Folleto de matematicas basicas, Monografías, Ensayos de Matemáticas

¡Descarga Folleto de matematicas basicas y más Monografías, Ensayos en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Números reales

ab + ac = a ( b + c )

Elaborado y Recopilado por: Magístra Alba Castillo de Quiel

Factorización











 = / a , b ∈Ζ yb ≠ 0 b

a Q

CONTENIDO

1. NÚMEROS REALES

El conjunto numérico con el que aprendemos a contar es el Conjunto de Los Números

Naturales N ={ 1 , 2 , 3 , 4 ,...}. Cuando se trabaja solamente con este conjunto la sustracción no

siempre es posible, por ejemplo 4-4 y 8-12 no tienen respuesta en el conjunto de números

naturales. Surge entonces el Conjunto de Números Enteros Z ={... − 3 ,− 2 ,− 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,...}.

Este conjunto numérico no es cerrado para la división porque no siempre al dividir números enteros obtenemos como cociente un número entero, por ejemplo, al dividir − 14 ÷ (^2) obtenemos –7 que es un número entero, pero 2 ÷ − 14 no tienen solución en este

conjunto numérico. Para resolver esta situación surge el Conjunto de Números Racionales





 

 = ^ / a , b ∈Ζ yb ≠ 0 b

Q a .

Debemos observar que todo número entero es un número racional, es decir, el conjunto de los números enteros es un subconjunto de los números racionales, ya que todo número entero se puede escribir como un número racional con denominador 1, por la cual Z ⊂ Q.

Todo número racional, se puede representar también como un número decimal finito o un número decimal periódico, que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo:

8 1

_

1. 3333 3

1. 141414 99

Algunos números no pueden representarse como un cociente de dos números enteros, a ellos se les conoce como el Conjunto de Números Irracionales y se representan simbólicamente por I. Estos números pueden representarse como números decimales

infinitos no periódicos, por ejemplo: 2 = 1. 41421356 ... − π=− 3. 1415926 ... e = 2. 7182818 ... − 3 =− 1. 732 ...^3 7 = 1. 912 ... A la unión del Conjunto de Números Racionales y el Conjunto de Números Irracionales se le denomina Conjunto de Números Reales R, es decir, un número real puede ser natural, entero, racional o irracional; como lo muestra el siguiente esquema.

Números Reales R

Racionales Q

Irracionales I

Enteros Z

Naturales N

Negativos Cero (Opuestos de los Naturales)

El conjunto de números Reales puede representarse gráficamente sobre los puntos de una recta la cual llamaremos la recta real.

El conjunto de números Reales cumple la relación de orden, la cual establece que dados dos números reales cualesquiera a y b, se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

Es importante observar que en la recta real, todo número que esté a la derecha es mayor que cualquiera que este a su izquierda.

En ocasiones necesitamos trabajar con todo el Conjunto de Números Reales o con un subconjunto de él. Para representar estos conjuntos, utilizamos el concepto de intervalo. Un intervalo es un conjunto continuo de números reales.

Intervalo Notación de intervalo

Notación de conjunto

Representación gráfica

Abierto (^ a ,^ b ) {^ x^ ∈ℜ |a < x < b }

Cerrado [ a^ ,^ b ] {^ x^ ∈ℜ |a ≤ x ≤ b }

Semiabiertos

( a , b ]

[ a , b )

{ x ∈ℜ |a < x ≤ b }

{ x ∈ℜ |a ≤ x < b }

Infinitos

( a ,∞)

[ a ,∞)

( −∞, b )

( −∞, b ]

(− ∞,∞)

{ x ∈ℜ |a < x }

{ x ∈ℜ |a ≤ x }

{ x ∈ℜ |x < b }

{ x ∈ℜ |x ≤ b }

{ x ∈ ℜ | −∞< x <∞}

a

a

b

b

a (^) b

a b

a b

a (^) b

a b

a b

a b

>

=

<

RESPUESTAS

I. Parte

1. { x ∈ ℜ | − 5 < x ≤ 7 }

2. { x ∈ ℜ | − 8 ≤ x ≤ 4 }

x | x

x | x

x ∈ ℜ | − ≤ x 2

II. Parte

1. (^)  

4) [ − 4 , 4 ]

1. ( − 7 , 8 )

2. EXPONENTES

2.1 Propiedades de los exponentes.

a) Exponentes enteros positivos: Los exponentes enteros positivos se asocian a un número real para indicar la multiplicación

repetida de tal número. Por ejemplo escribimos x ⋅ x ⋅ x = x^3 , en donde el entero positivo 3 se llama exponente e indica que el número real x se repite tres veces como factor

xn^ = x. x. x ..... x n factores. El entero positivo n se llama exponente de x y el número

real x es la base. La expresión xn es una potencia y se lee como " x a la n-ésima potencia " o "x a la n".

Teorema 1: para todo número real x, siendo n un entero positivo:

1. Si, x > 0 , entonces xn > 0
2. Si x< 0, entonces x n > 0 si n es par
3. Si x<0, entonces x n <0 si n es impar.
4. Si x=0, entonces xn = 0
5. Si n =0, entonces xn = 1

Las leyes básicas para los exponentes se establecen lo siguiente:

Teorema 2: para cualesquiera, números reales “x” siendo m y n enteros positivos:

1. xn ⋅ xm = xm + n los exponentes se suman.
2. [ x m ] n^ = xmn los exponentes se multiplican
3. [ xy ] n^ = xn. yn
4. x^0^ = 1 Todo número real x elevado a 0=
5. (^) n mn

m x x

x (^) − = ó x m^ ÷ xn = xm − n Los exponentes se restan

1. Si m

RESPUESTAS

PRÁCTICA Nº

1). 15 a^3 b^7 ; 2). a^18 b^18 ; 3). − 2592 a^13 b^37 ; 4).^14253 2

x y z ; 5). (^) 5 5

2 3 a b

c ; 6). (^) 4

x

− y z ;

2

b

a ; 8). 25

27 ak −^2 b^8 k −^2 ; 9). 16

6561 x^6 y^25 ; 10). 2048 x^4 y^8

PRÁCTICA Nº

2

2 3 3 d

cy ; 2. 1; 3. 3 3

4 x (^) ; 4. 17

6

x

y ; 5.

4

a n − ; 6. 9x

2 n .

3. RADICALES

Raíz es una expresión algebraica que elevada a una potencia reproduce la expresión dada.

Así 2 a es la raíz cuadrada de 4 a^2 por que ( (^2) a ) (^2) = 4 a^2. Pero − 2 a también es raíz

cuadrada de 4 a^2 porque ( − 2 a ) 2 = 4 a^2.

Así 3x es raíz cúbica de 27 x^3 porque ( 3 x ) 3 = 27 x^3.

El signo de raíz es , llamado signo radical. Debajo de este signo se coloca la cantidad a

la cual se extrae la raíz llamada cantidad subradical.

El signo lleva un índice que indica la potencia a que hay que elevar la raíz para que

reproduzca la cantidad subradical. Por convención el índice 2 se suprime y cuando el signo

no lleva índice se entiende que el índice es 2.

Si una raíz indicada es exacta, tenemos una cantidad racional. Si no tiene raíz exacta, es irracional.

Así: 25 a^2 = + 5 a es una cantidad racional y 3 a es una cantidad irracional, este no tiene

raíz exacta.

El grado de un radical lo indica el índice de la raíz.2. Así: x es un radical de segundo

grado, 3 3 a es una radical de tercer grado.

3.1 Propiedades de los radicales.

3.1.1 Ley distributiva.

En la radicación no se cumple esta ley con relación a la suma y a la resta; esto es:

1. 36 + 64 no es igual 36 + 64. Observe:

1. 25 − 9 = 16 = 4 ;pero 25 − 9 = 5 − 3 = 2 no es igual.

La radicación es distributiva con relación a la multiplicación y a la división:

En efecto si tenemos: n^ a ⋅ b ⋅ c esto es igual a n^ a ⋅ nb ⋅ nc.

Ejemplo 1: Simplifique 4 a^2 x ⋅ 25 b^2.

Solución:

4 a^2^ x ⋅ 25 b^2 Es igual a 4 a^2^ ⋅ 25 b^2 porque 100 a^2 b^2 = 10 ab y ( 2 a ) ( 5 b ) = 10 ab.

En el caso de la división podemos aplicar la siguiente relación: si b

a

b

a es lo

mismo siempre y cuando b ≠0.

Ejemplo 2: Simplifique (^2)

2

9

b

a .

Solución:

b

a b

a b

a 3

2

2 2

2

−

Simplificación de radicales.

Es reducir a su más simple expresión. Un radical está reducido a su más simple expresión, cuando la cantidad subradical es entera y del menor grado posible. En la simplificación de radicales consideraremos los dos casos siguientes:

Caso 1: Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice.

Ejemplo 3: Simplifique 9 a^3 =.

( )

( ) 6 3 2 6 3 2 6 3 2

3 2 6 2 2 6 4 2

6 3 6 3

ax ax a x

ab ab ab

a a a

PRÁCTICA Nº

Reduzca al mínimo común índice:

1. 5 x ,^3 4 x^2 y ,^6 7 a^3 b 2. 3 2 ab ,^5 3 a^2 x ,^15 5 a^3 x^2 3. 4 8 a^2 x^3 ,^6 3 a^5 m^4
2. 2 m , 35 a^3 x^4 , 210 x^7 y^2.

3.2 Operaciones con radicales.

3.2.1 Suma y resta de radicales.

Se descomponen las cantidades subradicales y se extraen aquellas cantidades que se puedan sacar del radical, luego; se reducen los radicales semejantes y a continuación se escriben los radicales no semejantes con sus propios signo.

Ejemplo 6: Reduzca 45 a^2 + 80 x^2.

Solución:

45 a^2 + 80 x^2 = 32 ⋅ 5 a^2 + 24 ⋅ 5 x^2 = 3 a 5 + 4 x 5 = ( 3 a + 4 x ) 5

Ejemplo 7: Reduzca 2 2 ab^2 + 18 a^3 −( a + 2 b ) 2 a.

Solución:

( ) ( ) ( (^) b a a b ) (^) a a a

b a a a a b a b a a a a b a

2 3 2 2 2 2

PRÁCTICA Nº

Simplifique:

1. 25 ax^2 + 49 b − 9 ax^2
2. 2 m^2^ n − 9 m^2 n + 16 mn^2 − 4 mn^2
3. a 320 x − 7 5 a^2 x^ −( a − 4 b ) 5 x
4. 9 x − 9 + 4 x − 4 − 5 x − 1
5. a x ay a x y a^4 x a^4 y 4 4 2 2 + 3 − 9 + 27 + 25 + 75

3.2.2 Multiplicación de radicales

Regla:

Se multiplican los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, colocando este último producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.

Así que: an m × bn x = abnmx.

Ejemplo 8: Multiplique x + 1 + 2 x por 3 x + 1 − x.

Solución:

( x ) x x

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

= + + +

= + + + −

= + + + −

= + − + + + −

• • • −

2

2

2

2 2 2 2

3 5

3 3 5 2

3 1 5 2

3 1 6 2

1 2 3 1

PRÁCTICA Nº

Simplifique:

1. a + a + 1 por a + 2 a + 1 2. 2 a − 3 a − b por 3 a + a − b
2. 2 x + 2 − 2 por x + 2 − 3 4. (^2 )

a

ax x

× 5.

y y

x 2 6 3

2 ×^.

3.2.3 Multiplicación de radicales de distintos índice

Se reduce los radicales al mínimo índice, y se multiplican, como radicales del mismo índice.

Ejemplo 9: Multiplique x por 3 2 x^2. Solución:

(^6) ( (^) x^3 ). 6 ( 2 x^2 )^2 = 6 x^3.^6 4 x^4 =^6 4 x^7 = x^64 x.

PRÁCTICA Nº

Simplifique:

1. 3 2 ab. 46 8 a^3 2. 3 9 x^2 y.^6 81 x^5 3. 3 a^2 b^2. 2 4 3 a^3 b 4. 5 125 x^4 y. 5 y^5

3.2.4 División de radicales

División de radicales del mismo índice.

PRÁCTICA Nº

Simplifique:

ax

2 a

1. (^3 ) 4

a

27 x

x

mn

n 3

Al racionalizar el denominador de una fracción, cuando el denominador es un binomio que contiene radicales de segundo grado, se multiplican ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se simplifica el resultado.

La conjugada de una expresión es que defieren en el signo que une sus términos a b - c esa b + c.

Ejemplo 13: Racionalice a x

a x

Solución:

( )( ) ( )( )

a x a x

x

a ax ax x

a ax ax x a x a x

a x a x a x

a x

2a-x ax 4

2a ax

2 2

PRÁCTICA Nº

Simplifique:

1

x x

x x

2 2

n

n

a a

a a

a b a b

a b a b

• • −

RESPUESTAS

PRÁCTICA Nº

1. xy x

2 27 ; 2. 2 x^2^ y^3 z^4320 xz ; 3. 2 xy^2^5 xy^2 ; 4. (^2) x

y ; 5. (^2)

x

PRÁCTICA Nº

1.^4 5 ab ; 2. y 3 x ; 3. ax 7 a

2 ; 4. nx^3 m^2 x.

PRÁCTICA Nº

1.^6 125 x^3 ,^6 16 x^4 y^2 ,^6 7 a^3 b ; 2.^15 32 a^5 b^5 ,^15 27 a^6 x^3 ,^15 5 a^3 x^2 ; 3.^12 512 a^6 x^9 ,^12 9 a^10 m^8 4.^10 32 m^5 , 310 a^6 x^8 , 210 x^7 y^2

PRÁCTICA Nº

1. 2 x a + 7 b ; 2. 2 n m − m n ; 3. 4 b 5 x ; 4. 0 ; 5. 4 a x 3 y

2 +.

PRÁCTICA Nº

1. ( 3 a + 2 ) + 3 a^2 + a ; 2. ( 3 a + 3 b ) − 7 a^2 − ab ; 3. ( 2 x + 10 ) − 8 x + 2 ; 4. ax

ax

5. xy y

2

PRÁCTICA Nº

1. 24 a b ; 2. 3 x^6 9 x^3 y^2 ; 3. 2 a^12 27 a^5 b^11 ; 4. 5 y^2 10 5 x^8 y^7

PRÁCTICA Nº

1. 3y 3

; 2.^6 8a^3 b^2 ; 3. 2

3a ; 4.^12 12y^2 z

PRÁCTICA Nº

1. ax x

; 2.^3

2a

a ; 3.^4 3

x ; 4. mn 3m

5n

PRÁCTICA Nº

1. 2x - 1 - 2 x^2 − x ; 2. n

n + 4 + 2 2n+ 4 ; 3. 2

a + 2 − a^2 + 4 a ; 4.

( )( ) b

a − a + b a − b

4. PRODUCTOS NOTABLES

Entre los diversos productos algebraicos, hay algunos que debido a su forma reciben el nombre de Productos Notables. En los casos que veremos a continuación las letras representan números reales.

4.1 Binomio al Cuadrado

( ) 2 2

2 x ± a = x ± 2 ax + a

Para calcular el cuadrado de un binomio, se eleva al cuadrado el primer término, más o menos el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Ejemplos:

1. ( 3 a + 4 b ) 2 =( 3 a )^2 + 2 ( 3 a )( 4 b ) +( 4 b )^2 = 9 a^2 + 24 ab + 16 b^2

Ejemplos:

1. ( )( ) ( ) ( )^2 2 2 22 5 x + 115 x − 11 = 5 x − 11 = 25 x^4 − 121

7. 2 5 2 5 2 (^5 )

2

2 2 2 2 a

a a

a a

a  − 

2

4 25 4

a

a = −

1. ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x a^ + 3 yb 2 xa − 3 yb = 2 xa − 3 yb = 4 x^2 a^^ − 9 y^4^ b
2. ( m^2 − m + n )( n + m + m^2 ) =[( m 2 + n )− m ] [( m^2 + n )+ m ]

( ) (^ )^ 4 2 2 2

2 2 2

m 2 m n n m

m n m = + + −

4.5 Producto de la Forma ( ax + b )( cx + d )

( ax + b )( cx + d ) = acx^2 +( ad + bc ) x + bd

Caso Particular si a = c = 1 ( x + b )( x + d ) = x^2 +( b + d ) x + bd Ejemplos:

1. (y +7)(y + 4) = y^2 + (7 + 4)y + (7)(4) = y^2 +11y +

11. (x – 8)(x – 11) = x^2 + [( − 8 ) +( − 11 )] x +(− 8 )(− 11 )

= x^2 – 19x +

1. (y^3 – 7)(y^3 +5) = ( ) [( 7 ) 5 ] 3 ( 7 )( ) 5 3 2 y + − + y + − = y^6 – 2y^3 – 35

13. ( 3 x + 4 )( 2 x + 1 ) =( 3 )( 2 ) x^2 +[( 3 )( 1 ) +( 4 )( 2 )] x +( 4 )( 1 )

= 6x^2 + 11x + 4

1. ( 2 4 )( 3 5 ) ( )( ) 2 3 ( ) [( )( ) 2 5 ( 4 )( ) 3 ] 6 ( 4 )( ) 5 6 6 6 2 y − y + = y + + − y + − = 6y^12 - 2y^6 – 20

PRÁCTICA Nº

I. Resolver los productos indicados:

1. ( 6 a − 4 b )^2 R: 36 a^2 − 48 ab + 16 b^2
2. ( 1 − y^2 )^3 R: 1 − 3 y^2 + 3 y^4 − y^6

3) ( 0. 3 m − 1. 1 n )( 0. 3 m + 1. 1 n ) R: 0. 09 m^2 − 1. 21 n^2

1. ( a m^ + bn )( a m − bn ) R: a^2 m^ − b^2 n

2. ( ) 2 2 x − 2 x + 5 R:^ x^4 −^4 x^3 +^14 x^2 −^20 x +^25

3. ( y^2 − 3 y )( y^2 + 3 y ) R: y^4 − 9 y^2

4. ( ) 2 2 2 x + 3 x R:^^4 x^^4 +^12 x^3 +^9 x^2

5. ( ) 2 3 x − 2 y R:^ x^6^ − 6 x^4 y + 12 x^2 y^2 − 8 y^3

6. ( a − 11 ) ( a + 10 ) R: a^2 − a − 110

7. ( 12 − xy )^2 R: 144 − 24 xy + x^2 y^2

8. ( 7 ax − 2 )( 2 ax − 4 ) R: 14 a^2 x^2 − 32 ax + 8

2

5

m − n R:^^22 25

m − mn + n

1. ( x − y + 1 ) ( x − y − 1 ) R: x^2 − 2 xy + y^2 − 1

2. ( x^2 − 1 ) ( x^2 − 7 ) R: x^4 − 8 x^2 + 7

3. ( ) 2 3 x + 2 xy R:^ x^^6 +^6 x^5 y +^12 x^4 y^2 +^8 x^3 y^3

4. ( 3 x − 1 )( 0. 5 x + 6 ) R: 1. 5 x^2 + 17. 5 x − 6

17) ( x − 2 y + z − 3 r )^2 R:^ x^^2 +^4 y^2 + z^2 +^9 r^2 −^4 xy

• 2 xz − 6 xr − 4 yz + 12 yr − 6 zr

1. (^)  

x x R: 3 4

x − x −

1. ( x^2 y^3 + 3 ) ( x^2 y^3 − 1 ) R: x^4 y^6 + 2 x^2 y^3 − 3
2. ( 2 − x + y )( y − x − 2 ) R: y^2 − 2 xy + x^2 − 4

5. FACTORIZACION

La multiplicación consiste en obtener el producto de dos o más expresiones dadas, los cuales se llaman factores de ese producto. Ahora estudiaremos el caso inverso, que consiste en obtener los factores de un producto dado. Factorizar un polinomio significa expresarlo como un producto de polinomios irreductibles. Un polinomio con coeficientes en algún conjunto de números es primo o irreducible sobre ese conjunto, si no puede escribirse como producto de dos polinomios con coeficientes en el conjunto de números indicado.