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Grado en Biolog´ıa.
Formulario de Estad´ıstica
Intervalos de confianza al nivel 1 − α.
- Para μ. Siendo X 1 ,... , Xn una muestra de una v.a. normal
σ conocida
[
X −
σ √ n
zα/ 2 , X +
σ √ n
zα/ 2
]
σ desconocida
[
X − tα/ 2 (n − 1)
S
n
, X + tα/ 2 (n − 1)
S
n
]
[
p ˆ − zα/ 2
ˆp(1 − ˆp)
n
, pˆ + zα/ 2
ˆp(1 − ˆp)
n
]
Tests de una muestra.
a) Para la media μ. Siendo X 1 ,... , Xn una muestra de una v.a. normal
Contraste
H 0 : μ = μ 0
H 1 : μ 6 = μ 0
H 0 : μ 6 μ 0
H 1 : μ > μ 0
H 0 : μ > μ 0
H 1 : μ < μ 0
σ conocida
Se rechaza H 0 si
X − μ 0
σ/
n
> zα/ 2
X − μ 0
σ/
n
> zα
X − μ 0
σ/
n
< −zα
σ desconocida
Se rechaza H 0 si
X − μ 0
S/
n
> tα/ 2 (n − 1)
X − μ 0
S/
n
> tα(n − 1)
X − μ 0
S/
n
< −tα(n − 1)
Si n > 30, los test anteriores son v´alidos aunque no se verifique la hip´otesis de normalidad.
b) Para la varianza σ 2
. Siendo X 1 ,... , Xn una muestra de una v.a. normal
Contraste
H 0 : σ
2 = σ
2 0 H 1 : σ
2 6 = σ
2 0
H 0 : σ
2 6 σ
2 0 H 1 : σ
2 > σ
2 0
H 0 : σ
2 > σ
2 0 H 1 : σ
2 < σ
2 0
μ desconocida
Se rechaza H 0 si
(n−1)S 2
σ^20 < χ
2 1 − α 2
(n − 1)
o
(n−1)S 2
σ^20
> χ 2 α/ 2
(n − 1)
(n − 1)S 2
σ
2 0
> χ
2 α(n^ −^ 1)^
(n − 1)S 2
σ
2 0
< χ
2 1 −α(n^ −^ 1)
c) Para una proporci´on p.
Contraste
H 0 : p = p 0
H 1 : p 6 = p 0
H 0 : p 6 p 0
H 1 : p > p 0
H 0 : p > p 0
H 1 : p < p 0
Se rechaza H 0
|ˆp − p 0 | √ p 0 (1 − p 0 )
n
> zα/ 2
ˆp − p 0 √ p 0 (1 − p 0 )
n
> zα
p ˆ − p 0 √ p 0 (1 − p 0 )
n
< −zα
Estos test requieren que el tama˜no muestral n sea mayor que 30.
Tests de dos muestras.
a) Para la comparaci´on de varianzas σ
2 X , σ
2 Y.^ Siendo^ X^1 ,... , Xn^ e^ Y^1 ,... , Ym^ muestras independi-
entes de v.a. X e Y normales
Contraste
H 0 : σ
2 X =^ σ
2 Y
H 1 : σ
2 X 6 =^ σ
2 Y
H 0 : σ
2 X 6 σ
2 Y
H 1 : σ
2 X > σ
2 Y
Se rechaza H 0 si
S 2 X S 2 Y
> Fα/ 2 (n− 1 , m−1)
o
S 2 X S^2 Y
< F 1 −α/ 2 (n− 1 , m−1)
S 2 X S^2 Y
> Fα(n− 1 , m−1)
b) Para la comparaci´on de medias μX , μY. Siendo (X 1 ,... , Xn e Y 1 ,... , Ym muestras independi-
entes de v.a. X e Y normales)
b.1) Muestras independientes.
Contraste
H 0 : μX = μY
H 1 : μX 6 = μY
H 0 : μX 6 μY
H 1 : μX > μY
σ
2 X =^ σ
2 Y
Se rechaza H 0 si
|X − Y |
S
2 c
n
m
> tα/ 2 (n + m − 2)
X − Y
S
2 c
n
m
> tα(n + m − 2)
σ 2 X
= σ 2 Y Se rechaza H 0 si
|X − Y |
S
2 X n
S
2 Y m
> tα/ 2 (ν)
X − Y
S
2 X n
S
2 Y m
> tα(ν)
siendo S
2 c =
(n − 1)S
2 X
2 Y
n + m − 2
y ν el entero m´as pr´oximo a
S
2 X /n^ +^ S
2 Y /m
( S
2 X /n
) 2
n − 1
( S
2 Y /m
) 2
m − 1
Si n, m > 30, los test anteriores son v´alidos aunque la distribuci´on de las variables no sea normal.
b.2) Muestras relacionadas o apareadas.
Contraste
H 0 : μX = μY
H 1 : μX 6 = μY
H 0 : μX 6 μY
H 1 : μX > μY
Se rechaza H 0 si
|D|
SD /
n
> tα/ 2 (n − 1)
D
SD /
n
> tα(n − 1)
siendo D = X − Y. Si n > 30, los test anteriores son v´alidos aunque no se verifique la hip´otesis de
normalidad.
Regresi´on y correlaci´on.
Estimaci´on puntual:
β^ ˆ 1 =^
sxy
s 2 x
con:
sxy =
n − 1
n ∑
i=
(xi − x)(yi − y) =
n
n − 1
(xy − x y)
donde: xy =
n i= xiyi
n
β 0 = y −
β 1 x
Coeficiente de correlaci´on muestral
ρˆ = r =
sxy
sxsy
Contraste de hip´otesis
Fuentes de variaci´on:
- Variabilidad total: SCT =
∑n
i= (Yi − Y )
2 = (n − 1)s
2 y
- Variabilidad explicada por la regresi´on: SCR =
∑n
i= ( Yˆi − Y ) 2 = (n − 1)sxy βˆ 1
- Variabilidad residual: SCe =
n i= (Yi −
Yi)
2 = SCT − SCR
Fuente Variaci´on S.C. g.l. C.M. Vexp V cr´ıtico
Explicada SCR 1 CMR = SCR
CMR
CMe
Fα(1, n − 2)
Residual SCe n − 2 CMe =
SCe
n − 2
Total SCT n − 1
Se rechaza H 0 si Vexp > Fα(1, n − 2).
Intervalos de confianza, a un nivel de confianza 1 − α:
Para β 0 : [ βˆ 0 − ∆ 0 , βˆ 0 + ∆ 0 ]
Para β 1 : [
β 1 − ∆ 1 ,
β 1 + ∆ 1 ]
Donde:
∆ 0 = tα/ 2 (n − 2)
S
2 e
n
x 2
(n − 1)s 2 x
∆ 1 = tα/ 2 (n − 2)
S
2 e
(n − 1)s 2 x
y S 2 e = CMe, la varianza residual o varianza estimada de ε.
Coeficiente de determinaci´on
R
2
SCR
SCT
n i= (ˆyi − yi)
2
∑n
i= (yi − y i
)^2
= r
2
