exàmens resolts de
fonaments matemàtics
edició a càrrec de José Luis Ruiz
juliol de 2014
Departament de Matemàtica Aplicada II
Facultat d’Informàtica de Barcelona
Universitat Politècnica de Catalunya
c
2010—2014
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
examens resolts fm, Exámenes de Matemáticas
Asignatura: Fonaments matemàtics, Profesor: José Luis Ruiz, Carrera: Enginyeria Informàtica, Universidad: UPC
Tipo: Exámenes
2014/2015
1 / 136
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga examens resolts fm y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
exàmens resolts de
fonaments matemàtics
edició a càrrec de José Luis Ruiz
juliol de 2014
Departament de Matemàtica Aplicada II Facultat d’Informàtica de Barcelona Universitat Politècnica de Catalunya ©^ c 2010—
Col.lecció de problemes apareguts en diferents actes d’avaluació de l’assignatura Fona- ments Matemàtics del Grau en Enginyeria Informàtica de la Facultat d’Informàtica de Barcelona, U.P.C., des del setembre de 2010. Problemes proposats i recopilats per:
Josep Elgueta Rafel Farré Mercè Mora Francesc Prats José Luis Ruiz Pilar Sobrevilla Francesc Tiñena Joan Trias
Les solucions han estat redactades per José Luis Ruiz amb contribucions de Fernando Martínez, Joan Trias, Francesc Prats i Francesc Tiñena. ©c 2010—2014.
- 1 Enunciats E
- 1.1 Exàmens de taller 2010–2011 Q1 E
- 1.2 Examen parcial 22/11/2010 E
- 1.3 Examen final 17/01/2011 E
- 1.4 Exàmens de taller 2010–2011 Q2 E
- 1.5 Examen parcial 28/04/2011 E
- 1.6 Examen final 06/06/2011 E
- 1.7 Exàmens de taller 2011–2012 Q1 E
- 1.8 Examen parcial 17/11/2011 E
- 1.9 Examen final 20/01/2012 E
- 1.10 Exàmens de taller 2011–2012 Q2 E
- 1.11 Examen parcial 26/04/2012 E
- 1.12 Examen final 07/06/2012 E
- 1.13 Exàmens de taller 2012–2013 Q1 E
- 1.14 Examen parcial 15/11/2012 E
- 1.15 Examen final 14/01/2013 E
- 1.16 Examen final de reavaluació 04/02/2013 E
- 1.17 Exàmens de taller 2012–2013 Q2 E
- 1.18 Examen parcial 2/5/2013 E
- 1.19 Examen final 6/6/2013 E
- 1.20 Examen final de reavaluació 10/07/2013 E
- 1.21 Examen parcial 17/10/2013 E
- 1.22 Examen parcial 14/11/2013 E
- 1.23 Examen final 09/01/2014 E
- 1.24 Examen de recuperació del primer parcial 09/01/2014 E
- 1.25 Examen de recuperació del segon parcial 09/01/2014 E
- 1.26 Examen final de reavaluació 07/02/2014 E
- 1.27 Examen parcial 20/03/2014 E
- 1.28 Examen parcial 30/04/2014 E
- 1.29 Examen final 12/06/2014 E
- 1.30 Examen de recuperació del primer parcial 12/06/2014 E
- 1.31 Examen de recuperació del segon parcial 12/06/2014 E
- 1.32 Examen final de reavaluació 11/07/2014 E
- 2 Solucions S
- 2.1 Exàmens de taller 2010–2011 Q1 S
- 2.2 Examen parcial 22/11/2010 S
- 2.3 Examen final 17/01/2011 S
- 2.4 Exàmens de taller 2010–2011 Q2 S
- 2.5 Examen parcial 28/04/2011 S
- 2.6 Examen final 06/06/2011 S
- 2.7 Exàmens de taller 2011–2012 Q1 S
- 2.8 Examen parcial 17/11/2011 S
- 2.9 Examen final 20/01/2012 S
- 2.10 Exàmens de taller 2011–2012 Q2 S
- 2.11 Examen parcial 26/04/2012 S
- 2.12 Examen final 07/06/2012 S
- 2.13 Exàmens de taller 2012–2013 Q1 S
- 2.14 Examen parcial 15/11/2012 S
- 2.15 Examen final 14/01/2013 S
- 2.16 Examen final de reavaluació 04/02/2013 S
- 2.17 Exàmens de taller 2012–2013 Q2 S
- 2.18 Examen parcial 2/5/2013 S
- 2.19 Examen final 6/6/2013 S
- 2.20 Examen final de reavaluació 10/07/2013 S
- 2.21 Examen parcial 17/10/2013 S
- 2.22 Examen parcial 14/11/2013 S
- 2.23 Examen final 09/01/2014 S
- 2.24 Examen de recuperació del primer parcial 09/01/2014 S
- 2.25 Examen de recuperació del segon parcial 09/01/2014 S
- 2.26 Examen final de reavaluació 07/02/2014 S
- 2.27 Examen parcial 20/03/2014 S
- 2.28 Examen parcial 30/04/2014 S
- 2.29 Examen final 12/06/2014 S
- 2.30 Examen de recuperació del primer parcial 12/06/2014 S
- 2.31 Examen de recuperació del segon parcial 12/06/2014 S
- 2.32 Examen final de reavaluació 11/07/2014 S
Enunciats
1.1 Exàmens de taller 2010–2011 Q
Raonament
1 Considereu el connectiu ⊕ definit de la manera següent:
p ⊕ q := (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)
Feu la taula de veritat de la proposició (p ⊕ (p → p)) → q.
Doneu una proposició equivalent a (p ⊕ (p → p)) → q que no contingui el connectiu ⊕ i que contingui el mínim nombre possible de connectius.
2 Considereu el connectiu ↓ definit de la manera següent:
p ↓ q := ¬p ∧ ¬q
Feu la taula de veritat de la proposició ((p ↓ p) ↓ q) ↓ ((p ↓ p) ↓ q).
Doneu una proposició equivalent a ((p ↓ p) ↓ q) ↓ ((p ↓ p) ↓ q) que no contingui el connectiu ↓ i que contingui el mínim nombre possible de connectius.
3 Considereu el connectiu | definit de la manera següent:
p|q := ¬p ∨ ¬q
Feu les taules de veritat de les proposicions (p|p)|(q|q) i (p|q)|(p|q).
Doneu una proposició equivalent a (p|p)|(q|q) que no contingui el connectiu | i que contingui el mínim nombre possible de connectius.
Doneu una proposició equivalent a (p|q)|(p|q) que no contingui el connectiu | i que contingui el mínim nombre possible de connectius.
E
Hi ha un únic objecte que té la propietat P.
Hi ha exactament dos objectes que tenen la propietat P.
Hi ha com a màxim un objecte que té la propietat P.
Hi ha com a mínim dos objectes que tenen la propietat P.
Conjunts
8 Siguin A, B i C conjunts arbitraris. Demostreu que A − (B ∩ C) ⊆ A − B si, i només si, A ∩ B ⊆ A ∩ C.
9 Siguin A i B conjunts arbitraris. Demostreu que (A − B) ∪ (B − A) = A si, i només si, B = ∅.
10 Siguin A i B conjunts arbitraris. Demostreu que (A − B) ∪ (B − A) = A ∪ B si, i només si, A ∩ B = ∅.
11 Siguin Ω un conjunt i A, B, C ⊆ Ω subconjunts tals que A ∩ Bc^ ⊆ C i Cc^ ∩ B = ∅. Demostreu que A ⊆ C.
12 Siguin Ω un conjunt i A, B, C ⊆ Ω subconjunts tals que B ∩ Cc^ = ∅. Demostreu que A − (A − B) ⊆ A ∩ C.
13 Siguin Ω un conjunt i A, B, C ⊆ Ω subconjunts no buits tals que A ∩ B ∩ C = ∅. Proveu que si D ⊆ Ω és un subconjunt tal que D ∩ A ⊆ D ∩ B, aleshores D ∩ C ⊆ Ac.
14 Siguin A, B i C conjunts tals que A ∪ B ⊆ A ∪ C i A ∩ B ⊆ A ∩ C. Demostreu que B ⊆ C.
15 Siguin Ω un conjunt i A, B, C ⊆ Ω subconjunts tals que A ∩ B 6 = ∅ i B ∩ Cc^ = ∅. Demostreu que A ∩ C 6 = ∅.
16 Siguin Ω un conjunt i A, B, C ⊆ Ω subconjunts. Demostreu que C ⊆ A ∩ B si, i només si, C ∩ Ac^ = ∅ i C ∩ Bc^ = ∅.
Aplicacions
17 Considerem l’aplicació f : N → N definida per:
f (n) =
n, si n és parell n + 1, si n és senar
Proveu que f ◦ f = f.
Calculeu f [{ 1 , 2 , 3 , 4 }]. Deduïu que f no és injectiva.
Calculeu f −^1 [{ 0 , 1 , 2 }]. Deduïu que f no és exhaustiva.
18 Considerem l’aplicació f : N → N definida per:
f (n) =
n, si n és múltiple de 3 3 n, en cas contrari
Proveu que f ◦ f = f.
Calculeu f [{ 1 , 2 , 3 , 4 }]. Deduïu que f no és injectiva.
Calculeu f −^1 [{ 0 , 1 , 2 }]. Deduïu que f no és exhaustiva.
19 Considerem l’aplicació f : Z → Z definida per:
f (n) =
−n^2 , si n < 0 n^2 , si n ≥ 0
Calculeu f [{− 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 }].
Proveu que f és injectiva.
Calculeu f −^1 [{ 0 , 1 , 2 }]. Deduïu que f no és exhaustiva.
20 Considerem l’aplicació f : Z → N definida per:
f (n) =
2 n − 1 , si n > 0 − 2 n, si n ≤ 0
Calculeu f [{− 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 }] i f [{− 5 , − 3 , 0 , 3 , 5 }].
Calculeu f −^1 [{ 0 , 1 , 2 }] i f −^1 [{ 0 , 3 , 6 }]
Proveu que f és injectiva.
Calculeu f −^1 [{− 1 , 0 , 1 , 2 }]. Deduïu que f no és exhaustiva.
Proveu que f és injectiva.
És f bijectiva?
25 Considerem l’aplicació f : Z → Z definida per:
f (n) = n^2 + n + 1
Calculeu f [{− 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 }]. Deduïu que f no és injectiva.
Calculeu f −^1 [{ 0 , 1 }]. Deduïu que f no és exhaustiva.
És f bijectiva?
26 Considerem els conjunts:
A = {n ∈ N : n ≥ 2 }, P = {p ∈ N : p és un nombre primer}
i l’aplicació f : A → P definida per:
f (n) = nombre primer més petit que divideix n
Proveu que f|P = IP. (f|P és la restricció de f a P ⊆ A i IP és l’aplicació identitat de P .)
Calculeu f [{ 2 , 6 , 9 , 11 , 35 }]. Deduïu que f no és injectiva.
Proveu que f és exhaustiva.
És f bijectiva?
27 Considerem l’aplicació f : Z → Z definida per:
f (n) =
n, si n és múltiple de 5 5 n, en cas contrari
Proveu que f ◦ f = f.
Calculeu f [{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }]. Deduïu que f no és injectiva.
Calculeu f −^1 [{ 0 , 1 , 5 }]. Deduïu que f no és exhaustiva.
És f bijectiva?
28 Considerem l’aplicació f : N → N definida per:
f (n) =
n, si n és múltiple de 3 n + 1, si el residu de dividir n per 3 és 1 n − 1 , si el residu de dividir n per 3 és 2
Calculeu f [A], si A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.
Deduïu que l’aplicació g : A → A definida per g(a) = f (a), si a ∈ A, és bijectiva.
Proveu que f és injectiva.
Calculeu f [B], si B = { 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 9 }.
Deduïu que l’aplicació h : B → B definida per h(b) = f (b), si b ∈ B, és bijectiva.
Proveu que f és exhaustiva.
29 Considerem els conjunts:
A = {n ∈ N : n ≥ 2 }, P = {p ∈ N : p és un nombre primer}
i les aplicacions f : A → P , g : P → A definides per:
f (n) = nombre primer més petit que divideix n g(p) = p^2
Calculeu g[{ 2 , 3 , 5 , 7 , 11 }] i f −^1 [{ 2 }].
Proveu que f ◦ g = IP. (IP és l’aplicació identitat de P .)
Proveu que f és exhaustiva.
Per a quins valors de n ∈ A se satisfà (g ◦ f )(n) = n?
Proveu que g és injectiva.
30 Considerem l’aplicació f : Z → Z definida per:
f (n) =
n/ 2 , si n és parell 2 n, si n és senar
Calculeu f [{ 0 , 1 , 2 , 4 , 8 }]. Deduïu que f no és injectiva.
Proveu que f és exhaustiva.
És f bijectiva?
38 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :
∑^ n
m=
(5m − 3) =
5 n^2 − n 2
39 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :
∑^ n
u=
(u^2 − u) =
n(n^2 − 1) 3
40 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :
∑^ n
t=
t^3 =
n^2 (n + 1)^2 4
41 Demostreu per inducció que per a tot n ≥ 1 :
∑^ n
p=
(p + 1)(p + 2)
n 2(n + 2)
Enters: divisibilitat
42 Siguin a, b ∈ Z i d = mcd(a, b). Proveu que mcd(2a, d) = d.
43 Siguin a, b ∈ Z primers entre ells. Proveu que si b és senar, llavors mcd(2a, b) = 1.
44 Siguin a, b ∈ Z primers entre ells i p, q nombres primers diferents. Proveu que mcd(pa, qb) és igual a 1 , p, q o pq.
45 Sigui p un nombre primer senar i a un enter parell. Proveu que mcd(a, 2 p) és igual a 2 o igual a 2 p.
46 Siguin p, q i tres nombres primers diferents i a un enter. Sabem que|a i que a = p ∙ N = q ∙ M , on N i M són enters. Proveu que mcd(N, M ) 6 = 1.
47 Siguin a, b, c, d enters. Proveu que si a | b i c | d, llavors ac | bd.
48 Siguin a, b, c, d enters. Proveu que si ac + bd = 1, llavors mcd(a, b) = 1.
49 Siguin a, b ∈ Z. Proveu que si mcd(a, a + b) = 1, llavors mcd(a, a − b) = 1.
50 Siguin a, b ∈ Z. Proveu que mcd(a, b) és un divisor de mcm(a, a + b).
51 Siguin a, b, c enters i p un nombre primer. Proveu que si p | ab, p | ac i mcd(b, c) = 1, llavors p | a.
52 Siguin a, b, c, d enters i r = mcd(a, b), s = mcd(c, d). Proveu que si a | c i b | d, llavors r | s.
53 Calculeu el màxim comú divisor dels nombres que s’indiquen i els coeficients x i y de la identitat de Bézout corresponent.
a b mcd(a, b) x y 603 651 3 − 95 88 484 460 4 − 19 20 792 599 1 − 90 119 317 482 1 111 − 73 643 524 1 251 − 308 430 721 1 166 − 99 372 348 12 − 14 15 696 467 1 − 104 155 431 636 1 − 121 82 680 593 1 − 259 297 545 433 1 58 − 73 384 748 4 − 37 19 794 591 1 230 − 309 560 502 2 26 − 29 391 505 1 31 − 24 686 651 7 − 37 39 722 667 1 − 97 105 310 685 5 42 − 19 558 314 2 − 9 16 388 657 1 127 − 75
1.2 Examen parcial 22/11/
1.3 Examen final 17/01/
60 Digueu si les afirmacions següents són certes o falses i justifiqueu la resposta.
(∀n ∈ Z)(∃a, b ∈ Z n = 5a + 7b)
Les proposicions ¬[((¬p) ∨ q) → r] i (¬p) ∧ q ∧ (¬r) són lògicament equivalents.
Si f : X → Y és una funció, llavors f (f −^1 (Y )) = Y.
61 Proveu que si a, b, c ∈ Z, llavors mcd(a, b) = mcd(bc − a, b).
62 Considerem l’aplicació f : Z 29 → Z 29 definida per f (x) = 22 ∙ x + 7
Proveu que f és bijectiva i trobeu la seva inversa.
Considerem l’alfabet de 29 símbols indicat a continuació i assignem a cada símbol el nombre que té a la dreta: A 0 F 5 K 10 P 15 U 20 Z 25 B 1 G 6 L 11 Q 16 V 21 26 (espai) C 2 H 7 M 12 R 17 W 22. 27 D 3 I 8 N 13 S 18 X 23 , 28 E 4 J 9 O 14 T 19 Y 24 Codifiquem cada frase escrita en l’alfabet anterior aplicant la regla de codificació x 7 → 22 x + 7 (mod 29) al valor numèric corresponent a cadascun dels símbols. Per exemple ‘AVUI’ és ‘0 21 20 8’ i es codificaria en ‘7 5 12 9’, o sigui ‘HFMJ’, ja que 0 7 → 7 , 21 7 → 5 , 20 7 → 12 , 8 7 → 9. Si el resultat d’una codificació ha estat el missatge ‘KZRT,AI’ (el que hi ha entre les cometes), quin era el missatge original?
63 Proveu que per a tot n ≥ 0 es compleix que 2 n+2^ + 3^2 n+1^ ≡ 0 (mod 7). (Indicació: pot fer-se per inducció, però també d’altres maneres.)
1.4 Exàmens de taller 2010–2011 Q
Lògica i raonament
64 Considerem els dos connectius lògics X i O definits per les taules de veritat que segueixen:
p q pXq pOq 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0
a) Expresseu el connectiu ∧ en funció únicament del connectiu X.
b) Expresseu el connectiu ∨ en funció únicament del connectiu X.
c) Expresseu el connectiu → en funció únicament del connectiu X.
d) Expresseu el connectiu ∧ en funció únicament del connectiu O.
e) Expresseu el connectiu ∨ en funció únicament del connectiu O.
f) Expresseu el connectiu → en funció únicament del connectiu O.
g) Expresseu el connectiu X en funció únicament del connectiu O.
h) Expresseu el connectiu O en funció únicament del connectiu X.
65 Doneu una condició necessària però no suficient perquè el nombre natural n sigui parell. Doneu una condició suficient però no necessària perquè el nombre natural n sigui parell. Justifiqueu les respostes.
66 És necessari que la suma de dos enters sigui parell perquè els dos nombres siguin parells? I suficient? Justifiqueu les respostes.
67 Doneu una condició necessària i suficient, diferent d’ella mateixa, perquè el nombre natural n sigui múltiple de 6. Doneu-ne també una de necessària però no suficient i una de suficient però no necessària. Justifiqueu les respostes.
68 Formalitzeu l’enunciat següent: ‘no hi ha més de dos enters diferents que compleixin la propietat P ’. Doneu una propietat P per a la qual l’enunciat sigui vertader i una altra propietat P per a la qual l’enunciat sigui fals. Justifiqueu les respostes.
69 Formalitzeu l’enunciat següent: ‘hi ha al menys tres enters diferents que compleixen la propietat P ’. Doneu una propietat P per a la qual l’enunciat sigui vertader i una altra propietat P per a la qual l’enunciat sigui fals. Justifiqueu les respostes.
70 Siguin A i B dos enunciats. De ‘A’ i de ‘si B, llavors A’, és correcte deduir ‘B’? Justifiqueu la resposta.
71 En una “demostració” trobem un primer apartat on a partir de p i de ¬q s’arriba a r i un segon apartat on a partir de ¬p i ¬r s’arriba a q. És una demostració de q ∨ r? És una demostració de q ∧ r? Justifiqueu les respostes.
- Siguin f : A → B una aplicació i P, Q ⊆ A.
a) És certa la implicació: f [P ] = f [Q] ⇒ P = Q? Justifiqueu la resposta. b) Proveu que si f és injectiva, llavors la implicació anterior és certa.
- Siguin A, B, C conjunts tals que A 6 = B i C 6 = ∅. Es pot donar el cas que A × C = B × C? Justifiqueu la resposta.
- Siguin g : A → B una aplicació i S, T ⊆ B.
a) És certa la implicació: f −^1 [S] = f −^1 [T ] ⇒ S = T? Justifiqueu la resposta. b) Proveu que si f és exhaustiva, llavors la implicació anterior és certa.
- Siguin A, B, C, D conjunts. Podem assegurar que
(A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (B × D)?
Justifiqueu la resposta.
- Siguin f : A → B una aplicació i C ⊆ A.
a) És certa la igualtat: f [A − C] = f [A] − f [C]? Justifica la resposta. b) Proveu que si f és injectiva, llavors la igualtat anterior és certa.
- Sigui X un conjunt no buit. Definiu a X una relació d’equivalència R tal que X/R tingui un element. Comproveu que es tracta d’una relació d’equivalència.
Principi d’inducció i divisibilitat
79 Proveu per inducció que si n ≥ 1 , llavors l’enter 6 ∙ 7 n^ − 2 ∙ 3 n^ és un múltiple de 4.
80 Proveu per inducció que si n ≥ 0 , llavors n
5 5 +^
n^3 3 +^
7 n 15 és un nombre enter.
81 Proveu per inducció que si n ≥ 0 , llavors 9 | [n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 ].
82 Proveu per inducció que si n ≥ 0 , llavors 73 | (8n+2^ + 9^2 n+1).
83 Proveu per inducció que si n ≥ 1 , llavors (2 2 nn)! ∈ Z.
84 Proveu per inducció que si n ≥ 1 , llavors (2 n!2n)!n ∈ Z.
85 Calculeu el màxim comú divisor dels nombres que s’indiquen i els coeficients x i y de la identitat de Bézout corresponent. a b mcd(a, b) x y 7658 3853 1 − 883 1755 9191 6987 1 − 1975 2598 5548 1727 1 80 − 257 3614 7752 2 1435 − 669 1084 4904 4 − 95 21 7084 3563 7 − 85 169 9176 7084 4 640 − 829 3419 9168 1 4403 − 1642 7119 6966 9 − 91 93 3643 8590 1 − 3353 1422 6312 2659 1 1276 − 3209 1628 9613 1 − 124 21 8304 1274 2 − 83 541
1.5 Examen parcial 28/04/
86 Considerem en R × R la relació següent:
(x, y)R(z, t) si, i només si, |x| + |y| = |z| + |t|.
Proveu que R és una relació d’equivalència.
Assenyaleu, en el pla, quins són els elements de la classe de (1, 0). Raoneu la resposta.
87 Siguin X, Y conjunts.
Proveu que P(X) ∪ P(Y ) ⊆ P(X ∪ Y ).
És certa l’inclusió contrària? Justifiqueu la resposta.
88 Sigui A un conjunt i f, g : A → A dues aplicacions tals que f ◦ g = IA.
Proveu que g és injectiva.
Proveu que f és exhaustiva.
Podem afirmar que g ◦ f = IA? Justifiqueu la resposta.