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Departamento de MatemáticasUniversidad de Extremadura
Estad´ıstica. Grado en Biolog´ıa
Problemas: TEMA 5. Principales Distribucio- nes de probabilidad.
Problema 1 Una determinada caracter´ıstica gen´etica (flores de color azul) se presenta en el 30 % de las plantas de cierta especie. Tomando al azar 6 plantas a) ¿Cu´al es la probabilidad de que tres tengan flores azules? b) ¿y de que al menos cuatro de ellas tengan flores azules? c) ¿y de que cuatro de ellas no tengan flores azules?
Problema 2 Una cepa de enterobacterias, que puede producir trastornos digestivos leves, est´a presente en el 10 % de los quesos producidos artesanalmente en una zona. Analizando una muestra de 200 quesos, a) ¿Cu´al ser´ıa probabilidad de que hubiese catorce quesos infectados? b) ¿y la probabilidad de que hubiese m´as de cuatro quesos infectados? c) ¿y la de que haya m´as de cuatro pero menos de diez quesos infectados?
Problema 3 Si dos de cada cinco individuos de una especie animal es hembra, a) ¿Cu´al es la probabilidad de que de siete individuos cinco sean hembras? b) ¿Cu´al ser´a la probabilidad de que de siete individuos dos sean machos? c) ¿Cu´antos machos esperaremos por t´ermino medio? d) ¿Como se relacionan las variables que miden el n´umero de hembras y el n´umero de machos entre los siete elegidos? ¿Y las probabilidades relacionadas con ellas?
Problema 4 Un test de respuestas m´ultiples contiene veinte preguntas, cada una con cuatro respuestas posibles y s´olo una v´alida. Supongamos que un estudiante no ha estudiado nada y responde a todas las preguntas al azar. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que responda a 5 preguntas correctamente? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que responda a menos de 3 preguntas correctamente? c) ¿Cu´al es la probabilidad de que responda a m´as de 2 preguntas correctamente? d) ¿Cu´al es el n´umero medio esperado de preguntas correctas que contendr´a el examen de este alumno?
Problema 5 Un investigador de insectos comienza una excursi´on con el prop´osito de aumentar su colecci´on entomol´ogica. En base a experiencias anteriores, se sabe que uno de cada 20 insectos que captura pertenecen al grupo que est´a estudiando. Si en una hora consigue capturar 25 ejemplares: a)¿Cu´al es el n´umero medio de insectos de inter´es que captura por hora? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que al menos dos de los 25 sean interesantes para el estudio? c)¿Cu´al es la probabilidad de que no haya ninguno interesante en una hora? d)¿Y de que lo sean todos?
Problema 6 En una distribuci´on binomial sim´etrica, en la que el valor m´aximo de la variable es seis, calcular: a) Media, mediana y moda, b) Varianza, c) P (X = μ).
Problema 7 Supongamos que la probabilidad de que un paciente con tumor cerebral tenga un tumor maligno de 1/3, si consideramos tres pacientes con tumor cerebral escogidos al azar: a) Calcular las probabilidades de que ninguno, uno, dos ´o los tres pacientes tengan un tumor maligno. b) Calcular la media y moda de la distribuci´on de la variable n´umero de pacientes con tumor cerebral maligno que generan los tres pacientes indicados. c) La variable aleatoria n´umero de pacientes con tumor maligno entre tres pacientes con tumor cerebral ¿tiene asimetr´ıa positiva o negativa y por qu´e?
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Problema 8 En cierta zona el 30 % de los insectos de una especie est´an infectados por un virus. Se toma una muestra aleatoria de 100 insectos, a) ¿Cu´al es el n´umero medio de insectos infectados que se espera en la muestra? b) ¿Cu´al ser´a la probabilidad de que haya menos de 20 infectados? c) ¿Cu´al ser´a la de que haya entre 25 y 35 insectos infectados? d) ¿Cu´al ser´a la de que haya menos de 30 infectados?
Problema 9 Un par´ametro ambiental con comportamiento c´ıclico medido aleatoriamente presen- ta una distribuci´on uniforme en el intervalo [20, 60] μ g/m^3 de aire. Legalmente la concentraci´on no deber´ıa superar los 44 μ g/m^3 a) Calcular la probabilidad de que una inspecci´on aleatoria detecte que se est´a superando el l´ımite legal. b) Calcular la concentraci´on promedio que se est´a presentando en la estaci´on de medida.
Problema 10 El tiempo medido en minutos que cierta persona invierte en ir de su casa a la estaci´on del tren es un fen´omeno aleatorio que obedece una distribuci´on uniforme continua en el intervalo 20 a 25 minutos. ¿Cu´al es la probabilidad de que alcance el tren que sale de la estaci´on a las 7.28 horas si deja su casa a las 7.05?
Problema 11 La longitud de las orejas de determinada raza canina est´a normalmente distribuida con media 6.4 cm. y desviaci´on t´ıpica 3.6 cm. ¿Qu´e proporci´on de la poblaci´on se esperar´ıa que tenga la longitud de las orejas: a) Mayor que 9 cm.? b) Mayor que 3.56 cm.? c) entre 5.8 y 7. cm.?
Problema 12 Los pesos de una poblaci´on de animales se distribuyen normalmente con media de 900 Kg y desviaci´on t´ıpica de 100 Kg. a) Determ´ınese el valor de peso que deja entre la media y ´el mismo el 44 % de la distribuci´on. b) Determ´ınese el valor de la variable que deja por encima de ´el, el 95 % de la distribuci´on. c) Determ´ınese el valor de la variable que deja por encima el 20 % de la poblaci´on.
Problema 13 El valor medio de ´acido pir´uvico en sangre es de 1000 mg/ 100 cc, con una desviaci´on t´ıpica de 400 mg/ 100 cc Suponemos que dicha variable se distribuye seg´un un modelo normal. a) Calcula el porcentaje de individuos de la poblaci´on que presenta una valor de ´acido pir´uvico comprendido entre 800 y 1500. b) Calcula el valor de ´acido pir´uvico que es superado por el 30 % de la poblaci´on.
Problema 14 El tiempo de reacci´on de un conductor a un est´ımulo visual se supone distribuido normalmente con una media de 0.4 segundos y una desviaci´on t´ıpica de 0.05 segundos. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que un conductor necesite m´as de 0.5 segundos para reaccionar? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que la reacci´on requiera entre 0.3 y 0.5 segundos? c) ¿Cu´al es el tiempo de reacci´on que superan el 10 % de los conductores?
Problema 15 En cierta poblaci´on de primates, el volumen de la cavidad craneal se distribuye seg´un un modelo normal de media 1200 cm^3 y desviaci´on t´ıpica 140 cm^3. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que un miembro de la poblaci´on seleccionado al azar tenga una capacidad craneal superior a 1400 cm^3? ¿y de que dicha capacidad entre 1000 y 1050cm^3? ¿y de que sea menor que 1300 cm^3 ?. b) Hallar el valor x tal que el 20 % de los primates tenga una capacidad craneal m´as peque˜na que x. c) Hallar el valor y tal que el 10 % de los primates tenga una capacidad craneal superior a y.
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d) ¿Cu´al es el n´umero x de animales tal que: la probabilidad de que haya menos de x animales con baja cantidad de az´ucar en sangre entre los cinco capturados es de 0.3370?
Problema 21 (Examen junio (2015)) En una determinada poblaci´on de arenque Pomolobus aes- tivlis, la longitud de los peces sigue una distribuci´on normal. La media de la longitud de los peces de esa especie es 54.0 mm, y la varianza es 20.25mm.
a) Calcula la probabilidad de que un pez elegido al azar de esa poblaci´on mida m´as de 51mm de largo.
b) ¿Qu´e longitud es superada por el 30 % de la poblaci´on?
c) Elegimos al azar y de manera independiente 10 peces de esta poblaci´on, calcula la probabi- lidad de que ninguno de estos diez peces mida m´as de 51mm.
