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Estad´ıstica II
Formulario para ex´amenes - Curso 2013/
Intervalos de confianza y contraste de hip´otesis para una y dos poblaciones.
Notaci´on:
2 X : media y varianza de una variable aleatoria/poblaci´on X;
X y s
2 X : media y cuasi varianza muestrales
- pX proporci´on en la poblaci´on para X ∼ Bernoulli(pX ), ˆpX proporci´on en la muestra
- Xn: muestra aleatoria simple (MAS) de tama˜no n de X
- (1 − α) nivel de confianza, α nivel de significaci´on
- zα un α cuantil superior de una distribuci´on N(0,1); tn−1;α un α cuantil superior de una distribuci´on tn− 1
Par´ametro Hip´otesis: MAS(s) y Cantidad pivotal y distribuci´on
μX Poblaci´on normal, varianza conocida
X − μX
σX /
n
∼ N (0, 1)
μX Poblaci´on normal, varianza desconocida
X¯ − μ X
sX /
n
∼ tn− 1
μX Poblaci´on no normal, tama˜no de muestra grande
X¯ − μ X
sX /
n
∼aprox. N (0, 1)
pX Poblaci´on Bernoulli, tama˜no de muestra grande
pˆX − pX √ pˆX (1 − pˆX )/n
∼aprox. N (0, 1)
σ
2 X y σX Poblaci´on normal
(n − 1)s
2 X
σ
2 X
∼ χ
2 n− 1
μX − μY Diferencia normal Di = Xi − Yi, muestra emparejada
D¯ − μ D
sD /
n
∼ tn− 1
μX − μY Poblaciones normales, varianzas iguales
X −
Y − (μX − μY )
sp
1 nX
1 nY
∼ tn X +nY −^2 , y
s
2 p =
(nX − 1)s
2 X
2 Y
nX + nY − 2
μX − μY Poblaciones normales, varianzas conocidas
X¯ − Y¯ − (μ X −^ μY ) √ σ 2 X nX
σ 2 Y nY
∼ N (0, 1)
μX − μY Poblaciones no normales, tama˜nos de muestra grandes
X −
Y − (μX − μY ) √ s^2 X nX
s^2 Y nY
∼aprox. N (0, 1)
pX − pY Poblaciones Bernoulli, tama˜nos de muestra grande
pˆX − pˆY − (pX − pY ) √
p ˆ 0 (1 − pˆ 0 )
1 nX
1 nY
∼aprox. N (0, 1), y
pˆ 0 =
nX pˆX + nY pˆY
nX + nY
σ
2 X /σ
2 Y and σX /σY Poblaciones normales
s 2 X /σ 2 X
s
2 Y /σ
2 Y
∼ FnX − 1 ,nY − 1
Ejemplo: Para construir un intervalo de confianza (1 − α) para μX si X ∼ N (μX , σ 2 X ) con σ 2 X desconocida em-
pleamos:
IC 1 −α(μX ) =
¯x − tn−1;1−α/ 2
sx √ n
; ¯x + tn−1;α/ 2
sx √ n
Para llevar a cabo un contraste unilateral H 0 : μX ≥ μ 0 frente a H 1 : μX < μ 0 , la regi´on de rechazo a un nivel de
significaci´on α, RRα, es:
RRα =
t :
t ︷ ︸︸ ︷ x ¯ − μ 0
sx/
n
< tn−1;1−α
Covarianza muestral y correlaci´on para una muestra de pares de observaciones (x 1 , y 1 ),... , (xn, yn):
sxy ︷ ︸︸ ︷
cov(x, y) =
n ∑
i=
(xi − ¯x) (yi − y¯)
n − 1
n ∑
i=
xiyi − nx¯¯y
n − 1
r(x,y) ︷ ︸︸ ︷
cor(x, y) =
cov(x, y)
sxsy
n ∑
i=
xiyi − nx¯¯y
n ∑
i=
x
2 i −^ nx¯
2
n ∑
i=
y
2 i −^ n¯y
2
Estimaciones de la pendiente y el intercepto en el modelo de regresi´on lineal simple yi = β 0 + β 1 xi + ui,
donde ui ∼ iid N (0, σ
2 ), para obtener el modelo ajustado yˆi =
β 0 +
β 1 xi:
β 1 =
cov(x, y)
s 2 x
n − 1
n ∑
i=
(xi − x¯) (yi − ¯y)
n − 1
n ∑
i=
(xi − x¯)
2
n ∑
i=
xiyi − nx¯¯y
n ∑
i=
x 2 i − nx¯^2
β 0 = ¯y −
β 1 ¯x.
Cantidades pivotales para β 1 , β 0 , σ
2 , con residuos ei = yi − ˆyi y varianza residual s
2 R =^
n i= e
2 i /(n^ −^ 2):
β^ ˆ 1 −^ β 1 √
s
2 R
(n − 1)s 2 X
∼ tn− 2 ,
βˆ 0 −^ β 0 √
s 2 R
n
x¯
2
(n − 1)s 2 X
∼ tn− 2 ,
(n − 2)s 2 R
σ 2
∼ χ
2 n− 2
Intervalos de confianza para la respuesta promedio y la respuesta puntual, y 0 , dado X = x 0 :
y ˆ 0 ± tn−2;α/ 2
s 2 R
n
(x 0 − x¯)
2
(n − 1)s
2 X
, yˆ 0 ± tn−2;α/ 2
s 2 R
n
(x 0 − x¯)
2
(n − 1)s
2 X
Tabla ANOVA para el modelo de regresi´on lineal simple (R-cuadrado R 2 = SCM/SCT):
Fuente de variaci´on SC GL Media Cociente F
Modelo SCM =
∑n
i= (ˆyi − y¯) 2 1 SCM/ 1 SCM/s 2 R Residuos/errores SCR =
∑n
i= (yi − yˆi) 2 =
∑n
i= e 2 i n − 2 SCR/(n − 2) = s 2 R
Total SCT = SCM + SCR n − 1
Para contrastar H 0 : β 1 = 0 vs. H 1 : β 1 6 = 0, el estad´ıstico es F = SCM/s 2 R ∼ F1;n− 2 y RRα = {F > F 1 ,n−2;α}.
Formulaci´on del modelo, estimaciones, modelo ajustado y residuos para el modelo de regresi´on lineal
m´ultiple yi = β 0 + β 1 xi 1 + β 2 xi 2 + · · · + βkxik + ui, donde ui ∼ iid N (0, σ
2 ), en notaci´on matricial:
y = Xβ + u, βˆ = (X T X) − 1 X T y, yˆ = X β,ˆ e = y − yˆ, donde
y =
y 1
y 2
. . .
yn
, X =
1 x 11 x 12 · · · x 1 k
1 x 21 x 22 · · · x 2 k
. . .
1 xn 1 xn 2 · · · xnk
, β =
β 0
β 1
β 2
. . .
βk
, u =
u 1
u 2
. . .
un
Cantidades pivotales para σ
2 y βj , j = 0, 1 ,... , k, con varianza residual s
2 R
n i= e
2 i /(n − k − 1):
(n − k − 1)s
2 R
σ^2
∼ χ
2 n−k− 1 ,^
βj − βj
s(
βj )
∼ tn−k− 1 ,
donde s( βˆj ) =
s^2 ( βˆj ) y s 2 ( βˆj ) es el j-´esimo elemento diagonal de la matriz de covarianza (estimada) para βˆ, definida
como S (^) ˆ β = s
2 R
(X
T X)
− 1 .
Tabla ANOVA para el modelo de regresi´on lineal m´ultiple:
Fuente de variaci´on SC GL Media Cociente F
Modelo SCM k SCM/k (SCM/k)/s
2 R Residuos/errores SCR n − k − 1 SCR/(n − k − 1) = s
2 R Total SCT n − 1
