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Resumen-formulario
Límites y continuidad en varias variables
Matemáticas II
- Ideas previas imprescindibles Índice
- 1.1. Puntos, norma y distancia
- 1.2. Bolas y bolas reducidas
- Definición de límite
- Límites de funciones vectoriales
- Propiedades algebraicas de los límites
- Métodos para estudiar límites en R
- 5.1. Resumen rápido de métodos
- Criterio del sándwich
- 6.1. Cuándo usarlo
- 6.2. Acotaciones típicas
- Criterio de la función mayorante: polares
- 7.1. Plantilla de uso
- 7.2. Ejemplo modelo
- Límites direccionales y por curvas
- 8.1. Para demostrar que no existe
- 8.2. Caminos típicos que debes probar
- 8.3. Ejemplo
- Límites iterados
- 9.1. Qué puedes concluir
- 9.2. Ejemplo donde los iterados descartan
- 9.3. Ejemplo donde los iterados no bastan
- 10.Cambios adaptados a potencias
- 10.1. Ejemplo con x^8 + y
- 11.Cómo elegir el método en un examen
- 11.1. Estrategia recomendada
- 11.2. Tabla de decisiones
- 12.Dominio y continuidad
- 13.Continuidad
- 13.1. Funciones continuas en su dominio
- 13.2. Aritmética de funciones continuas
- 13.3. Composición
- 14.Funciones definidas a trozos
- 14.1. Plantilla con parámetros
- 15.Ejercicios modelo resueltos
- 15.1. Modelo 1: límite por sándwich
- 15.2. Modelo 2: no existencia por caminos
- 15.3. Modelo 3: mayorante en polares
- 15.4. Modelo 4: límite en un punto distinto del origen
- 15.5. Modelo 5: continuidad a trozos con parámetros
- 16.Errores típicos
- 17.Formulario final
- Consejo final para examen
3. Límites de funciones vectoriales
Si: f ( x ) = (f 1 ( x ), f 2 ( x ),... , f m ( x ))
y L = (L 1 , L 2 ,... , L m ), entonces:
x^ l´ım→ a f^ ( x ) =^ L^ ⇐⇒^ x l´ım→ a f i ( x ) =^ L i^ para todo^ i.
Por eso, en la mayoría de ejercicios de Matemáticas II se trabaja con funciones escalares f : R n^ → R.
4. Propiedades algebraicas de los límites
Si: x^ l´ım→ a f^ ( x ) =^ F,^ x l´ım→ a g( x ) =^ G, entonces: x^ l´ım→ a αf^ ( x ) =^ αF, x^ l´ım→ a (f^ ( x ) +^ g( x )) =^ F^ +^ G, x^ l´ım→ a f^ ( x )g( x ) =^ F G,
x^ l´ım→ a
f ( x ) g( x ) =^
F
G ,^ si^ G^ ̸= 0,
x^ l´ım→ a |f^ ( x )|^ =^ |F^ |.
4.1. Sustitución directa
Si f es elemental y está definida en el punto, se suele poder hacer sustitución directa:
x^ l´ım→ a f^ ( x ) =^ f^ ( a ). Esto ocurre con polinomios, exponenciales, logaritmos, trigonométricas y combinaciones de funciones continuas, siempre dentro de su dominio.
5. Métodos para estudiar límites en R^2
5.1. Resumen rápido de métodos
Método Cuándo usarlo
Sustitución direc- ta
Cuando la función es continua en el punto y está definida ahí.
Caminos o curvas Para demostrar que un límite no existe. Basta con dos caminos con valores distintos. Límites iterados Para descartar si son distintos. Si son iguales, no garantizan existencia. Polares / mayoran- te
Para demostrar que un límite sí existe , especialmente en el origen.
Sándwich Para demostrar que un límite vale 0 o L mediante acotaciones. Cambio adaptado Para denominadores con potencias raras, por ejemplo x^8 + y^4 , usar y = x^2 t.
6. Criterio del sándwich
Si cerca de a se cumple: f ( x ) ≤ g( x ) ≤ h( x ),
y además:
x^ l´ım→ a f^ ( x ) = l´ x ım→ a h( x ) =^ L, entonces: x^ l´ım→ a g( x ) =^ L. Una versión muy usada es: 0 ≤ |f ( x ) − L| ≤ M ( x ), (^) x l´ım→ a M ( x ) = 0.
Entonces: x^ l´ım→ a f^ ( x ) =^ L.
6.1. Cuándo usarlo
Se usa mucho cuando aparece algo acotado multiplicando algo que tiende a cero: | sin(·)| ≤ 1 , | cos(·)| ≤ 1 , por ejemplo: l´ım ( x,y )→(0 , 0)
y sin
x^2 + y^2
) = 0.
Como: (^) ∣∣ ∣∣y sin
x^2 + y^2
)∣∣ ∣∣ ≤ |y|o 0.
6.2. Acotaciones típicas
Si el denominador tiene sumas de términos positivos, puedes usar: x^2 + y^2 ≥ x^2 , x^2 + y^2 ≥ y^2 , x^8 + y^4 ≥ x^8 , x^8 + y^4 ≥ y^4. Ejemplo: 0 ≤ x
(^2) y 4 x^8 + y^4
≤ x
(^2) y 4 y^4
= x^2 → 0.
Luego:
( x,y^ l´)ım→(0 , 0)
x^2 y^4 x^8 + y^4 = 0.
7. Criterio de la función mayorante: polares
Para límites en (0, 0), se usa:
x = r cos θ, y = r sin θ, r =
√ x^2 + y^2. Entonces: (x, y) → (0, 0) ⇐⇒ r → 0 +.
Objetivo: escribir |f (r cos θ, r sin θ) − L| ≤ F (r), donde F (r) no dependa de θ y F (r) → 0.
8.2. Caminos típicos que debes probar
Para (0, 0): y = 0, x = 0, y = mx, y = x^2 , y = kx p.
Para (a, b), usa:
y − b = m(x − a), y − b = (x − a)^2 , x − a = (y − b)^2.
8.3. Ejemplo
f (x, y) = xy x^2 + y^2
Por y = 0: f (x, 0) = 0.
Por y = x:
f (x, x) =
x^2 2 x^2 =
Como dan valores distintos, no existe:
l´ım ( x,y )→(0 , 0)
xy x^2 + y^2
9. Límites iterados
Los límites iterados son: L 1 = l´ x ım→ a
( l´ım y → b
f (x, y)
) ,
L 2 = l´ y ım→ b
( x^ l´ım→ a f^ (x, y)
) .
Regla importante: si el límite doble existe y los iterados existen, entonces los iterados coinciden con el límite doble.
9.1. Qué puedes concluir
Si L 1 ̸= L 2 , entonces el límite doble no existe. Si L 1 = L 2 , el límite doble puede existir o no. Hay que seguir estudiando.
9.2. Ejemplo donde los iterados descartan
f (x, y) = x
(^2) − y 2 x^2 + y^2. Primero y → 0 :
x^ l´ım→ 0
(
y^ l´ım→ 0
x^2 − y^2 x^2 + y^2
) = l´ x ım→ 0 1 = 1.
Primero x → 0 :
y^ l´ım→ 0
(
x^ l´ım→ 0
x^2 − y^2 x^2 + y^2
) = l´ y ım→ 0 (−1) = − 1.
Como son distintos, el límite no existe.
9.3. Ejemplo donde los iterados no bastan
f (x, y) =
xy x^2 + y^2. Los dos iterados valen 0 , pero por la recta y = x:
f (x, x) =
Luego el límite doble no existe.
10. Cambios adaptados a potencias
A veces polares no es lo más cómodo. Si el denominador tiene potencias diferentes, se usa un cambio que iguale órdenes.
10.1. Ejemplo con x^8 + y^4
Para: x^2 y^4 x^8 + y^4
el denominador sugiere igualar: y^4 ∼ x^8 =⇒ y ∼ x^2. Por eso se prueba: y = x^2 t. Entonces: y^4 = x^8 t^4. La función queda: x^2 x^8 t^4 x^8 + x^8 t^4
= x^2 t
4 1 + t^4
Como el factor t
4 1 + t^4
está acotado, el producto tiende a 0.
11. Cómo elegir el método en un examen
11.1. Estrategia recomendada
- Mira si hay sustitución directa. Si funciona, has terminado.
- Si sale 0 / 0 , prueba caminos simples: x = 0, y = 0, y = mx.
- Si dos caminos dan distinto, escribe: “por unicidad del límite, no existe”.
- Si todos los caminos sencillos dan lo mismo, no concluyas todavía.
- Para demostrar existencia, usa sándwich, mayorante en polares o cambio adaptado.
13.1. Funciones continuas en su dominio
Son continuas en su dominio:
Polinomios. Exponenciales.
Logaritmos, donde el argumento sea positivo. Trigonométricas, donde estén definidas.
Cocientes de funciones continuas, donde el denominador no sea cero. Composiciones de funciones continuas.
13.2. Aritmética de funciones continuas
Si f y g son continuas en a , entonces también lo son:
αf, f + g, f g, |f |,
y f g
si g( a ) ̸= 0.
13.3. Composición
Si f es continua en a y g es continua en f ( a ), entonces:
g ◦ f
es continua en a.
14. Funciones definidas a trozos
Para estudiar continuidad en funciones a trozos:
f (x, y) =
{ expresión 1, (x, y) ̸= (a, b), valor especial, (x, y) = (a, b),
se procede así:
- Fuera del punto problemático, estudia el dominio y continuidad por funciones elementales.
- En el punto especial, calcula: l´ım ( x,y )→( a,b )
f (x, y).
- Impón que ese límite sea igual al valor dado en el punto.
14.1. Plantilla con parámetros
Si: f (x, y) =
{ F (x, y), (x, y) ̸= (a, b), K, (x, y) = (a, b), entonces f es continua en (a, b) si y solo si:
l´ım ( x,y )→( a,b )
F (x, y) = K.
Si K depende de parámetros, se iguala al límite para hallar los valores correctos.
15. Ejercicios modelo resueltos
15.1. Modelo 1: límite por sándwich
Calcula: l´ım ( x,y )→(0 , 0)
x^2 y^4 x^8 + y^4
Como: 0 ≤ x
(^2) y 4 x^8 + y^4
≤ x
(^2) y 4 y^4
= x^2 ,
y x^2 → 0 , entonces:
l´ım ( x,y )→(0 , 0)
x^2 y^4 x^8 + y^4
15.2. Modelo 2: no existencia por caminos
Calcula: l´ım ( x,y )→(0 , 0)
x^4 y^2 x^8 + y^4. Por y = 0: x^4 · 0 x^8 + 0
Por y = x^2 : x^4 (x^2 )^2 x^8 + (x^2 )^4 =^
x^8 2 x^8 =
Como 0 ̸= 12 , el límite no existe.
15.3. Modelo 3: mayorante en polares
Calcula: l´ım ( x,y )→(0 , 0)
5 x^3 + 3y^3 3 x^2 + 5y^2
En polares: (^) ∣ ∣∣ ∣∣
5 r^3 cos^3 θ + 3r^3 sin^3 θ r^2 (3 cos^2 θ + 5 sin^2 θ)
∣∣ ∣∣ ∣ =^ r^
|5 cos^3 θ + 3 sin^3 θ| 3 cos^2 θ + 5 sin^2 θ
Como: |5 cos^3 θ + 3 sin^3 θ| ≤ 8 ,
16. Errores típicos
- Creer que dos caminos iguales prueban existencia. No. Solo ayudan a sospechar.
- Creer que iterados iguales prueban existencia. No. Pueden coincidir y aun así no existir el límite.
- Olvidar estudiar el dominio. Si el denominador se anula cerca del punto, cuidado.
- Usar polares pero dejar dependencia de θ sin acotar. Hay que encontrar una mayorante que solo dependa de r.
- Confundir continuidad con límite. Para continuidad hace falta que el valor de la función coincida con el límite.
17. Formulario final
Límite
x^ l´ım→ a f^ ( x ) =^ L^ ⇐⇒^ ∀ε >^0 ,^ ∃δ >^ 0 : 0^ <^ ∥ x^ −^ a ∥^ < δ^ ⇒ |f^ ( x )^ −^ L|^ < ε.
Sándwich
f ≤ g ≤ h, l´ım f = l´ım h = L =⇒ l´ım g = L.
Mayorante en polares
x = a + r cos θ, y = b + r sin θ.
Si: |f (a + r cos θ, b + r sin θ) − L| ≤ F (r), l´ım r → 0 +^
F (r) = 0,
entonces:
( x,y^ l´)ım→( a,b ) f^ (x, y) =^ L.
No existencia por curvas
Si:
x^ l´ım→ a f^ (x, g^1 (x)) =^ L^1 ,^ x l´ım→ a f^ (x, g^2 (x)) =^ L^2 ,^ L^1 ̸=^ L^2 , entonces el límite doble no existe.
Iterados
L 1 = l´ x ım→ a
( l´ y ım→ b f (x, y)
) , L 2 = l´ y ım→ b
( x^ l´ım→ a f^ (x, y)
) .
Si L 1 ̸= L 2 , no existe el límite doble. Si L 1 = L 2 , no concluye.
Continuidad
f continua en a ⇐⇒ (^) x l´ım→ a f ( x ) = f ( a ).
Funciones a trozos
f (x, y) =
{ F (x, y), (x, y) ̸= (a, b), K, (x, y) = (a, b),
continua en (a, b) si y solo si:
( x,y^ l´)ım→( a,b ) F^ (x, y) =^ K.
Consejo final para examen
Cuando veas un límite en varias variables, no intentes aplicar todos los métodos siempre. Haz esto:
sustitución → caminos simples → si no falla, prueba fuerte.
Para probar que no existe , dos caminos distintos bastan. Para probar que existe , necesitas un argumento global: sándwich, mayorante/polares o cambio adaptado.
