Límites continuidad, Monografías, Ensayos de Cálculo

¡Descarga Límites continuidad y más Monografías, Ensayos en PDF de Cálculo solo en Docsity!

Department of Mathematics

C`ALCUL

Exercicis i problemes

Curs 2019- 2020

C`alcul

2 Funcions de variable real. L´ımits i continu¨ıtat de

funcions

Funcions reals de variable real

Exercici 2.1. Demostreu que la funci´o f : [0, +∞) → R definida per f (x) = x

2 ´es injectiva.

Exercici 2.2. Determineu el domini de les funcions seg¨uents:

(a) f (x) =

x

x + 1

(b) f (x) =

x

2 − 1

(c) f (x) =

−x

(d) f (x) = ln x

(e) f (x) =

ln x

(f) f (x) =

ln

x − 3

x − 2

Exercici 2.3. Calculeu la composici´o dels parells de funcions seg¨uents:

(a) f (x) =

2 x + 3

x + 1

i g(x) =

x − 1.

(b) f (x) = sinh(x

2 − 2) i g(x) = e

1 /x .

Exercici 2.4. Calculeu les inverses de les funcions:

(a) f (x) = 4x − 7 (b) f (x) =

2 x + 5

x − 1

(c) f (x) = ln(x + 1)

Comproveu que f ◦ f

− 1 = I i que f

− 1 ◦ f = I.

Exercici 2.5. Calculeu el domini i el recorregut de la funci´o f (x) =

2 x + 1. Demostreu

que ´es injectiva i determineu la funci´o inversa f

− 1 .

Exercici 2.6. Considereu la funci´o definida per:

f (x) = ln

x

x

Determineu el seu domini i digueu si f ´es injectiva.

Exercici 2.7. Sigui f (x) =

x

2

• 2

sin(x

2 ) + 2

Exercici 2.15. Calculeu els l´ımits seg¨uents:

(a) lim

x→ 0

x + 5

x

ln x

(b) lim

x→ 0

e

x − 1

(c) lim

x→ 1 −

ln x

(d) lim

x→ 1

ln x

(e) lim

x→ 1

x

3

• 2

x

2 − 1

(f) lim

x→ 0

x

2

• 1

e

x − 1

(g) lim

x→ 0

ln x

(h) lim

x→ 0

x

ln x

(i) lim

x→

π 2

−

tan x

x

Exercici 2.16. Calculeu els l´ımits seg¨uents:

(a) lim

x→+∞

x + 2

x − 1

• e

x

(b) lim

x→−∞

x

3 − e

x

(c) lim

x→−∞

e

x

• 2

e

x

(d) lim

x→−∞

e

−x

x

2

• 4

(e) lim

x→+∞

e

−x − 1

x

2

(f) lim

x→+∞

x + 1

x

ln x

Exercici 2.17. Calculeu els l´ımits de les funcions racionals seg¨uents en els punts en qu`e

s’anul·la el denominador:

(a) f (x) =

x

3

1 − x

2

(b) f (x) =

1 − x

3

x

2 − 4 x

(c) f (x) =

x

3

• x

3 − 2 x

2

Exercici 2.18. Calculeu els l´ımits seg¨uents:

(a) lim

x→ 0

|x| (b) lim

x→ 2

8 x

x − 2

(c) lim

x→ 0

e

1 /x

Exercici 2.19. Calculeu els l´ımits seg¨uents:

(a) lim

x→−∞

e

1 /x

(b) lim

x→+∞

ln

x

(c) lim

x→−∞

ln (2 − x)

(d) lim

x→+∞

sin

πx

2 x − 1

(e) lim

x→+∞

arctan

x

(f) lim

x→−∞

x

2

• 4

Exercici 2.20.

(a) lim

x→ 1

(x − 1)

x

x

2 − 1

(b) lim

x→ 1

x

2 − 1

3

x − 1

(c) lim

x→+∞

x

2

• x + 4

x + 1

Exercici 2.21.

Forma indeterminada 1

±∞ 1

±∞ 1

±∞ .

Per tal de resoldre aquest tipus d’indeterminacions, s’utilitza que:

lim

x→±∞

x

x

= e

De fet, si lim

x→a

f (x) = ±∞, es compleix:

lim

x→±a

f (x)

f (x)

= e

(a) lim

x→+∞

x

2

2 x

(b) lim

x→ 0

x

2

• 1

x

3

• x + 1

1 /x 2

(c) lim

x→+∞

2 x

2 − 5 x + 1

2 x

2 − 1

x

2 +2x

(d) lim

x→+∞

3 x − 4

3 x + 2

) x

3

x 2

Exercici 2.22. Calculeu el valor de a ∈ R per tal que:

lim

x→+∞

x + a

x − a

x

Infinit`esims equivalents a l’origen (x → 0):

sin x ∼ x 1 − cos x ∼

x

2

tan x ∼ x e

x − 1 ∼ x

arcsin x ∼ x b

x − 1 ∼ x ln b

arctan x ∼ x (1 + x)

k − 1 ∼ kx

ln(1 + x) ∼ x log b

(1 + x) ∼

x

ln b

Exercici 2.23. Calculeu c ∈ R tal que:

lim

x→ 0

cx

3 sin x

(1 − cos x)

2

= ln 2

Funcions cont´ınues

Exercici 2.30. Considerem la funci´o

f (x) =

x + a

x

2

• 1

x ≤ 0

x + c

x

2 − 1

x > 0 , x 6 = 1

b x = 1

Calculeu els valors dels par`ametres reals a, b, c per tal que f ∈ C

0 (R).

Exercici 2.31. Si sabem que lim

t→ 0

ln(1 + t)

t

= 1, definiu f (1) per tal que la funci´o

f (x) =

ln(3x − 2)

x

3 − 1

sigui cont´ınua en x = 1.

Exercici 2.32. Calculeu el valor de k ∈ R per tal que la funci´o f sigui cont´ınua en tot R.

f (x) =

sin(x − 1)

1 − x

• k

2 x x 6 = 1

k x = 1

Exercici 2.33. Estudieu la continu¨ıtat de la funci´o:

f (x) =

|x − a| x ≤ a

2 |a| x > a

Exercici 2.34. Calculeu el valor de les constants perqu`e les funcions reals de variable real

seg¨uents siguin cont´ınues en tot R:

(a) f (x) =

sin x si x ≤ 1

ax + 2 si x > 1

(b) f (x) =

2 x

2

• b si x ≥ 0

e

x

2

− 1

x

2

si x < 0

(c) f (x) =

1 /x

• a si x < 0

0 si x = 0

b

1 /x si x > 0; b > 0

Exercici 2.35. Considereu la funci´o f (x) =

1 x− 3 − 1

1 x− 3

• 1

(a) Trobeu el domini de f.

(b) Estudieu la seva continu¨ıtat i classifiqueu les discontinu¨ıtats, si n’hi ha.

(c) La funci´o ´es cont´ınua per la dreta en tots els punts? Es pot for¸car que la funci´o sigui

cont´ınua per la dreta en tots els punts? Com?

Exercici 2.36. Estudieu la continu¨ıtat i classifiqueu els punts de discontinu¨ıtat de les fun-

cions seg¨uents:

(a) f (x) =

|x| x 6 = 0

1 x = 0

(b) f (x) =

x − [x] x ≥ 0

−x − [−x] x < 0

(c) f (x) =

x sin

x

x > 0

0 x = 0

Exercici 2.37. Estudieu la continu¨ıtat de la funci´o:

f (x) =

e

− 1 /x

2

x ≤ 1

e

− 1 /x(x−2) x > 1

Exercici 2.38. Representeu la funci´o f (t) = sin(t) · u(t − 2 π).

Exercici 2.39. Expresseu la funci´o f (x) = |x − 2 | en termes de la funci´o de Heaviside.

Exercici 2.40. Donada la funci´o

f (x) =

e

− 1 /

√ 1 −x si x < 1

sinh(x − 1) si x ≥ 1 ,

estudieu la continu¨ıtat a x = 1 i classifiqueu la discontinuitat, si n’hi ha. Expreseu-la en

termes de la funci´o de Heaviside.

Exercici 2.41. Considereu la funci´o

f (t) =

2 t

2 si 0 ≤ t < 3

t + 4 si 3 ≤ t < 5

9 si t ≥ 5.

Proveu que existeix un x 0 ∈ [0, 1] tal que f (x 0 ) = 100.

Exercici 2.48. Demostreu que l’equaci´o ln x = x

2 − 4 x t´e una soluci´o real dins de l’interval

[1, +∞).

Exercici 2.49. Demostreu que a l’equador de la Terra hi ha dos punts antipodals (un a

les ant´ıpodes de l’altre) amb la mateixa temperatura. Indicaci´o: considereu la funci´o f (x) =

T (x) − T (x + 180

◦ ), en qu`e T indica la temperatura del punt de l’equador de longitud x.

Exercici 2.50. Indiqueu raonadament si podem aplicar el teorema de Weierstrass per asse-

gurar que les funcions seg¨uents tenen m`axim i m´ınim absoluts en els conjunts que s’indiquen.

(a) f (x) = x

2 − 2 x + 3 en l’interval [− 1 , 0]

(b) f (x) = 1/x en el conjunt {x ∈ R : |x| ≥ 1 }

(c) f (x) = sin x en el conjunt {x ∈ R : | 2 x − 3 π| < π}

(d) f (x) = e

x ln |x

2 − 1 | en l’interval [− 1 , 2]

(e) f (x) =

sin x

x

, x 6 = 0

x, x = 0

en el conjunt {x ∈ R : |x| ≤ 1 }