¡Descarga formulario de integrales y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Formulario de Prec´alculo.
1. Los N´umeros.
- Leyes de los exponentes y radicales.
a) a m a n = a m+n b) (a m ) n = a mn c) (ab) n = a n b n
d )
a
b
)n
an
bn^
e)
am
an^
= a m−n f ) a −n =
an
g) a^1 /n^ = n
a h) am/n^ = n
am^ i) am/n^ = ( n
a)
m
j )
n
ab =
√n a
n
b k ) n
a
b
n
a n
b
l ) m
√n a = mn^ √ a
- Productos Notables.
a) Binomios Conjugados: (x + y)(x − y) = x^2 − y^2
b) Binomio al Cuadrado: (x ± y)^2 = x^2 ± 2 xy + y^2
c) Binomio al Cubo: (x ± y)^3 = x^3 ± 3 x^2 y + 3xy^2 ± y^3
d ) (x + y)
2 = x 2
e) (x − y)
2 = x 2 − 2 xy + y 2
f ) (x + y)
3 = x 3
g) (x − y)
3 = x 3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3
h) (x + y)
4 = x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 xy^3 + y^4
i) (x − y)
4 = x^4 − 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 − 4 xy^3 + y^4
j ) (x + y)
5 = x^5 + 5 x^4 y + 10 x^3 y^2 + 10 x^2 y^3 + 5 xy^4 + y^5
k ) (x − y)
5 = x 5 − 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 − 10 x 2 y 3
- Teorema del Binomio. Sea n ∈ N, entonces:
(x + y) n =
∑^ n
r=
n
r
x n−r y r
Nota:
n
r
= (^) nCr =
n!
r!(n − r)!
- Factores Notables.
a) Diferencia de Cuadrados: x^2 − y^2 = (x + y)(x − y)
b) Suma de Cubos: x 3
- y 3 = (x + y)(x 2 − xy + y 2 )
c) Diferencia de Cubos: x 3 − y 3 = (x − y)(x 2
d ) Trinomio Cuadrado Perfecto: x 2 ± 2 xy+y 2 = (x±y) 2
e) x^2 − y^2 = (x − y) (x + y)
f ) x^3 − y^3 = (x − y)
x^2 + xy + y^2
g) x 3
x 2 − xy + y 2
h) x 4 − y 4 = (x − y) (x + y)
x 2
i) x 5 − y 5 = (x − y)
x 4
j ) x 5
x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3
k ) x^6 −y^6 = (x − y) (x + y)
x^2 + xy + y^2
x^2 − xy + y^2
l ) x^4 + x^2 y^2 + y^4 =
x^2 + xy + y^2
x^2 − xy + y^2
m) x 4
x 2 − 2 xy + 2 y 2
x 2
- Leyes de los logaritmos.
a) loga(P Q) = loga(P ) + loga(Q)
b) loga
P
Q
= loga(P ) − loga(Q)
c) loga(Q n ) = n loga(Q)
d ) aloga^ (x)^ = x
e) loga(ax) = x
f ) loga(1) = 0
g) a loga (a) = 1
h) log(x) = log 10 (x)
i) ln(x) = loge(x)
j ) Cambio de base: loga(Q) =
logb(Q)
logb(a)
2. Soluciones Exactas de ecuacio-
nes Algebraicas
- Soluciones Exactas de Ecuaciones Algebraicas.
a) La Ecuaci´on Cuadr´atica: ax 2
- bx + c = 0 tiene soluciones:
x =
−b ±
b^2 − 4 ac
2 a
El n´umero b^2 − 4 ac se llama discriminante de la ecua- ci´on. i) Si b^2 − 4 ac > 0 las ra´ıces son reales y diferentes. ii) Si b^2 − 4 ac = 0 las ra´ıces son reales e iguales. iii) Si b^2 − 4 ac < 0 las ra´ıces son complejas conjuga- das.
b) Para la Ecuaci´on C´ubica: x^3 + ax^2 + bx + c = 0 sean:
Q =
3 b − a 2
, R =
9 ab − 27 c − 2 a 3
S =
3
R +
Q^3 + R^2 , T =
3
R −
Q^3 + R^2
Entonces las soluciones son:
x 1 =S + T −
a
3
x 2 = −
S + T
a
3
(S − T )
i
x 3 = −
S + T
a
3
(S − T )
i
El n´umero Q^3 +R^2 se llama discriminante de la ecua- ci´on. i) Si Q^3 + R^2 > 0, hay una ra´ız real y dos son com- plejas conjugadas. ii) Si Q^3 + R^2 = 0, las ra´ıces son reales y por lo me- nos dos son iguales. iii) Si Q 3
- R 2 < 0, las ra´ıces son reales y diferentes.
3. Funciones Trigonom´etricas.
3.1. Relaciones entre Funciones Trigo-
nom´etricas.
csc(A) =
sen(A)
sen^2 (A) + cos^2 (A) = 1
sec(A) =
cos(A)
sec^2 (A) − tan^2 (A) = 1
tan(A) =
sen(A)
cos(A)
csc^2 (A) − cot^2 (A) = 1
cot(A) =
cos(A)
sen(A)
tan(A)
3.2. Potencias de Funciones Trigonom´etricas.
sen^2 (A) = 1 2
1 2 cos(2A)
cos 2 (A) = 1 2 +^
1 2 cos(2A)
sen 3 (A) = 3 4 sen(A)^ −^
1 4 sen(3A)
cos^3 (A) = 3 4 cos(A) + 1 4 cos(3A)
sen 4 (A) = 3 8 −^
1 2 cos(2A) +^
1 8 cos(4A)
cos 4 (A) = 3 8 +^
1 2 cos(2A) +^
1 8 cos(4A)
sen^5 (A) = 5 8 sen(A) − 5 16 sen(3A) + 1 16 sen(5A)
cos 5 (A) = 5 8 cos(A) +^
5 16 cos(3A) +^
1 16 cos(5A)
3.3. Suma, Diferencia y Producto las Funcio-
nes Trigonom´etricas.
sen(A) + sen(B) = 2 sen
A+B 2
cos
A−B 2
sen(A) − sen(B) = 2 sen
A−B 2
cos
A+B 2
cos(A) + cos(B) = 2 cos
A+B 2
cos
A−B 2
cos(A) − cos(B) = 2 sen
A+B 2
sen
B−A 2
sen(A) sen(B) = 1 2
[
cos(A − B) − cos(A + B)
]
cos(A) cos(B) = 1 2
[
cos(A − B) + cos(A + B)
]
sen(A) cos(B) = 1 2
[
sen(A − B) + sen(A + B)
]
4. Funciones Hiperb´olicas.
Seno hiperb´olico de x = senh(x) =
e x − e −x
Coseno hiperb´olico de x = cosh(x) =
e x
Tangente hiperb´olica de x = tanh(x) =
ex^ − e−x
ex^ + e−x
Cosecante hiperb´olica de x = csch(x) =
ex^ − e−x
Secante hiperb´olica de x = sech(x) =
ex^ + e−x
Cotangente hiperb´olica de x = coth(x) =
ex^ + e−x
ex^ − e−x
4.1. Relaci´on entre las Funciones Hiperb´olicas.
tanh(x) =
senh(x)
cosh(x)
coth(x) =
tanh(x)
cosh(x)
senh(x)
sech(x) =
cosh(x)
csch(x) =
senh(x)
cosh
2 (x) − senh
2 (x) = 1
sech
2 (x) + tanh
2 (x) = 1
coth
2 (x) − csch
2 (x) = 1
Funciones Hiperb´olicas Inversas:
Funci´on: Su Derivada:
f = arcsenh(u) f ′^ =
u′ √ 1 + u^2
f = arccosh(u) f ′ =
u ′ √ u^2 − 1
; |u| > 1
f = arctanh(u) f ′ =
u′
1 − u^2
; |u| < 1
f = arccsch(u) f ′ = −
u′
|u|
1 + u^2
; u 6 = 0
f = arcsech(u) f ′^ = −
u ′
u
1 − u^2
; 0 < u < 1
f = arccoth(u) f ′ =
u′
1 − u^2
; |u| > 1
Integrales.
En este formulario: k, w, C ∈ R son constantes reales, u = u(x)
y v = v(x) son funciones que dependen de x.
F´ormulas B´asicas.
0 dx = C
kdx = kx + C
(k · u ± w · v)dx = k
udx + w
vdx + C
- Regla de la potencia
u n du = un+ n+1 para^ n^6 =^ −1.
- Regla exponencial
e u du = e u
- Regla logar´ıtmica
ln |u| du = u ln |u| − u
∫ audu =
a u
ln(a)
+ C
∫ du
u
= ln |u| + C
Trigonom´etricas.
sen udu = − cos u
cos udu = sen u
tan udu = ln[sec u] = − ln[cos u] + C
cot udu = ln sen u
sec udu = ln[sec u + tan u] = ln
[
tan
u 2 +^
π 4
)]
csc udu = ln[csc u − cot u] = ln
[
tan u 2
]
sec 2 udu = tan u
csc 2 udu = − cot u
tan^2 udu = tan u − u
cot^2 udu = − cot u − u
sen^2 udu = u 2 − sen 2u 4
2 [u − sen u cos u]
cos 2 udu = u 2 +^
sen 2u 4 =^
1 2 [u^ + sen^ u^ cos^ u]
sec u tan udu = sec u
csc u cot udu = − csc u
Hiperb´olicas.
senh udu = cosh u
cosh udu = senh u
tanh udu = ln[cosh u]
coth udu = ln[senh u]
sechudu = sen−^1 [tanh u] = 2 tan−^1 [eu]
cschudu = ln
[
tanh u 2
]
= −2 coth − 1 [eu]
sech
2 udu = tanh u
csch 2 udu = − coth u
tanh 2 udu = u − tanh u
coth 2 udu = u − coth u
senh 2 udu = senh 2u 4 − u 2
2 [senh u cosh u − u]
cosh
2 udu = senh 2u 4 +^
u 2 =^
1 2 [senh^ u^ cosh^ u^ +^ u]
sechu tanh udu = −sechu
cschu coth udu = −cschu
Integrales con au + b.
du au+b
1 a ln (au + b)
udu au+b
u a
b a^2 ln (au + b)
u^2 du au+b =^
(au+b)^2 2 a^3 −^
2 b(au+b) a^3 +^
b^2 a^3 ln (au^ +^ b)
u^3 du au+b
(au+b)^3 3 a^4
3 b(au+b)^2 2 a^4
3 b^2 (au+b) a^4
b^3 a^4 ln (au + b)
du u(au+b) =^
1 b ln
u au+b
du u^2 (au+b)
bu
au+b u
du (au+b)^2
= −^1
a(au+b)
udu (au+b)^2 =^
b a^2 (au+b) +^
1 a^2 ln (au^ +^ b)
u^2 du (au+b)^2 =^
au+b a^3 −^
b^2 a^3 (au+b) −^
2 b a^3 ln (au^ +^ b)
du u(au+b)^2 =^
1 b(au+b) +^
1 b^2 ln
u au+b
du u^2 (au+b)^2
−a b^2 (au+b)
1 b^2 u
2 a b^3 ln
au+b u
du (au+b)^3
− 1 2(au+b)^2
udu (au+b)^3
− 1 a^2 (au+b)
b 2 a^2 (au+b)^2
u^2 du (au+b)^3
2 b a^3 (au+b)
b^2 2 a^3 (au+b)^2
1 a^3 ln (au + b)
(au + b) du =
(au+b)^2 2 a
(au + b)
n du =
(au+b)n+ (n+1)a para^ n^6 =^ −^1
u (au + b)
n du =
(au+b)n+ (n+2)a^2 −^
b(au+b)n+ (n+1)a^2 para^ n^6 =^ −^1 ,^ −^2
u 2 (au + b)
n du =
(au+b)n+ (n+3)a^3 −^
2 b(au+b)n+ (n+2)a^3 +^
b^2 (au+b)n+ (n+1)a^3
para n 6 = − 1 , − 2 , − 3
um^ (au + b)
n du =
um+1(au+b)n m+n+1 +^
nb m+n+
u m (au + b)
n− 1 du
um(au+b)n+ (m+n+1)a
mb (m+n+1)a
um−^1 (au + b)
n du
−um+1(au+b)n+ (n+1)b
m+n+ (n+1)b
um^ (au + b)
n+ du
Integrales con
au + b.
√du au+b
2
√ au+b a
√udu au+b
2(au− 2 b) 3 a^2
au + b
√u^2 du au+b
(^2) ( 3 a^2 u^2 − 4 ab u+8b^2 ) 15 a^3
au + b
du u
√ au+b
√^1 b ln
au+b−
√ √ b au+b+
√ b
√^2 −b tan − 1
au+b −b
du u^2
√ au+b
√ au+b bu −^
a 2 b
du u
√ au+b
au + b du =
2
(au+b)^3 3 a
u
au + b du =
2(3au− 2 b) 15 a^2
(au + b)
3
u^2
au + b du =
(^2) ( 15 a^2 u^2 − 12 ab u+8b^2 ) 105 a^3
(au + b)
3
au+b u du = 2
au + b + b
du u
√ au+b
au+b u^2 du^ =^ −^
√ au+b u +^
a 2
du u
√ au+b
√um au+b du = 2 um
√ au+b (2m+1)a −^
2 mb (2m+1)a
√um−^1 au+b du
du um^
√ au+b
√ au+b (m−1)bum−^1
(2m−3)a (2m−2)b
du um−^1
√ au+b
u m
au + bdu = 2 um (2m+3)a (au + b) 3 / 2
2 mb (2m+3)a
u m− 1
au + bdu
au+b um^ du^ =^ −^
√ au+b (m−1)um−^1 +^
a 2(m−1)
du um−^1
√ au+b
au+b um^ du =
−(au+b)^3 /^2 (m−1)bum−^1
(2m−5)a (2m−2)b
au+b um−^1 du
(au + b) m/ 2 du =
2(au+b)(m+2)/^2 a(m+2)
u(au + b)m/^2 du =
2(au+b)(m+4)/^2 a^2 (m+4)
2 b(au+b)(m+2)/^2 a^2 (m+2)
u^2 (au + b)m/^2 du = 2(au+b)(m+6)/^2 a^3 (m+6)
4 b(au+b)(m+4)/^2 a^3 (m+4)
2 b^2 (au+b)(m+2)/^2 a^3 (m+2)
∫ (^) (au+b)m/ 2 u du =
2(au+b)m/^2 m
∫ (^) (au+b)(m−2)/ 2 u du
∫ (^) (au+b)m/ 2 u^2 du^ =^ −^
(au+b)(m+2)/^2 bu +^
ma 2 b
∫ (^) (au+b)m/ 2 u du
du u(au+b)m/^2
2 b(m−2)(au+b)(m−2)/^2
1 b
du u(au+b)(m−2)/^2
Integrales con u
2
+ a
2
du u^2 +a^2
a tan−^1 u a
udu u^2 +a^2 =^
1 2 ln^
u 2
u^2 du u^2 +a^2 =^ u^ −^ a^ tan
− 1 u a
u^3 du u^2 +a^2 =^
u^2 2 −^
a^2 2 ln^
u 2
du u(u^2 +a^2 ) =^
1 2 a^2 ln
u^2 u^2 +a^2
du u^2 (u^2 +a^2 ) =^ −^
1 a^2 u −^
1 a^3 tan
− 1 u a
du u^3 (u^2 +a^2 ) =^ −^
1 2 a^2 u^2 −^
1 2 a^4 ln
u^2 u^2 +a^2
du (u^2 +a^2 )^2 =^
u 2 a^2 (u^2 +a^2 ) +^
1 2 a^3 tan
− 1 u a
udu (u^2 +a^2 )^2 =^
− 1 2(u^2 +a^2 )
u^2 du (u^2 +a^2 )^2 =^
−u 2(u^2 +a^2 ) +^
1 2 a tan
− 1 u a
u^3 du (u^2 +a^2 )^2 =^
a^2 2(u^2 +a^2 ) +^
1 2 ln(u
2
du u(u^2 +a^2 )^2 =^
1 2 a^2 (u^2 +a^2 ) +^
1 2 a^4 ln
u^2 (u^2 +a^2 )
du u^2 (u^2 +a^2 )^2 =^ −^
1 a^4 u −^
u 2 a^4 (u^2 +a^2 ) −^
3 2 a^5 tan
− 1 u a
du u^3 (u^2 +a^2 )^2 =^ −^
1 2 a^4 u^2 −^
1 2 a^4 (u^2 +a^2 ) −^
1 a^6 ln
u^2 u^2 +a^2
du (u^2 +a^2 )n^ =^
u 2 a^2 (n−1)(u^2 +a^2 )n−^1 +^
2 n− 3 (2n−2)a^2
∫ du (u^2 +a^2 )n−^1
udu (u^2 +a^2 )n^
− 1 2(n−1)(u^2 +a^2 )n−^1
du u(u^2 +a^2 )n^ =^
1 2 a^2 (n−1)(u^2 +a^2 )n−^1 +^
1 a^2
∫ du u(u^2 +a^2 )n−^1
um^ du (u^2 +a^2 )n^ =
∫ um−^2 du (u^2 +a^2 )n−^1 −^ a
2
∫ um−^2 du (u^2 +a^2 )n
du um^ (u^2 +a^2 )n^
1 a^2
∫ du um^ (u^2 +a^2 )n−^1
1 a^2
∫ du um−^2 (u^2 +a^2 )n
du u^2 (u^2 +a^2 )3/^
√ u^2 +a^2 a^4 u −^
u a^4
√ u^2 +a^2
du u^3 (u^2 +a^2 )3/^
= −^1
2 a^2 u^2
√ u^2 +a^2
2 a^4
√ u^2 +a^2
3 2 a^5 ln
a+
√ u^2 +a^2 u
u^2 + a^2
du =
u(u^2 +a^2 ) 3/
4
3 a^2 u
√ u^2 +a^2 8
3 8 a
4 ln
u +
u^2 + a^2
u
u^2 + a^2
du =
(u^2 +a^2 ) 5/
5
u 2
u 2
du =
u(u^2 +a^2 ) 5/
6 −^
a^2 u(u^2 +a^2 ) 3/
24
a^4 u
√ u^2 +a^2 16
a^6 16 ln
u +
u^2 + a^2
∫ (^) (u^2 +a^2 )3/ u du^ =
(u (^2) +a 2 )
3/
3 +^ a
2
u^2 + a^2
− a 3 ln
a+
√ u^2 +a^2 u
∫ (^) (u^2 +a^2 )3/ u^2 du^ =^ −^
(u (^2) +a 2 )
3/
u +^
3 u
√ u^2 +a^2 2
3 2 a
2 ln
u +
u^2 + a^2
∫ (^) (u^2 +a^2 )3/ u^3 du = −
(u (^2) +a 2 )
3/
2 u^2
3 2
u^2 + a^2
3 2 a^ ln
a+
√ u^2 +a^2 u
Integrales con
u^2 − a^2.
√du u^2 −a^2 = ln
u +
u^2 − a^2
√udu u^2 −a^2
u^2 − a^2
√u^2 du u^2 −a^2
u
√ u^2 −a^2 2
2 2 ln
u +
u^2 − a^2
√u^3 du u^2 −a^2
(u 2 −a 2 )
3 / 2
3 +^ a
2
u^2 − a^2
du u
√ u^2 −a^2
1 a sec
− 1
u a
du u^2
√ u^2 −a^2
√ u^2 −a^2 a^2 u
du u^3
√ u^2 −a^2
√ u^2 −a^2 2 a^2 u^2 +^
1 2 a^3 sec
− 1
u a
u^2 − a^2 du = u
√ u^2 −a^2 2 −^
a^2 2 ln^
u +
u^2 − a^2
u
u^2 − a^2 du =
(u (^2) −a 2 )
3 / 2
3
u 2
u^2 − a^2 du =
u(u^2 −a^2 ) 3 / 2
4 +^
a^2 u
√ u^2 −a^2 8
a^4 8 ln^
u +
u^2 − a^2
u^3
u^2 − a^2 du =
(u (^2) −a 2 )
5 / 2
5
a^2 (u^2 −a^2 ) 3 / 2
3
u^2 −a^2 u du^ =^
u^2 − a^2 − a sec − 1 u a
u^2 −a^2 u^2 du^ =^ −^
√ u^2 −a^2 u + ln^
u +
u^2 − a^2
u^2 −a^2 u^3 du^ =^ −^
√ u^2 −a^2 2 u^2 +^
1 2 a sec
− 1 u a
du (u^2 −a^2 )3/^
u a^2
√ u^2 −a^2
udu (u^2 −a^2 )3/^
√−^1 u^2 −a^2
u^2 du (u^2 −a^2 )3/^
√u u^2 −a^2
u +
u^2 − a^2
u^3 du (u^2 −a^2 )3/^
u^2 − a^2 − √a^2 u^2 −a^2
du u(u^2 −a^2 )3/^
− 1 a^2
√ u^2 −a^2
1 a^3 sec
− 1 u a
du u^2 (u^2 −a^2 )3/^
√ u^2 −a^2 a^4 u −^
u a^4
√ u^2 −a^2
du u^3 (u^2 −a^2 )3/^
1 2 a^2 u^2
√ u^2 −a^2
3 2 a^4
√ u^2 −a^2
3 2 a^5 sec
− 1 u a
u 2 − a 2
du =
u(u^2 −a^2 ) 3/
4 −^
3 a^2 u
√ u^2 −a^2 8
3 8 a
4 ln
u +
u^2 + a^2
u
u 2 − a 2
du =
(u (^2) −a 2 )
5/
5
u 2
u 2 − a 2
du =
u(u^2 −a^2 ) 5/
6 +^
a^2 u(u^2 −a^2 ) 3/
24
a^4 u
√ u^2 −a^2 16
a^6 16 ln
u +
u^2 − a^2
u 3
u 2 − a 2
du =
(u (^2) −a 2 )
7/
7
a^2 (u^2 −a^2 ) 5/
5
∫ (^) (u^2 −a^2 )3/ u du^ =
(u^2 −a^2 )
3/
3 −^ a
2
u^2 − a^2 + a 3 sec − 1 u a
∫ (^) (u^2 −a^2 )3/ u^2 du^ =^ −^
(u^2 −a^2 )
3/
u +^
3 u
√ u^2 −a^2 2
− 3 2 a^2 ln
u +
u^2 − a^2
∫ (^) (u^2 −a^2 )3/ u^3 du = −
(u^2 −a^2 )
3/
2 u^2
3
√ u^2 −a^2 2
3 2 a sec − 1 u a
Integrales con
a^2 − u^2.
√du a^2 −u^2
= sen−^1 u a
√udu a^2 −u^2
a^2 − u^2
√u^2 du a^2 −u^2
u
√ a^2 −u^2 2 +^
a^2 2 sen
− 1 u a
√u^3 du a^2 −u^2
(a (^2) −u 2 )
3 / 2
3 −^ a
2
a^2 − u^2
du u
√ a^2 −u^2
1 a ln(^
a+
√ a^2 −u^2 u )
du u^2
√ a^2 −u^2
√ a^2 −u^2 a^2 u
du u^3
√ a^2 −u^2
√ a^2 −u^2 2 a^2 u^2 −^
1 2 a^3 ln(^
a+
√ a^2 −u^2 u )
a^2 − u^2 du = u
√ a^2 −u^2 2
2 2 sen−^1 u a
u
a^2 − u^2 du = −
(a (^2) −u 2 )
3 / 2
3
u^2
a^2 − u^2 du = −
u(a^2 −u^2 ) 3 / 2
4
a^2 u
√ a^2 −u^2 8
a^4 8 sen−^1 u a
u 3
a^2 − u^2 du =
(a (^2) −u 2 )
5 / 2
5 −^
a^2 (a^2 −u^2 )
3 2 3
a^2 −u^2 u du^ =^
a^2 − u^2 − a ln
a+
√ a^2 −u^2 u
a^2 −u^2 u^2 du^ =^ −^
√ a^2 −u^2 u −^ sen
− 1 u a
a^2 −u^2 u^3 du^ =^ −^
√ a^2 −u^2 2 u^2 +^
1 2 a ln
a+
√ a^2 −u^2 u
du (a^2 −u^2 )3/^
u a^2
√ a^2 −u^2
udu (a^2 −u^2 )3/^
√^1 a^2 −u^2
u^2 du (a^2 −u^2 )3/^
√ u a^2 −u^2 − sen − 1 u a
u 3 du (a^2 −u^2 )3/^
a^2 − u^2 + a
2 √ a^2 −u^2
du u(a^2 −u^2 )3/^
1 a^2
√ a^2 −u^2
1 a^3 ln
a+
√ a^2 −u^2 u
du u^2 (a^2 −u^2 )3/^
√ a^2 −u^2 a^4 u +^
u a^4
√ a^2 −u^2
du u^3 (a^2 −u^2 )3/^
− 1 2 a^2 u^2
√ a^2 −u^2
3 2 a^4
√ a^2 −u^2
3 2 a^5 ln
a+
√ a^2 −u^2 u
a 2 − u 2
du =
u(a^2 −u^2 ) 3/
4 +^
3 a^2 u
√ a^2 −u^2 8
3 8 a^4 sen−^1 u a
u
a^2 − u^2
du = −
(a (^2) −u 2 )
5/
5
u^2
a^2 − u^2
du = −
u(a^2 −u^2 ) 5/
6
a^2 u(a^2 −u^2 ) 3/
24
a^4 u
√ a^2 −u^2 16 +^
a^6 16 sen
− 1 u a
u 3
a 2 − u 2
du =
(a (^2) −u 2 )
7/
7 −^
a^2 (a^2 −u^2 ) 5/
5
∫ (^) (a^2 −u^2 )3/ u du^ =
(a^2 −u^2 )
3/
3 +^ a
2
a^2 − u^2
− a^3 ln
a+
√ a^2 −u^2 u
∫ (^) (a^2 −u^2 )3/ u^2 du^ =^ −^
(a (^2) −u 2 )
3/
u −^
3 u
√ a^2 −u^2 2 +^
3 2 a
2 sen − 1 u a
∫ (^) (a^2 −u^2 )3/ u^3 du^ =^ −^
(a (^2) −u 2 )
3/
2 u^2 −^
3
√ a^2 −u^2 2
3 2 a ln
a+
√ a^2 −u^2 u
Integrales con au
2
+ bu + c.
du au^2 +bu+c =
√^2 4 ac−b^2
tan − 1
√^2 au+b 4 ac−b^2
√^1 b^2 − 4 ac ln
2 au+b−
√ b^2 − 4 ac 2 au+b+
√ b^2 − 4 ac
udu au^2 +bu+c
1 2 a ln
au^2 + bu + c
b 2 a
du au^2 +bu+c
u^2 du au^2 +bu+c =^
u a −^
b 2 a^2 ln^
au 2
b^2 − 2 ac 2 a^2
du au^2 +bu+c
du u(au^2 +bu+c) =^
1 2 c ln
u^2 au^2 +bu+c
b 2 c
du au^2 +bu+c
du u^2 (au^2 +bu+c) =^
b 2 c^2 ln
au^2 +bu+c u^2
1 cu
b^2 − 2 ac 2 c^2
du au^2 +bu+c
du (au^2 +bu+c)^2
2 au+b (4ac−b^2 )(au^2 +bu+c)
2 a 4 ac−b^2
du au^2 +bu+c
udu (au^2 +bu+c)^2
bu+2c (4ac−b^2 )(au^2 +bu+c) −^
b 4 ac−b^2
du au^2 +bu+c
u^2 du (au^2 +bu+c)^2
(b (^2) − 2 ac )u+bc a(4ac+b^2 )(au^2 +bu+c) +^
2 c 4 ac−b^2
du au^2 +bu+c
du u(au^2 +bu+c)^2
1 2 c(au^2 +bu+c)
b 2 c
du (au^2 +bu+c)^2
1 c
du u(au^2 +bu+c)
du u^2 (au^2 +bu+c)^2
1 cu(au^2 +bu+c)
3 a c
du (au^2 +bu+c)^2
2 b c
du u(au^2 +bu+c)^2
umdu au^2 +bu+c =^
um−^1 (m−1)a −^
c a
um−^2 du au^2 +bu+c −^
b a
um−^1 du au^2 +bu+c
du un^ (au^2 +bu+c) =^ −^
1 (n−1)cun−^1 −^
b c
du un−^1 (au^2 +bu+c)
a c
du un−^2 (au^2 +bu+c)
Integrales con u
3
+ a
3
du u^3 +a^3 =^
1 6 a^2 ln^
(u+a)^2 u^2 −au+a^2 +^
1 a^2
√ 3 tan −1 2u−a a
√ 3
udu u^3 +a^3
1 6 a ln u^2 −au+a^2 (u+a)^2
1 a
√ 3
tan−1 2 u−a a
√ 3
u^2 du u^3 +a^3
1 3 ln
u^3 + a^3
du u(u^3 +a^3 ) =^
1 3 a^3 ln
u^3 u^3 +a^3
du u^2 (u^3 +a^3 ) =^ −^
1 a^3 u −^
1 6 a^4 ln^
u^2 −au+a^2 (u+a)^2
1 a^4
√ 3 tan −1 2u−a a
√ 3
du (u^3 +a^3 )^2
u 3 a^3 (u^3 +a^3 )
1 9 a^5 ln (u+a)^2 u^2 −au+a^2
2 3 a^5
√ 3
tan−1 2 u−a a
√ 3
udu (u^3 +a^3 )^2
u^2 3 a^3 (u^3 +a^3 ) +^
1 18 a^4 ln^
u^2 −au+a^2 (u+a)^2
1 3 a^4
√ 3 tan −1 2u−a a
√ 3
u^2 du (u^3 +a^3 )^2
1 3(u^3 +a^3 )
du u(u^3 +a^3 )^2
1 3 a^3 (u^3 +a^3 ) +^
1 3 a^6 ln
u^3 u^3 +a^3
du u^2 (u^3 +a^3 )^2
1 a^6 u
u^2 3 a^6 (u^3 +a^3 )
4 3 a^6
udu u^3 +a^3
um^ du u^3 +a^3
um−^2 m− 2 − a^3
um−^3 du u^3 +a^3
du un^ (u^3 +a^3 )
− 1 a^3 (n−1)un−^1
1 a^3
du un−^3 (u^3 +a^3 )
du cos^2 (au)
tan(au) a
du cos^3 (au) =^
sen(au) 2 a cos^2 (au) +^
1 2 a ln^
[
tan
π 4 +^
au 2
)]
cos(au) cos(pu)du =
sen[(a−p)u] 2(a−p)
sen[(a+pu)] 2(a+p)
du 1 −cos(au)
1 a cot au 2
udu 1 −cos(au)
u a cot au 2
2 a^2 ln sen au 2
du 1+cos(au)
1 a tan au 2
udu 1+cos(au)
u a tan au 2
2 a^2 ln cos au 2
du (1−cos(au))^2
1 2 a cot au 2
1 6 a cot^3 au 2
du (1+cos(au))^2
1 2 a tan au 2
1 6 a tan 3 au 2
Integrales con sen(au) y cos(au).
sen(au) cos(au)du =
sen^2 (au) 2 a
sen(pu) cos(qu)du = −
cos[(p−q)u] 2(p−q)
cos[(p+q)u] 2(p+q)
sen n (au) cos(au)du =
senn+1(au) (n+1)a
cosn(au) sen(au)du = −
cosn+1(au) (n+1)a
sen 2 (au) cos 2 (au)du = u 8 −^
sen 4(au) 32 a
du sen(au) cos(au) =^
1 a ln [tan(au)]
du sen^2 (au) cos(au) =^
1 a ln^
[
tan
π 4 +^
au 2
)]
1 a sen(au)
du sen(au) cos^2 (au) =^
1 a ln^
[
tan
au 2
)]
1 a cos(au)
du sen^2 (au) cos^2 (au)
2 cot(2au) a
∫ (^) sen (^2) (au) cos(au) du^ =^ −^
sen(au) a +^
1 a ln^
[
tan
au 2 +^
π 4
)]
∫ (^) cos (^2) (au) sen(au) du =
cos(au) a
1 a ln
[
tan
au 2
)]
du sen(au)±cos(au)
1 a
√ 2
ln tan
au 2
π 8
∫ (^) sen(au)du sen(au)±cos(au) =^
x 2 ∓^
1 2 a ln [sen(au)^ ±^ cos(au)]
∫ (^) cos(au)du sen(au)±cos(au)
x 2
1 2 a ln [sen(au) ± cos(au)]
Integrales con tan(au).
tan (au) du = − 1 a ln cos(au) =^
1 a ln sec(au)
tan 2 (au)du =
tan(au) a −^ u
tan 3 (au)du =
tan^2 (au) 2 a
1 a ln cos(au)
tan n (au)du =
tann−^1 (au) (n−1)a −^
tan n− 2 (au) du
tann(au) sec^2 (au)du =
tann+1(au) (n+1)a
sec^2 (au) tan(au) du = 1 a ln tan(au)
du tan(au)
1 a ln sen(au)
u tan^2 (au)du = u tan(au) a
a^2 ln cos(au) − u
2 2
Integrales con cot(au).
cot(au)du = 1 a ln sen(au)
cot 2 (au)du = −
cot(au) a −^ u
cot 3 (au)du = −
cot^2 (au) 2 a −^
1 a ln sen(au)
cotn(au) csc^2 (au)du = − cotn+1(au) (n+1)a
∫ (^) csc (^2) (au) cot(au) du^ =^ −^
1 a ln cot(au)
du cot(au)
a ln cos(au)
u cot 2 (au)du = −
u cot(au) a +^
1 a^2 ln sen(au)^ −^
u^2 2
cot n (au)du = −
cotn−^1 (au) (n−1)a
cot n− 2 (au)du
Integrales con sec(au).
sec(au)du = 1 a ln [sec(au) + tan(au)] =^
1 a ln tan^
ax 2 +^
π 4
sec^2 (au)du = tan(au) a
sec 3 (au)du =
sec(au) tan(au) 2 a +^
1 2 a ln [sec(au) + tan(au)]
secn(au) tan(au)du =
secn^ (au) na
du sec(au) =^
sen(au) a
u sec^2 (au)du = x a tan(au) + 1 a^2 ln cos(au)
sec n (au)du =
secn−^2 (au) tan(au) a(n−1) +^
n− 2 n− 1
sec n− 2 (au)du
Integrales con csc(au).
csc(au)du = 1 a ln [csc(au)^ −^ cot(au)] =^
1 a ln^
[
tan au 2
]
csc 2 (au)du = −
cot(au) a
csc 3 (au)du = −
csc(au) cot(au) 2 a +^
1 2 a ln
[
tan
(au) 2
]
cscn(au) cot(au)du = −
cscn(au) na
du csc(au) =^ −^
cos(au) a
u csc 2 (au)du = −
u cot(au) a +^
1 a^2 ln [sen(au)]
cscn(au)du = −
cscn−^2 (au) cot(au) a(n−1)
n− 2 n− 1
cscn−^2 (au)du
Integrales de Funciones Trigonom´etricas In-
versas.
sen − 1 (u/a)du = u sen − 1 (u/a) +
a^2 − u^2
u sen−^1 (u/a)du =
u^2 2
a^2 4
sen−^1 (u/a) + u
√ a^2 −u^2 4
u 2 sen − 1 (u/a)du = u^3 3 sen
− 1 (u/a) +
(u (^2) +2a 2 )
√ a^2 −u^2 9
∫ (^) sen− (^1) (u/a) u du = u a
(u/a)^3 2 · 3 · 3
1 ·3(u/a)^5 2 · 4 · 5 · 5
1 · 3 ·5(u/a)^7 2 · 4 · 6 · 7 · 7
∫ (^) sen− (^1) (u/a) u^2 du = −
sen−^1 (u/a) u
1 a ln
a+
√ a^2 −u^2 u
sen − 1 u a
du = u
sen − 1 u a
− 2 u + 2
a^2 − u^2 sen − 1 u a
cos − 1 (u/a)du = u cos − 1 u a −
a^2 − u^2
u cos−^1 (u/a)du =
u^2 2 − a
2 4
cos−^1 u a
u
√ a^2 −u^2 4
u 2 cos − 1 (u/a)du = u^3 3 cos
− 1 u a −^
(u^2 − 2 a^2 )
√ a^2 −u^2 9
cos−^1 (u/a) u du^ =^
π 2 ln(u)^ −^
sen(u/a) u du
∫ (^) cos− (^1) (u/a) u^2 du = −
cos−^1 (u/a) u
1 a ln
a+
√ a^2 −u^2 u
cos−^1 u a
du = u
cos−^1 u a
− 2 u − 2
a^2 − u^2 cos−^1 u a
tan−^1 (u/a)du = u tan−^1 (u/a) − a 2 ln
u^2 + a^2
u tan − 1 (u/a)du = 1 2
u 2
tan − 1 (u/a) − au 2
u 2 tan − 1 (u/a)du = u^3 3 tan
− 1 (u/a)− au^2 6 +^
a^3 6 ln^
u 2
∫ (^) tan− (^1) (u/a) u du = (u/a) −
(u/a)^3 32
(u/a)^5 52
(u/a)^7 72
∫ (^) tan− (^1) (u/a) u^2 du = − 1 u tan−^1 (u/a) − 1 2 a ln
u^2 +a^2 u^2
cot − 1 (u/a)du = u cot − 1 (u/a) + a 2 ln
u 2
u cot − 1 (u/a)du = 1 2
u 2
cot − 1 (u/a) + au 2
u 2 cot − 1 (u/a)du = u^3 3 cot
− 1 (u/a)+ au^2 6 −^
a^3 6 ln^
u 2
∫ (^) cot− (^1) (u/a) u du = π 2 ln u −
∫ (^) tan− (^1) (u/a) u du
∫ (^) cot− (^1) (u/a) u^2 du^ =^ −^
cot−^1 (u/a) u +^
1 2 a ln
u^2 +a^2 u^2
u m sen − 1 (u/a)du = um+ m+1 sen
− 1 (u/a)− 1 m+
√um+ a^2 −u^2 du
um^ cos−^1 (u/a)du = um+ m+ cos−^1 (u/a)+ 1 m+
√um+ a^2 −u^2
du
u m tan − 1 (u/a)du = um+ m+1 tan
− 1 (u/a) − a m+
um+ u^2 +a^2 du
u m cot − 1 (u/a)du = um+ m+1 cot
− 1 (u/a) + a m+
um+ u^2 +a^2 du
Integrales con e
au
e au du = eau a
u eaudu = eau a
u − 1 a
u 2 e au du = eau a
u 2 − 2 u a +^
2 a^2
un^ eaudu = u
n (^) eau a − n a
un−^1 eaudu
eau a
u n − nun−^1 a
n(n−1)un−^2 a^2
(−1)nn! an
con n = entero positivo
eau u = ln(u) + au 1 ·1!
(au)^2 2 ·2!
(au)^3 3 ·3!
eau un^ du^ =^
−eau (n−1)un−^1 +^
a n− 1
eau un−^1 du
du p+qeau^ =^
u p −^
1 ap ln (p^ +^ qe
au )
du (p+qeau^ )^2
u p^2
1 ap (p+qeau^ )
1 ap^2 ln |p + qeau|
du peau^ +qe−au^ =
1 a √ pq tan−^1
p q eau
1 2 a
√ −pq ln
eau^ −
−q/p eau^ +
−q/p
e au sen (bu) du =
eau^ [a sen(bu)−b cos(bu)] a^2 −b^2
e au cos (bu) du =
eau[a cos(bu)+bsen(bu)] a^2 +b^2
eau^ ln udu = eau^ ln u a
1 a
eau u du
Integrales con ln(u).
ln (u) du = u ln (u) − u
[ln (u)]
2 du = u [ln (u)]
2 − 2 u ln (u) + 2u
[ln (u)]
n du = u [ln (u)]
n − n
[ln (u)]
n− 1 du
u ln (u) du = u^2 2
[
ln (u) − 1 2
]
u m ln udu = um+ m+
ln u − 1 m+
ln u u du = 1 2 ln 2 u
ln u u^2 du = − ln u u
1 u
ln
2 udu = u ln
2 u − 2 u ln u + 2u
lnn^ udu u =^
lnn+1^ u n+
du u ln u = ln (ln u)
ln
u 2
du = u ln
u 2
− 2 u + 2a arctan u a
ln
u 2 − a 2
du = u ln
u 2 − a 2
− 2 u + a ln
u+a u−a
f (s) F (t) f (s) F (t)
s (s − a)(s − b)
bebt^ − aeat b − a
con a 6 = b
1 (s^2 + a^2 )^2
sen(at) − at cos(at) 2 a^3
s (s^2 + a^2 )^2
t sen(at) 2 a
s^2 (s^2 + a^2 )^2
sen(at) + at cos(at) 2 a
s^3 (s^2 + a^2 )^2
cos(at) − 12 at sen(at)
s^2 − a^2 (s^2 + a^2 )^2
t cos(at)
1 (s^2 − a^2 )^2
at cosh(at) − sinh(at) 2 a^3
s (s^2 − a^2 )^2
t senh(at) 2 a
s^2 (s^2 − a^2 )^2
senh(at) + at cosh(at) 2 a
s^3 (s^2 − a^2 )^2
cosh(at) + 12 at senh(at)
s^2 + a^2 (s^2 − a^2 )^2
t cosh(at)
1 (s^2 + a^2 )^3
(3 − a^2 t^2 ) sen(at) − 3 at cos(at) 8 a^5
s (s^2 + a^2 )^3
t sen(at) − at^2 cos(at) 8 a^3
s^2 (s^2 + a^2 )^3
(1 + a^2 t^2 ) sen(at) − at cos(at) 8 a^3
s^3 (s^2 + a^2 )^3
3 t sen(at) + at^2 cos(at) 8 a
s^4 (s^2 + a^2 )a^3
(3 − a^2 t^2 ) sen(at) + 5at cos(at) 8 a
s^5 (s^2 + a^2 )^3
(8 − a^2 t^2 ) cos(at) − 7 at sen(at) 8
3 s^2 − a^2 (s^2 + a^2 )^3
t^2 sen(at) 2 a
s^3 − 3 a^2 s (s^2 + a^2 )^3
1 2 t^2 cos(at)
s^4 − 6 a^2 s + a^4 (s^2 + a^2 )^4
1 6 t
(^3) cos(at)
s^3 − a^2 s (s^2 + a^2 )^4
t^3 sen(at) 24 a
1 (s^2 − a^2 )^3
(3 + a^2 t^2 ) senh(at) − 3 at cosh(at) 8 a^5
s (s^2 − a^2 )^3
at^2 cosh(at) − t senh(at) 8 a^3
s^2 (s^2 − a^2 )^3
at cosh(at) + (a^2 t^2 − 1) senh(at) 8 a^3
s^3 (s^2 − a^2 )^3
3 t senh(at) + at^2 cosh(at) 8 a
s^4 (s^2 − a^2 )^3
(3 + a^2 t^2 ) senh(at) + 5at cosh(at) 8 a
s^5 (s^2 − a^2 )^3
(8 + a^2 t^2 ) cosh(at) + 7at senh(at) 8
3 s^2 + a^2 (s^2 − a^2 )^3
t^2 senh(at) 2 a
s^3 + 3a^2 s (s^2 − a^2 )^3
1 2 t
(^2) cosh(at)
s^4 + 6a^2 s + a^4 (s^2 − a^2 )^4
1 6 t
(^3) cosh(at)
s^3 + a^2 s (s^2 − a^2 )^4
t^3 senh(at) 24 a
1 s^3 + a^3
eat/^2 3 a^2
( √ 3 sen
√ 3 at 2
− cos
√ 3 at 2
)
f (s) F (t) f (s) F (t)
s s^3 + a^3
eat/^2 3 a
(
cos
√ 3 at 2
√ 3 sen
√ 3 at 2
− e−^3 at/^2
)
s^2 s^3 + a^3
1 3
(
e−at^ + 2eat/^2 cos
√ 3 at 2
)
1 s^3 − a^3
e−at/^2 3 a^2
(
e^3 at/^2 − cos
√ 3 at 2
−
√ 3 sen
√ 3 at 2
)
s s^3 − a^3
e−at/^2 3 a
( √ 3 sen
√ 3 at 2
− cos
√ 3 at 2
)
s^2 s^3 − a^3
1 3
(
eat^ + 2e−at/^2 cos
√ 3 at 2
)
1 s^4 + 4a^4
1 4 a^3
( sen(at) cosh(at) − cos(at) senh(at)
)
s s^4 + 4a^4
sen(at) senh(at) 2 a^2
s^2 s^4 + 4a^4
1 2 a
( sen(at) cosh(at) + cos(at) senh(at)
)
s^3 s^4 + 4a^4
cos(at) cosh(at)
1 s^4 − a^4
1 2 a^3
( senh(at) − sen(at)
)
s s^4 − a^4
1 2 a^2
( cosh(at) − cos(at)
)
s^2 s^4 − a^4
1 2 a
( senh(at) + sen(at)
)
s^3 s^4 − a^4
1 2
( cosh(at) + cos(at)
)
1 √ s + a +
√ s + b
e−bt^ − e−at
2(b − a)
√ πt^3
1 s
√ s + a
fer
√ at √ a
1 √ s(s − a)
eatfer
√ at √ a
1 √ s − a + b
eat
( 1 √ πt
− beb
(^2) t fcer
( b
√ t
)
)
1 √ s^2 + a^2
J 0 (at)
1 √ s^2 − a^2
I 0 (at)
Definici´on 1. Ecuaci´on en Variables Separadas.
Consideremos la ecuaci´on con forma est´andar:
M (x)dx + N (y)dy = 0 (1)
La soluci´on se obtiene integrando directamente:
∫
M (x)dx +
N (y)dy = C
Definici´on 2. Ecuaci´on en Variables Separables.
Las siguientes dos ecuaciones, son ecuaciones en variables separables.
M 1 (x)N 1 (y)dx + M 2 (x)N 2 (y)dy = 0 (2) dy
dx
= f (x)g(y) (3)
Para determinar la soluci´on de la Ec.(2), se divide la ecuaci´on entre: M 2 (x)N 1 (y), para reducirla a la ecuaci´on en variables separadas:
M 1 (x)
M 2 (x)
dx +
N 2 (y)
N 1 (y)
dy = 0
ahora s´olo se integra directamente:
∫ M 1 (x)
M 2 (x)
dx +
N 2 (y)
N 1 (y)
dy = C
La soluci´on de la Ec.(3), se obtiene al dividir entre g(y) y multiplicar por dx, para reducirla a la ecua- ci´on en variables separadas:
g(y)
dy = f (x)dx
ahora s´olo se integra directamente:
∫ 1
g(y)
dy =
f (x)dx + C
Definici´on 3. Ecuaci´on Lineal.
La ecuaci´on lineal tiene la forma general:
a(x)y ′
a(x), se llama coeficiente principal. La Ec.(4) se tiene que dividir entre a(x) para obtener la forma est´andar:
y
′
La Ec.(5) tiene a 1 como coeficiente principal y a partir de aqu´ı se obtiene la soluci´on de la Ec.(4), La soluci´on es:
y(x) = e
−
∫ P (x)dx
[∫
e
∫ P (x)dx Q(x)dx + C
]
Si Q(x) = 0, la soluci´on es:
y(x) = Ce
−
∫ P (x)dx
El termino e
∫ P (x)dx se llama Factor Integrante de la ecuaci´on.
Definici´on 4. Ecuaci´on de Bernoulli.
Tiene la forma:
y ′
con n 6 = 0 y n 6 = 1, n puede ser positivo o negativo. Con el cambio de variable z = y −n+ , la ecuaci´on de Bernoulli se reduce a
la ecuaci´on lineal:
z ′
- (−n + 1)P (x)z = (−n + 1)Q(x) (7)
al resolver la Ec.(7), se obtiene que la soluci´on de la Ec.(6) de Bernoulli es:
y −n+ = e
−
∫ (−n+1)P (x)dx
[
(−n + 1)
e
∫ (−n+1)P (x)dx Q(x)dx + C
]
Definici´on 5. Ecuaciones Exactas o en Diferenciales Totales.
Consideramos la ecuaci´on:
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (8)
donde se cumple: My = Nx. La soluci´on se obtiene de calcular:
i) u =
M (x, y)dx, iii) v =
[N (x, y) − uy ]dy
ii) calculamos: uy iv) La soluci´on general impl´ıcita es: u + v = C
Definici´on 6. Factor Integrante.
Consideremos la ecuaci´on:
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (9)
donde My 6 = Nx. Para determinar la soluci´on de esta ecuaci´on, se tiene que reducir a una ecuaci´on exacta; as´ı que primero se
debe calcular uno de los dos posibles factores integrantes:
1) μ(x) = e
∫ (^) My −Nx
N dx^ 2) μ(y) = e
∫ (^) Nx−My M dy
segundo se multiplica la Ec.(9) por el factor integrante que exista y se obtiene la ecuaci´on exacta:
μM (x, y)dx + μN (x, y)dy = 0 (10)
la soluci´on de la Ec.(10), que ya se sabe resolver, es la soluci´on de la Ec.(9).
Definici´on 7. Funci´on Homog´enea.
Se dice que una funci´on f (x, y) es una “funci´on homog´enea de grado n” respecto a las variables x e y, si para cualquier valor
real λ se cumple la propiedad:
f (xλ, yλ) = λ
n f (x, y)
donde n ∈ R. En particular, cuando n = 0 se tiene una funci´on homog´enea de grado cero, se cumple que:
f (xλ, yλ) = f (x, y)
Definici´on 8. Ecuaciones Homog´eneas de Grado Cero.
Consideremos las ecuaciones:
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (11)
dy
dx
= f (x, y) (12)
Se dice que la Ec.(11) es homog´enea de grado cero, si tanto M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´eneas del mismo grado.
La Ec.(12) ser´a homog´enea si f (x, y) es una funci´on homog´enea de grado cero. Las Ecs.(11) y (12) se transforman en ecuaciones
en variables separadas al utilizar los cambios de variables: u =
y x y^ v^ =^
x y.
Si N es algebraicamente m´as sencilla que M , se elige u =
y x.^ Si^ M^ es algebraicamente m´as sencilla que^ N^ , se elige^ v^ =^
x y.
A) Con el cambio de variable u = y x
La Ec.(11) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas:
dx
x
N (1, u)
M (1, u) + uN (1, u)
du = 0 la cual se integra directamente
∫ (^) dx
x
∫ (^) N (1, u)
M (1, u) + uN (1, u)
du = C
la soluci´on de la Ec.(11) se obtiene al sustituir nuevamente u por y x en el resultado de la integral.
La Ec.(12) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas:
du
f (1, u) − u
dx
x
la cual se integra directamente
∫ (^) du
f (1, u) − u
∫ (^) dx
x
+ C
la soluci´on de la Ec.(12) se obtiene al sustituir nuevamente u por y x en el resultado de la integral.
Caso iii. Ra´ıces Conjugadas Complejas, y 3 (x). Sean m 1 = α 1 ± β 1 i, m 2 = α 2 ± β 2 i, m 3 = α 3 ± β 3 i,... las ra´ıces complejas conjugadas de (15), entonces, otra parte de yh(x) se escribe como:
y 3 (x) = e α 1 x
[
C 1 cos(β 1 x) + C 2 sen(β 1 x)
]
e α 2 x
[
C 3 cos(β 2 x) + C 4 sen(β 2 x)
]
e α 3 x
[
C 5 cos(β 3 x) + C 6 sen(β 3 x)
]
Nota: Obs´ervese que se toma el valor positivo de β en todos las casos.
Caso iv. Ra´ıces Conjugadas Complejas Repetidas, y 4 (x). Sean m 1 = α ± βi = m 2 = α ± βi = m 3 = α ± βi = · · · las ra´ıces conjugadas complejas repetidas de (15), entonces, otra parte de yh(x) se escribe como:
y 4 (x) = e αx
[
C 1 cos(βx) + C 2 sen(βx)
]
xe αx
[
C 3 cos(βx) + C 4 sen(βx)
]
x 2 e αx
[
C 5 cos(βx) + C 6 sen(βx)
]
Nota: Obs´ervese que se toma el valor positivo de β en todos las casos.
- Conjunto Fundamental de Soluciones (CFS). Sean y 1 , y 2 ,... , yn, n soluciones LI de la Ec.(14). Entonces el conjunto {y 1 , y 2 ,... , yn} se llama Conjunto Fundamental de Soluciones para la Ec.(14).
(2) C´alculo de soluciones particulares yp(x) para la Ec.(13).
Primer M´etodo:Coeficientes Indeterminados.
La soluci´on yp(x) depende de la forma que tiene g(x). Por esta raz´on se utiliza la siguiente tabla: si g(x) es entonces yp(x) se propone como
k − cte A
anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 2 x^2 + a 1 x + a 0 Anxn^ + An− 1 xn−^1 + · · · + A 2 x^2 + A 1 x + A 0
cos(ax) A cos(ax) + B sen(ax)
sen(ax) A cos(ax) + B sen(ax)
eax^ Aeax
Si g(x) es una multiplicaci´on de las anteriores formas, yp(x) se propone como una multiplicaci´on de las respectivas yp(x).
Una vez propuesta yp(x), se debe calcular la soluci´on general homog´enea yh(x) y verificar que los t´erminos de yp(x) no aparezcan en yh(x); pero si alg´un t´ermino de yp(x) aparecen en yh(x), entonces, se deber´a multiplicar dicho t´ermino por x o x 2 o x 3
... o por alguna potencia x n , hasta que dicho t´ermino de la soluci´on particular yp(x) no aparezcan en la soluci´on yh(x). Despu´es yp(x) debe derivarse seg´un las derivadas que aparecen en la Ec.(13); ya calculadas las derivadas, se sustituyen en la Ec.(13) para comparar coeficientes y determinar sus respectivos valores.
Segundo M´etodo:Variaci´on de Par´ametros.
Cuando el t´ermino independiente g(x) no tiene la forma de alguno de los de la tabla de coeficientes indeterminados, es cuando se utiliza variaci´on de par´ametros.
Se debe determinar el conjunto fundamental de soluciones (CFS) de la ecuaci´on homog´enea asociada (14). En general, una manera de determinar un CFS para la Ec.(14), es a partir de la soluci´on general homog´enea yh(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + C 3 y 3 (x) + · · · + Ckyk(x), el CFS es:
{y 1 (x), y 2 (x), y 3 (x),... , yk(x)}
Primero.S´olo se trabajar´a con EDO-LOS de segundo y tercer orden. Entonces se deben determinar los conjuntos
fundamentales de soluciones {y 1 (x), y 2 (x)} o { y 1 (x), y 2 (x), y 3 (x) }, seg´un se trate de una EDO de segundo o tercer orden respectivamente.
Segundo.
Caso i. Ecuaci´on de segundo orden. La soluci´on particular tiene la forma: yp(x) = u 1 y 1 + u 2 y 2
donde:
u ′ 1 =^
−g(x)y 2
W [y 1 , y 2 ]
, u 1 =
−g(x)y 2
W [y 1 , y 2 ]
dx
u ′ 2 =^
g(x)y 1
W [y 1 , y 2 ]
, u 2 =
g(x)y 1
W [y 1 , y 2 ]
dx
Caso ii. Ecuaci´on de tercer orden. La soluci´on particular tiene la forma: yp(x) = u 1 y 1 + u 2 y 2 + u 3 y 3
donde:
u ′ 1 =^
g(x)[y 2 y
′ 3 −^ y^3 y
′ 2 ] W [y 1 , y 2 , y 3 ]
, u 1 =
g(x)[y 2 y
′ 3 −^ y^3 y
′ 2 ] W [y 1 , y 2 , y 3 ]
dx
u
′ 2 =^
g(x)[−y 1 y
′ 3 +^ y^3 y
′ 1 ] W [y 1 , y 2 , y 3 ]
, u 2 =
g(x)[−y 1 y
′ 3 +^ y^3 y
′ 1 ] W [y 1 , y 2 , y 3 ]
dx
u
′ 3 =^
g(x)[y 1 y
′ 2 −^ y^2 y
′ 1 ] W [y 1 , y 2 , y 3 ]
, u 3 =
g(x)[y 1 y
′ 2 −^ y^2 y
′ 1 ] W [y 1 , y 2 , y 3 ]
dx
Finalmente la soluci´on general de la Ec.(13) se obtiene de sumar yh(x) y las yp(x) obtenidas por coeficientes indeterminados y/o por variaci´on de par´ametros.
II. Transformada de Laplace L.
La transformada de Laplace de una funci´on f (t) existe si f (t) es seccionalmente (por tramos) continua en [0, ∞) y es de orden exponencial.
L {f (t)} =
0
e −st f (t)dt
una vez calculada la integral, representamos por F (s) a L {f (t)}. Y en general: L {g(t)} = G(s), L {h(t)} = H(s),...
Propiedades de la Transformada de Laplace.
- La transformada de Laplace es lineal porque:
L {kf (t)} = kL {f (t)}
L {k 1 f (t) + k 2 g(t)} = k 1 L {f (t)} + k 2 L {g(t)}
donde: k, k 1 y k 2 son constantes.
- Transformada de una Derivada.
L {y} = Y (s)
L {y ′ } = sY (s) − y(0)
L {y ′′ } = s 2 Y (s) − sy(0) − y ′ (0)
L {y ′′′ } = s 3 Y (s) − s 2 y(0) − sy ′ (0) − y ′′ (0)
. . .
L {y (n) } = s n Y (s) − s n− 1 y(0) − s n− 2 y ′ (0) − · · · − sy (n−2) (0) − y (n−1) (0)
