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Una introducción a las propiedades de los conjuntos numéricos, como los números naturales, enteros y racionales. Se explican conceptos clave como el sucesor de un número natural, la relación de orden, las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) y cómo se representan los números racionales. También se abordan temas como la factorización en números primos, el máximo común divisor, el mínimo común múltiplo y las sucesiones aritméticas y geométricas. Este material podría ser útil para estudiantes de matemáticas en niveles de educación secundaria y universitaria, ya que proporciona una base sólida para comprender las propiedades fundamentales de los conjuntos numéricos y sus aplicaciones.
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
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Debido a la importancia de este conjunto de números se creó un símbolo especial para identificarlo, usaremos la letra ℕ para representar el conjunto de los números naturales ; así, cuando veas esta ℕ en un libro de matemáticas, o en alguna clase, sabrás a qué se refiere. ¿Te has preguntado cuál es el último número natural? No hay, sencillamente no existe un número natural que sea más grande que todos los demás, cada vez que pienses en uno, podrás encontrar muchos que sean mayores que él. Como no terminan nunca, decimos que ℕ es un conjunto infinito.
Algunas propiedades del conjunto de los números naturales Los números naturales poseen propiedades únicas que los diferencian de los demás conjuntos numéricos, te invitamos a conocerlas.
Los números naturales son aquellos que nos permiten contar los elementos de un determinado conjunto. Gracias a esto, cuando realizamos operaciones con ellos, los resultados pueden ser o no números naturales.
Si sumamos dos números naturales, el resultado siempre será otro número natural. Lo mismo ocurre cuando multiplicamos , pero cuando restamos dos números naturales el resultado no siempre será otro número natural, lo mismo ocurre con la división. Por ejemplo, intenta restar
, ¿crees que es posible representar el resultado de esta operación con algún número natural? Debido a lo anterior consideramos sobre el conjunto de los números naturales solo dos operaciones: la suma y la multiplicación. Si quieres aprender más sobre ellas visita nuestros cursos Suma y Multiplicación.
Como hemos dicho que los naturales son los números sirven para representar la cantidad de elementos que tiene un determinado conjunto, tomaremos el conjunto de los naturales o ℕ a partir del , pues este número representa la cantidad de elementos que tiene el conjunto vacío. Más adelante verás que no todos los conjuntos tienen un primer elemento. Esta propiedad es una de las más importantes del conjunto de los números naturales.
Otra propiedad importante de este conjunto de números es que cada uno de sus elementos tiene un sucesor. Es decir, si tomamos como referencia determinado número natural, podemos saber cual es el siguiente y tener la certeza que entre el número y su siguiente no habrá ningún otro. Este número es llamado sucesor. Si por ejemplo tomamos como referencia el
y entre estos dos números no encontraremos ningún otro. ¡Aunque te parezca increíble no todos los conjuntos numéricos cumplen esta sencilla propiedad!
Orden de los números enteros En el conjunto de los números enteros también existe una relación de orden, entenderla te permitirá establecer qué enteros representan más que otros. Cuando estudiamos el orden en el conjunto de los naturales dijimos que uno es mayor que otro, si representa una mayor cantidad de elementos. Lo mismo aplica para el conjunto de los enteros, cuando comparamos dos enteros se debe determinar cuál de ellos representa tener más. Por ejemplo, ¿cuál número es mayor:
Otro ejemplo: ¿quién es mayor,
¿Qué son los números racionales o fraccionarios? No todas las cantidades se pueden representar a través de números naturales o enteros, aprende qué son los números racionales aquí. Observa la siguiente situación: tres amigos cavernícolas salen en búsqueda de frutas para recolectar. Pasan todo el día buscando y solo encuentran cuatro sandías. Si reparten todo lo que encontraron en porciones iguales, ¿cuánto corresponde a cada uno de ellos?
Les debe pertenecer más de una sandía pues ellos son tres y lograron recolectar más que ese número. Les correspondería dos si hubieran encontrado seis, pero no encontraron sino cuatro. Así, el número que representa la cantidad de sandía que les corresponde se encuentra entre
¿Conoces algún natural o entero que represente cuánto corresponde a cada uno? Fíjate que queremos representar el resultado de dividir una cantidad entera en cierto número de partes iguales , en este caso dividir cuatro entre tres. Necesitamos los símbolos adecuados para simbolizar tales divisiones: Supongamos que
para representar cada una de esas partes. Llamaremos numerador al número de arriba y denominador al de abajo. Volviendo al ejemplo de nuestros amigos cavernícolas, como se quieren dividir cuatro sandias en tres partes iguales , representamos cada parte con la expresión
es el denominador.
Podemos describir el conjunto de los números racionales o fraccionarios por comprensión así:
La anterior expresión debe ser leída así: “ ℚ es el conjunto de las expresiones
es diferente a cero”.
Algunas propiedades del conjunto de los números racionales El conjunto de los números racionales tiene propiedades distintas a las de los números naturales o a las de los números enteros, aprende cuáles son.
Sabemos que los números racionales son expresiones de la forma
es distinto a cero. Veremos ahora como los naturales y los enteros pueden ser descritos también así: Observa que es posible escribir cada número natural de la forma antes mencionada. Por ejemplo el uno:
De la misma forma encontraremos que todo número natural es también fraccionario. Por ejemplo:
Podemos asegurar por lo tanto que ℕ es un subconjunto de ℚ : ℕ ℚ. Una vez que hemos obtenido los números naturales como fracciones, es fácil obtener también los enteros. Por ejemplo:
ℤ ℚ. Podemos resumir las relaciones de contenencia entre los conjuntos numéricos que conocemos como se muestra en la imagen de arriba.
, sin embargo, en el conjunto de los números racionales podemos representar fracciones de unidad. Lo anterior quiere decir que para encontrar el sucesor del cero debemos buscar la expresión del tipo que represente la parte de unidad más cercana a cero, que representa no tener nada. Representemos las unidades con círculos. Si partimos una unidad en dos partes iguales debemos representar cada una de ellas con la expresión
y así sucesivamente. En la figura anterior puedes ver las partes de unidad que representan las fracciones
etc. representan partes aún más pequeñas. Entonces... ¿cuál es el sucesor del cero? ¡No existe! Los números fraccionarios no tienen sucesor; es decir, si nos ubicamos en cualquier racional no existe uno que siga sin que no haya más entre estos. Cada vez que escojas dos números racionales cualesquiera, por más cercanos que sean, encontrarás que entre ellos existen infinitos.
Orden en el conjunto de los números racionales Los números racionales también representan cantidades, por lo tanto unos pueden representar más y otros menos, es decir, hay una relación de orden entre los mismos. Debes entonces estar en la capacidad de poder determinar cuándo un número fraccionario es mayor que otro.
Ubicamos las fracciones una al lado de la otra.
Sin tener en cuenta los signos menos (-) que pueda haber, multiplicamos el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, luego ponemos el resultado de la multiplicación debajo de la primera fracción.
Nuevamente sin fijarnos en los
Podemos concluir entonces que
Veamos otro ejemplo, comparemos los racionales
Ubicamos los números uno al lado del otro.
Sin tener en cuenta los signos
. Luego ponemos el resultado de la multiplicación debajo de la primera fracción.
Nuevamente, sin tener en cuenta los signos
. Después ubicamos este resultado debajo de la segunda fracción.
Como dieciocho es menor que veinte debemos usar el símbolo menor que así:
Definición: Un número primo es un número entero con exactamente dos divisores integrales, 1 y el número mismo. El número 1 no es un primo, ya que solo tiene un divisor. Así los números primos más pequeños son: 2, 3, 5, 7, ... El número 4 no es primo, ya que tiene tres divisores (1, 2, y 4), y el 6 no es primo, ya que tiene cuatro divisores (1, 2, 3, y 6). Definición: Un número compuesto es un número entero con más de dos divisores integrales. Así todos los números enteros (excepto 0 y 1) son o primos o compuestos. Ejemplo: 43 es primo, ya que sus únicos divisores son 1 y 43. 44 es compuesto, ya que tiene al 1, 2, 4, 11, 22, y 44 como divisores. Como puede saber si un número es primo? Primero que nada, aquí hay algunas formas para saber si un número NO es primo: Cualquier número mayor que 2 que es un múltiplo de 2 no es un primo, ya que por lo menos tiene tres divisores: 1, 2, y el número mismo. (Esto significa que 2 es el único primo par.) Cualquier número mayor que 3 que es un múltiplo de 3 no es un primo, ya que tiene al 1, 3, y al número mismo como divisores. (Por ejemplo, 303 no es primo, ya que 303 ÷ 3 = 101.)
Cualquier número que es un múltiplo de 4 es también un múltiplo de 2, así que podemos eliminar estos. Cualquier número mayor que 5 que es un múltiplo de 5 no es un primo. (Así el único número primo que termina con un 0 o 5 es el 5.) Cualquier número que es un múltiplo de 6 es también un múltiplo de 2 y 3, así que podemos eliminar estos también. Puede continuar de esta forma... básicamente, solo tiene que probar la divisibilidad entre primos! Ejemplo 1: Es 119 primo? Primero pruebe la divisibilidad entre 2. 119 es impar, así no es divisible entre 2. Enseguida, pruebe la divisibilidad entre 3. Sume los dígitos: 1 + 1 + 9 = 11. Ya que 11 no es un múltiplo de 3, tampoco lo es 119. (Recuerde, este truco solo funciona para la prueba de divisibilidad entre 3 y 9.) Ya que 119 no termina en un 0 o un 5, no es divisible entre 5. Enseguida, pruebe la divisibilidad entre 7. Encontrará que 119 ÷ 7 = 17. Así la respuesta es NO... 119 no es primo. Ejemplo 2: Es 127 primo? Primero pruebe la divisibilidad entre 2. 127 es impar, así no es divisible entre 2. Enseguida, pruebe la divisibilidad entre 3. Sume los dígitos: 1 + 2 + 7 = 10. Ya que 10 no es un múltiplo de 3, tampoco lo es 127. Ya que 127 no termina en un 0 o un 5, no es divisible entre 5. Enseguida, pruebe la divisibilidad entre 7. Encontrará que 7 no entra uniformemente. El siguiente primo es 11. Pero 11 no entra uniformemente, también. Puede parar ahora... debe ser un primo! No necesita continuar comprobando la divisibilidad entre los siguientes primos (13, 17, 19, 23, etc.). La razón es que si el 13 entró uniformemente, entonces tendríamos 127 = 13 × n por algún número n. Pero entonces n tendría que ser menor que 13... y ya sabemos que 127 no es divisible entre cualquier número menor que 13. Así la respuesta es SI... 127 es primo.
