una propietat P per a la qual l’enunciat sigui vertader i una altra propietat P per a la qual l’enunciat sigui fals. Justifiqueu les respostes.

70 Siguin A i B dos enunciats. De ‘A’ i de ‘si B, llavors A’, és correcte deduir ‘B’? Justifiqueu la resposta.

71 En una “demostració” trobem un primer apartat on a partir de p i de ¬q s’arriba a r i un segon apartat on a partir de ¬p i ¬r s’arriba a q. És una demostració de q ∨ r? És una demostració de q ∧ r? Justifiqueu les respostes.

Conjunts i aplicacions

1. Siguin A, B i C conjunts arbitraris.

a) Proveu que si B ∩ C = ∅, llavors (A − B) ∪ C ⊆ (A ∪ B ∪ C) − (A ∩ B). b) És certa la igualtat (A − B) ∪ C = (A ∪ B ∪ C) − (A ∩ B)? Justifiqueu la resposta.

2. Doneu un exemple de funció f : Z → Z que sigui injectiva però no exhaustiva. Justifi- queu la injectivitat i la no exhaustivitat.

1. Siguin A, B i C conjunts arbitraris.

J.L. Ruiz (ed.) ©c 2010—2018 CAPÍTOL 1. ENUNCIATS

Exàmens resolts de Fonaments Matemàtics E

a) Proveu que A − (B − C) ⊆ (A − B) ∪ C. b) És certa la igualtat A − (B − C) = (A − B) ∪ C? Justifiqueu la resposta.

2. Doneu un exemple de funció f : Z → Z que sigui exhaustiva però no injectiva. Justifi- queu la exhaustivitat i la no injectivitat.

1. Siguin A, B i C conjunts arbitraris.

a) Proveu que (A − B) ∩ (A − C) ⊆ A − (B ∩ C). b) És certa la igualtat (A − B) ∩ (A − C) = A − (B ∩ C)? Justifiqueu la resposta.

2. Doneu un exemple de funció f : Z → Z que sigui bijectiva i que no sigui l’aplicació identitat. Calculeu f −^1.

1. Siguin A, B i C conjunts arbitraris.

a) Proveu que A − (B ∪ C) ⊆ (A − B) ∪ (A − C). b) És certa la igualtat A − (B ∪ C) = (A − B) ∪ (A − C)? Justifiqueu la resposta.

2. Doneu un exemple de funció f : N → N que sigui bijectiva i que no sigui l’aplicació identitat. Calculeu f −^1.

1. Siguin f : A → B una aplicació i P, Q ⊆ A.

a) És certa la implicació: f [P ] = f [Q] ⇒ P = Q? Justifiqueu la resposta. b) Proveu que si f és injectiva, llavors la implicació anterior és certa.

2. Siguin A, B, C conjunts tals que A 6 = B i C 6 = ∅. Es pot donar el cas que A × C = B × C? Justifiqueu la resposta.

1. Siguin g : A → B una aplicació i S, T ⊆ B.

a) És certa la implicació: f −^1 [S] = f −^1 [T ] ⇒ S = T? Justifiqueu la resposta. b) Proveu que si f és exhaustiva, llavors la implicació anterior és certa.

2. Siguin A, B, C, D conjunts. Podem assegurar que

(A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (B × D)?

Justifiqueu la resposta.

J.L. Ruiz (ed.) ©c 2010—2018 CAPÍTOL 1. ENUNCIATS