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Libro digital de Matemática Básica: (MA420) Línea Ingeniería
Item Type info:eu-repo/semantics/book
Authors Alva Cabrera, Rubén Jesús; Arrue Reyes, José; Callo Moscoso,
Luis Alberto; Cárdenas Zavala, Germain Leonardo; Fernández
Quispe, Nedín Esteban; Figueroa Neyra, Walter Antonio; Medina
Martínez, Antonio Marcos; Mejía Delgado, Elías; Novoa Allagual,
Armando Alfredo; Reynaga Alarcón, Carlos; Ruiz Herrera,
Jenniel; Serquén Pisfil, Alejandro; Sueros Zarate, Jonathan
Abrahán; Tiza Domínguez, Mario Saul; Benturo Balavarca, Juan
Carlos; Quinch Flores, Eduardo; Mattos Quevedo, Juan
Publisher Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
Rights info:eu-repo/semantics/openAccess; Attribution-
NonCommercial-ShareAlike 4.0 International
Download date 22/03/2023 15:08:
Item License http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
Link to Item http://hdl.handle.net/10757/
Profesores MA420 i
Libro Digital:
Matemática Básica (MA420)
Línea Ingeniería
Autores:
Alva Cabrera, Rubén Jesús
Arrue Reyes, José
Benturo Balavarca, Juan Carlos
Callo Moscoso, Luis Alberto
Cárdenas Zavala, Germain Leonardo
Fernández Quispe, Nedín Esteban
Figueroa Neyra, Walter Antonio
Mattos Quevedo, Juan
Medina Martínez, Antonio Marcos
Mejía Delgado, Elías
Novoa Allagual, Armando Alfredo
Quincho Flores, Eduardo
Reynaga Alarcón, Carlos
Ruiz Herrera, Jenniel
Serquén Pisfil, Alejandro
Sueros Zarate, Jonathan Abrahán
Tiza Domínguez, Mario Saul
UNIVERSIDAD PERUANA DE
CIENCIAS APLICADAS
Profesores MA420 iii
Profesores MA420 ix
Introducción:
Este texto, al cual llamaremos libro digital , está diseñado para utilizarse en el curso de Matemática
Básica para ingeniería (MA420), curso que se dicta en la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
(UPC).
El contenido obedece a un objetivo fundamental: preparar adecuadamente a los alumnos para llevar
con éxito los cursos siguientes en cada una de sus carreras y por lo tanto contiene temas que servirán
de base a los mismos, además que la metodología usada obedece a un aprestamiento que el alumno
adquirirá para lograr su adaptación al proceso universitario.
El presente libro está pensado para que el docente, en cada sesión dedique un tiempo a:
✓ repasar lo más importante de los temas que se trabajaron en las sesiones anteriores.
✓ motivar el tema que corresponde a la sesión, ya sea presencial o virtual.
✓ que el alumno resuelva personalmente, en grupo o con las diferentes dinámicas que se puedan
emplear, los ejercicios y problemas planteados en cada sesión, a estos espacios de aprendizaje
los hemos llamado practiquemos en clase.
Después de cada sesión de clase el alumno tiene como reto seguir aprendiendo, para ello este libro
proporciona una lista de ejercicios propuestos a los que hemos llamado practiquemos más en casa y
a la vez una lista de ejercicios resueltos en vídeo, los cuales ayudarán al estudiante reforzar lo
aprendido en clase.
El libro también proporciona al estudiante todas las respuestas de los ejercicios y problemas
propuestos con la finalidad de que el estudiante pueda comprobar su autoaprendizaje y de ser
necesario revisarlas con el profesor Asistente de Aprendizaje a Distancia (AAD).
El éxito del curso no radica únicamente en el esfuerzo hecho para ofrecer este libro o en las clases
prácticas e integrales que trabajamos en este curso previo a las evaluaciones. Tampoco estará
centrado en el Profesor o en el asistente (AAD), sino fundamentalmente está dado por el esfuerzo y la
dedicación del alumno para lograr su propio aprendizaje. Los espacios para procurar aprendizaje están
propuestos, el aprovecharlos es lo que permitirá alcanzar el éxito deseado. En este aspecto hay una
frase de una canción que resume todo lo que se quiere indicar aquí: “…tienes que amar el tiempo de
los intentos…” , el procurarse un horario fijo de estudio y llevarlo a cabo, el participar constantemente
en clase, el preguntar, el trabajar correctamente en grupo, el investigar, el leer, el adelantar…, son los
tiempos de los intentos que se deben apreciar, si se logra esto, el éxito vendrá por añadidura.
Finalmente, en cada uno de los temas hacemos referencia al libro de James Stewart, séptima edición,
libro que nos sirvió como referencia básica para diseñar este texto y que sirve para que el estudiante
siga complementando sus aprendizajes dentro y fuera del salón de clase.
Mg. Alejandro Serquén Pisfil
Coordinador del equipo de autores
UPC, 2022
Profesores MA420 x
Conocimientos previos
Ecuaciones e Inecuaciones
LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE: Al finalizar la sesión, el estudiante reconoce y resuelve ecuaciones e
inecuaciones, aplicando propiedades e identificando su CVA. Demostrando responsabilidad y capacidad de
aprender por su propia cuenta.
CONTENIDO
MOTIVACIÓN
1.1. Intervalos
1.2. Ecuaciones
1.3. Inecuaciones
1.4. Practiquemos en clase
1.5. Practiquemos más en casa
Profesores MA420 xii
1.1 INTERVALOS
En esta sección se estudia los diferentes tipos de intervalos que podemos encontrar en la recta numérica, es así
que es importante que se conozca el concepto de recta numérica y cómo se representa esta gráficamente.
La recta numérica Real
Es una recta geométrica, donde a cada número real le corresponde uno y solo un punto de la recta, y a cada
punto de la recta de los números reales le corresponde a uno y solo un número real.
Definición de intervalo
Los intervalos son un subconjunto de los números reales; que gráficamente son segmentos de recta o semirrecta;
y sus elementos satisfacen ciertas desigualdades.
intervalos abiertos: Dados 𝑎 y 𝑏 dos números reales, con 𝑎 < 𝑏. Se denomina intervalo abierto al conjunto de
todos los números reales cuyos elementos 𝑥 cumplen: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏.
Notación y descripción de conjunto: ]𝑎; 𝑏[= {𝑥 ∈ ℝ / 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
Gráfica de un intervalo abierto
Intervalo cerrado Dados 𝑎 y 𝑏 dos números reales, con 𝑎 ≤ 𝑏. Se denomina intervalo cerrado al conjunto de
todos los números reales cuyos elementos 𝑥 cumplen: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
Notación y descripción de conjunto:
[
]
Gráfica de un intervalo cerrado
−∞ +∞ 𝑎
−∞ +∞ 𝑎
Negativos Positivos
−𝟐 −𝟏 𝟎 𝟏 𝟐
∞
− ∞
−
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
ξ𝟐
Profesores MA420 xiii
A continuación, presentamos una tabla de intervalos
Notación Descripción Gráfica
]𝑎 ; 𝑏[
[𝑎 ; 𝑏]
[𝑎 ; 𝑏[ {
]𝑎 ; 𝑏]
]𝑎 ; +∞[
[𝑎 ; +∞[
] − ∞ ; 𝑏[
] − ∞; 𝑏]
Tabla de intervalos Notación, descripción como conjuntos y gráfica
Unión de intervalos
La unión entre intervalos se obtiene al reunir los elementos de dos o más intervalos. Para dos intervalos 𝑨 y
𝑩 , su unión se denota 𝑨 ∪ 𝑩.
En conclusión:
Intersección de intervalos
La intersección entre intervalos se obtiene al reunir los elementos comunes entre dichos intervalos. Para dos
intervalos 𝑨 y 𝑩 , su intersección se denota 𝑨 ∩ 𝑩.
En conclusión:
Ejemplo: Hallar la unión e intersección de los siguientes intervalos 𝐴 =] 2 ; 4 ] y 𝐵 =] 3 ; +∞[
Solución: Graficamos en una misma recta los intervalos 𝐴 y 𝐵.
Respuesta: 𝐴 ∪ 𝐵 =] 2 ; +∞ [ y 𝐵 ∩ 𝐴 =] 3 ; 4 ]
−∞ +∞
𝑎 𝑏
+∞
−∞ 𝑎 𝑏
−∞ +∞
𝑎 𝑏
+∞
−∞ 𝑎 𝑏
−∞ +∞
𝑎
+∞
−∞ 𝑎
−∞ 𝑏 +∞
−∞ 𝑏 +∞
−∞ +∞
−∞ +∞
Profesores MA420 xv
b.
3
𝑥− 1
𝑥
𝑥+ 2
Solución: b) De la expresión racional
3
𝑥− 1
𝑥
𝑥+ 2
, tenemos las siguientes restricciones para el CVA
CVA =
Respuesta: CVA = ℝ −
Expresión irracional
Son aquellas expresiones en la cual se identifica que la variable está con elevación a una potencia que no es
entera. El CVA de una expresión irracional de la forma √𝐸(𝑥)
𝑛
, donde 𝑛 es par está dado por el conjunto que
satisface: 𝐸(𝑥) ≥ 0 ; Así:
𝑛
⟹ CVA =
Ejemplo:
a. Determine el CVA de ξ𝑥 − 1
b. Determine el CVA de
𝑥+ 4
ξ
2 −𝑥
c. Determine el CVA de
(𝑥− 4 )
(𝑥− 5 ) ξ
𝑥− 2
d. Determine el CVA de
𝑥+ 4
ξ
𝑥+ 4 − 2
Solución:
a. Hallaremos el CVA de la expresión racional ξ
𝑥 − 1 , viendo sus restricciones, tenemos que:
CVA =
Respuesta: CVA = [ 1 ; +∞[
b. De la misma manera que el ejemplo a, determinaremos sus restricciones de
𝑥+ 4
ξ
2 −𝑥
CVA =
Respuesta: CVA =] − ∞ ; 2 [
−∞ +∞ 1
−∞
+∞
2
Profesores MA420 xvi
c. Determinaremos el CVA de la siguiente expresión algebraica
(𝑥− 4 )
(𝑥− 5 ) ξ
𝑥− 2
CVA = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 − 2 > 0 ∧ 𝑥 − 5 ≠ 0 }
Respuesta: CVA =] 2 ; +∞[−{ 5 }
d. Determinaremos el CVA de la siguiente expresión algebraica
𝑥+ 4
ξ
𝑥+ 4 − 2
CVA = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 + 4 ≥ 0 ∧
ξ
ξ
Respuesta: CVA = [− 4 ; +∞[−{ 0 }
1.2 ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones. Dichas expresiones se llaman miembros de la ecuación. Por
ejemplo, dada la siguiente ecuación:
La expresión 2
recibe el nombre de primer miembro y la expresión 3
se llama segundo miembro.
Ecuaciones lineales:
Cualquier ecuación que se pueda escribir en la forma:
donde 𝑎 y 𝑏 son constantes y 𝑥 una variable, se llama ecuación de primer grado de una variable. La solución de
la ecuación lineal es: 𝑥 =
−𝑏
𝑎
Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones lineales.
a. 3 𝑥 + 2 (𝑥 + 1 ) = 3 (𝑥 + 2 )
b.
𝑥− 2
5
2 − 3 𝑥
2
1
3
+∞
−∞ 2 5
+∞
−∞ − 4 0
Profesores MA420 xviii
Para resolver este tipo de ecuación se puede aplicar el método de completar cuadrados y luego emplear la
solución obtenida como una fórmula. Así:
2
−𝑏 ± ξ𝑏
2
Esta última ecuación se llama fórmula cuadrática , la cual se debe memorizar y usar para resolver ecuaciones
cuadráticas cuando no se pueda emplear los métodos por factorización que describiremos más adelante.
Nota : Este método es aplicable aun cuando la ecuación se pueda factorizar fácilmente.
Ejemplo : Determine el conjunto solución de la ecuación: 6 𝑥
2
Solución: Identificamos 𝑎 = 6 ; 𝑏 = 1 ; 𝑐 = − 15. Luego reemplazamos estos valores en la formula general:
−𝑏 ± ξ𝑏
2
− 4 ac
2
− 1 ± ξ 1 + 360
− 1 ± ξ 361
Por lo tanto, las respuestas son:
1
− 1 + ξ
361
12
18
12
3
2
y 𝑥
2
− 1 − ξ
361
12
− 20
12
− 5
3
El conjunto solución es:
CS = {
2
: Multiplicamos por
1
𝑎
ambos miembros de la ecuación
2
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
: Sumamos −
𝑐
𝑎
a ambos miembros de la ecuación
2
𝑏
𝑎
𝑏
2
4 𝑎
2
𝑐
𝑎
𝑏
2
4 𝑎
2
Sumamos
𝑏
2
4 𝑎
2
a ambos miembros de la ecuación
2
2
2
: Completamos cuadrados
2
2
: Resolvemos la ecuación
Profesores MA420 xix
Solución por factorización:
A continuación, mencionamos los siguientes métodos de factorización:
- factorización por término común.
- factorización por diferencia de cuadrados.
- factorización por aspa simple.
Ejemplo : Resolver las siguientes ecuaciones:
a. 𝑥
2
b. 2 𝑥
2
Solución : a) De la ecuación 𝑥
2
- 3 𝑥 = 0 , Factorizamos “𝑥” que es el término común consiguiendo:
Igualando ambos factores a 0 , obtenemos:
1
2
La solución es:
CS =
Solución b) Factorizamos con aspa simple la siguiente ecuación 2 𝑥
2
Los factores quedan ordenados de la siguiente manera:
1
2
El conjunto solución es:
CS = {
Ecuaciones racionales
Son aquellas ecuaciones en donde se identifica algún término como una expresión algebraica racional sin que
este se cancele. Veamos el siguiente ejemplo de una ecuación racional:
2
Para resolver este tipo de ecuaciones, por lo general, debemos considerar los siguientes pasos:
- Paso 1. Determinamos su conjunto de valores admisibles ( CVA )
- Paso 2. Seguidamente, transformaremos la ecuación racional, en una ecuación del tipo polinomial. De
aquí, se obtiene un conjunto de valores para la variable 𝑥.
- Paso 3. Finalmente, el conjunto solución de la ecuación racional, es la intersección entre los conjuntos
obtenidos en los pasos 1 y 2.
2
