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1.1. Revisión de MRU y MRUV Elaborado por Julio César Macías Zamora
1.1. Revisión de mru y mruv. El movimiento rectilíneo uniforme (mru) es un movimiento que se realiza con velocidad constante, y la ecuación que permite representar ese movimiento es
∆ x = vx t (1)
La ecuación anterior puede ser expresada también como función de las posiciones inicial y final
x = x 0 + vt (2)
Los gráficos posición versus tiempo y velocidad versus tiempo son muy útiles a la hora de determinar ciertos datos.
Velocidad
Tiempo
Figura 1
Posición
Tiempo
Figura 2
En el gráfico velocidad versus tiempo podemos calcular el desplazamiento a partir del cálculo del área debajo de dicha curva.
Velocidad
Tiempo
Figura 3
ÁREA
Para el gráfico posición versus tiempo, la representación es una recta que puede estar inclinada hacia la derecha (como en el caso de la figura 2), puede estar inclinada hacia la izquierda, o puede estar en forma horizontal. Para el caso expuesto en la figura 2, la partícula se está moviendo a favor del sistema de referencia, porque está aumentando la posición en los valores positivos, por lo tanto su velocidad tendrá también la misma dirección, esto es, en la dirección positiva. Para el caso en que la recta esté inclinada hacia la izquierda, la velocidad será negativa porque está disminuyendo la posición, y finalmente para el caso en que la recta sea horizontal la velocidad será cero porque no ha cambiado la posición, y por lo tanto el desplazamiento será cero y consecuentemente, la velocidad será cero.
Matemáticamente, la inclinación de la recta se denomina pendiente , y se la determina mediante la ecuación
2 1
2 1
x y
y y
m
donde y 2 representa el valor final de la cantidad física que está en el eje y, en este caso la posición final, y 1 representa el valor inicial de la cantidad física que está en el eje y, en este caso la posición inicial, de igual manera x 2 y x 1 representan los valores inicial y final de la cantidad física que existe en el eje x, en este caso el tiempo.
El movimiento rectilíneo uniformemente variado es un movimiento en el que la aceleración permanece constante, de manera que la rapidez cambia de forma constante. Eso expresado matemáticamente es
1.1. Revisión de MRU y MRUV Elaborado por Julio César Macías Zamora
0 ( )^1
0
0
v v at
at v v
t
v v t
v a
Si hacemos uso del criterio anterior, el área debajo de la curva velocidad versus tiempo da como resultado el desplazamiento podemos deducir las ecuaciones que ayudan a analizar este movimiento. Además, se sabe que el área de un trapecio (en este caso trapezoide) es el producto de la semisuma de las bases por la altura del mismo.
v(m/s)
t(s)
t
v
v 0
A =Desplazamiento
( ) 2 2
x v v^0 t
h
B b A
×
Si reemplazamos la ecuación (1) en la ecuación (2) tendremos
( )
( )
( )
( ) 3 2
2 0
2 0 0
0 0
0
0
x v t at
v t at t
v at x
t
v at v x
v v at
t
v v x
Si ahora reemplazamos la ecuación (1) en la ecuación (2), pero con el tiempo despejado tendremos
Figura 4
1.1. Revisión de MRU y MRUV Elaborado por Julio César Macías Zamora
1.1.1. Ejercicios resueltos
- Encuentre la velocidad media y la rapidez media de la pelota que está amarrada a la cuerda, y que sale del punto P y llega al punto Q, si demora 0.60 s en el recorrido.
SOLUCIÓN
La velocidad media es la razón entre el desplazamiento y el tiempo. En la figura 6 se muestra con la flecha PQ el desplazamiento, y con línea curva PQ la distancia recorrida por la partícula.
El desplazamiento de la partícula es (^) ∆ r =(− 0. 60 i ˆ− 0. 60 j ˆ) m , por tanto la velocidad media será
( ) s
i j m Vm
- 60
= =^ Vm^ =^ (^ − i ˆ^ − j ˆ)^ m / s , y la magnitud de la velocidad media es, por tanto
Vm m s
Vm m s
La distancia recorrida por la partícula está compuesta de dos trayectorias circulares, la una es la cuarta parte de la longitud de la circunferencia que tiene por radio r 1 = 0.85 cm, y la otra parte de la trayectoria curvilínea son las tres cuartas partes de una circunferencia de radio r 2 = 0.25 cm.
( )
( ) ( ( ))
d m
m m d
r r d
d d d
TOTAL
TOTAL
TOTAL
TOTAL
1 2
P
Q
85 cm
60 cm
Figura 5
P
Q
85 cm
60 cm
Figura 6
1.1. Revisión de MRU y MRUV Elaborado por Julio César Macías Zamora
Por tanto la rapidez media será
Rapm m s
Rapm m s
- 183 /
- Dos partículas se encuentran separadas 100 m, y se dirigen la una hacia la otra con velocidades constantes de 5 m/s y – 3 m/s. Encuentre la distancia, a partir de la ubicación de la partícula que se mueve a 5 m/s, en que ocurre el encuentro.
SOLUCIÓN
La figura 7 muestra la situación presentada en el enunciado del problema anterior. En este caso estamos considerando nuestro sistema de referencia como positivo hacia la derecha. Recuerde
que el signo en la velocidad solamente indica la dirección del movimiento, por lo tanto la partícula que se mueve en la dirección positiva (hacia la derecha) es la partícula que tiene velocidad + 5 m/s, y la partícula que se mueve hacia en la dirección negativa (hacia la izquierda) es la que tiene la velocidad – 3 m/s.
En la figura 8 mostramos el desplazamiento realizado por cada partícula.
5 m/s 3 m/s
Figura 8
100 m
3 m/s 5 m/s
∆∆ ∆∆ x 1 ∆∆∆∆ x 2
Note que el desplazamiento de la partícula 1 es positivo, mientras que el desplazamiento de la partícula 2 es negativo. Además, recuerde que si una partícula no cambia la dirección del movimiento, la distancia recorrida es igual a la magnitud del desplazamiento, o sea, la distancia recorrida por la partícula 1 es igual a la magnitud del desplazamiento 1, y la distancia recorrida por la partícula 2 es igual a la magnitud del desplazamiento 2. Fíjese también que de la figura 4 se puede concluir que la distancia recorrida por la partícula 1 más la distancia recorrida por la partícula 2 es igual a 100 m, en ecuaciones esto es,
d 1 + d 2 = 100 m
pero recuerde que la distancia 1 es la magnitud del desplazamiento 1, y la distancia 2 es la magnitud del desplazamiento 2, o sea,
∆x 1 +∆x 2 = 100 m
pero recordemos que en el movimiento rectilíneo uniforme (con velocidad constante) el desplazamiento es igual al producto de la velocidad por el tiempo transcurrido.
v 1 t + v 2 t = 100 m (5 m/s)t + (-3 m/s)t = 100 m (5 m/s)t + (3 m/s)t = 100 m (8 m/s)t = 100 m
t = 12.5 s
5 m/s 3 m/s
Figura 7
100 m
1.1. Revisión de MRU y MRUV Elaborado por Julio César Macías Zamora
- Desde la terraza de un edificio de 50 m de altura se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una velocidad de 20 m/s. Al mismo instante y desde la calle se lanza otro objeto en forma vertical con una velocidad de 30 m/s. Encuentre el tiempo en que los objetos se encontrarán.
SOLUCIÓN
Realizamos un gráfico en el que representemos todos los datos dados. De acuerdo a los datos presentados podemos utilizar la ecuación de desplazamiento. Además note que el desplazamiento de la partícula que parte desde la terraza del edificio es negativo, mientras que el desplazamiento de la partícula que parte desde el nivel de la calle es positivo, de acuerdo a la referencia normal del eje y, que es positiva hacia arriba y negativa hacia abajo.
∆y = v 0 t + ½ ayt^2 (1) – y = 20t + ½ (- 9.8)t^2 y = - 20t + 4.9 t^2 (2) 50 - y = 30t - 4.9 t^2
Si sumamos las dos ecuaciones tenemos
50 = 10t ⇒ t = 5s
- Una caja cae desde el reposo y desde una altura de 20 m. Justo en el instante antes de tocar el suelo, un objeto se lanza desde la caja verticalmente y hacia arriba con una velocidad de 25 m/s (con respecto a la caja). Determine el tiempo que el objeto tardará en volver al suelo. Use g = 10 m/s^2.
SOLUCIÓN
La gráfica adjunta muestra la situación inicial y final de la caja junto con el objeto que va en su interior. Mientras el objeto vaya dentro de la caja, lleva la misma velocidad que ésta, por tanto la velocidad con que sale el objeto de la caja es la suma vectorial de las velocidades. Calcularemos primero la velocidad con que cae la caja.
v^2 = v 02 + 2ay∆y v^2 = 0 + 2(-10)(-20) v = - 20 m/s (es negativa por tener dirección opuesta a la referencia positiva)
La velocidad de la caja respecto de la tierra es
VCAJA + VOBJETO = 25 + (– 20) = 5 m/s
El gráfico siguiente muestra al objeto en caída libre (a = -10 m/s^2 ). Recuerde que para un objeto en caída libre, en posiciones iguales la magnitud de la velocidad es la misma, pero de sentido opuesto.
v = v 0 + ayt
- 5 = 5 – 10t
- 10 = - 10t t = 1 s
20 m/s
30 m/s
Punto de encuentro
y
50 - y
Figura 10
20 m
vobjeto = 25 m/s
vcaja
Figura 11
v 0 = 5 m/s
v = - 5 m/s
Figura 12
1.1. Revisión de MRU y MRUV Elaborado por Julio César Macías Zamora
- Una piedra se deja caer en un pozo y se oye el ruido producido al chocar con el agua 3.2 s después. Calcule la profundidad del pozo hasta donde comienza el nivel del agua. Velocidad del sonido 340 m/s.
SOLUCIÓN
Los 3.2 s es el tiempo total, desde que la piedra cae y choca con el agua, hasta que el sonido llega hasta fuera del pozo.
3.2 = t 1 + t 2
El movimiento de la piedra es en caída libre, mientras que el del sonido es rectilíneo uniforme.
∆yPIEDRA = v 0 t + ½ at^2 -y = 0 – 4.9 t 12 ⇒ t 1 =
- 9
y (^) =
- 9
y
∆ySONIDO = vt y = 340 t 2 ⇒ t 2 = y/
Reemplazando en la primera ecuación tenemos
h h^2
y y
Haremos un cambio de variable para facilitar la solución de la ecuación. Dejaremos h = (^) y , y h^2 = y, y luego
eliminamos los denominadores. 2408.39 = 340h + 2.21h^2 2.21h^2 + 340h – 2408.39 = 0
- 42
− 340 ± 3402 + 4 ( 2. 21 )( 2408. 39 ) h =
h 1 = 6.78 ⇒ y 1 = 46 m h 2 = -160.63 ⇒ y 2 = 25802 m
Debido a que la profundidad del pozo no puede ser 25802 m, la respuesta es 46 m.
- Un globo asciende con velocidad constante de 20 m/s. A los 5 s de su partida se lanza desde el globo un objeto horizontalmente con una velocidad de 10 m/s. Encuentre el tiempo que tardará el objeto en llegar al suelo desde el instante en que fue lanzado.
SOLUCIÓN
Según se ve en el gráfico. La partícula no sale horizontalmente , porque también lleva una velocidad vertical, la que es igual a la que lleva el globo. La partícula parte desde la altura h, que es la altura a la que ha ascendido el globo en movimiento rectilíneo uniforme (velocidad constante) durante los 5s. Esta altura la calculamos como sigue
y = vyt y = (20 m/s)(5s) y = 100 m
El movimiento del objeto es de caída libre una vez que sale del globo, debido a que sólo se ve afectado por la aceleración de la gravedad. El tiempo de caída del objeto lo calculamos mediante la ecuación
y = v0Yt + ½ aYt^2
t (^1) t 2
Figura 13
V = 20m/s
h t = 5s
V=10 m/s
Figura 14
1.1. Revisión de MRU y MRUV Elaborado por Julio César Macías Zamora
- Un objeto se lanza horizontalmente con una velocidad de 20 m/s desde una altura de 10 m, como se indica en la figura 17, ¿qué aceleración debería imprimir el carrito para que el objeto caiga en él?, asumiendo que parten al mismo tiempo.
SOLUCIÓN
Debido a que tanto el carrito como el objeto salen al mismo tiempo, el tiempo del movimiento es el mismo para ambas partículas. Además, si el objeto cae en el carrito, la distancia que recorre el carrito es la misma que recorre el objeto horizontalmente. Con este análisis planteamos las ecuaciones necesarias.
ANÁLISIS PARA EL OBJETO
y = v0Yt + ½ aYt^2 x = vXt -10 = - 4.9t^2 x = 20(1.43) t = 1.43 s x = 28.
ANÁLISIS PARA EL CARRITO x = v0Xt + ½ aXt^2 28.6 = ½ aX(1.43)^2 aX = 28 m/s^2
- Se lanzan tres piedras A, B y C, desde el filo de una terraza con la misma rapidez inicial, como se muestra en la figura 18. La rapidez con la que cada piedra llega al suelo está relacionada por: a) VA = VB = VC b) VA < VB < VC c) VA > VB > VC d) VA = VC > VB e) VA = VC < VB
SOLUCIÓN
Las tres parten desde el mismo punto por tanto la altura desde la que caen es la misma, por tanto la velocidad con la que llegarán al piso es la misma. La demostración matemática se da a continuación.
Vy V Sen gy
Vy Vy gy
2
2 2 0
2
2 0
2
= −
θ^ θ
θ (^22) 0
2
0 V V Cos
Vx VCos
x =
Aquí y = - h por la ubicación del sistema de referencia. La velocidad final total de las tres partículas está dada por
2 2
V = VX + V Y
V = V 02 Cos^2 θ+ V 02 Sen^2 θ+ 2 gh
Podemos factorizar la última expresión, y luego utilizar la identidad trigonométrica Sen^2 θ + Cos^2 θ = 1
V V gh
V V Cos Sen gh
2
( ) 2 2 0
2 2 2 0 = +
= θ+ θ+
Resultado que no depende más que de la rapidez con que fue lanzado el objeto y de la altura de donde fue lanzado.
20 m/s
10 m
Figura 1 7
A
C
B
h
Figura 1 8
h
V 0
h
V 0
h
V 0
Figura 1 9
1.1. Revisión de MRU y MRUV Elaborado por Julio César Macías Zamora
1.1.2. Ejercicios propuestos
- Un carro cubre la primera mitad de la distancia recorrida entre dos puntos con una rapidez de 10 m/s.
Durante la segunda mitad, su rapidez es 40 m/s. ¿Cuál es la velocidad media del carro durante todo el recorrido? (Deber 1, I término 2005 – 2006). Respuesta: 16 m/s.
- Un coche lleva una velocidad de 72 km/h y los frenos que posee son capaces de producirle una desaceleración máxima de 6 m/s^2. El conductor tarda 0.8 s en reaccionar desde que ve un obstáculo hasta que logra frenar. ¿A qué distancia ha de estar el obstáculo para que el conductor pueda evitar el choque? (Deber 1, I término 2004 – 2005). Respuesta: 49 m.
- Una pelota rueda por una pendiente desde el reposo, y con aceleración constante, recorriendo 150 m en 5 s. ¿Qué distancia recorrió durante el quinto segundo de su movimiento? (Deber 1, I término 2004 – 2005). Respuesta: 54 m.
- Un tren subterráneo acelera a 1.20 m/s^2 desde el reposo entre dos estaciones que están separadas 1100 m. Cuando llega a la mitad de esta separación desacelera a 1.20 m/s^2 hasta llegar al final. Encuentre el tiempo que se mueve entre las estaciones y la máxima rapidez alcanzada por el tren. (Deber 2, I término 2000 – 2001). Respuesta: 60.6 s, 36.3 m/s.
- Un objeto cae al vacío desde la azotea de un edificio y recorre una distancia h hasta llegar a la acera. En el último segundo de su caída recorre una distancia de h/4. Encuentre la altura del edificio. (Deber 1, I término 2004 – 2005). Respuesta: 273 m.
- Un globo asciende con una rapidez de 12 m/s a una altura de 80 m sobre el suelo cuando suelta un paquete. ¿Qué tiempo tarda el paquete en llegar al suelo? (Deber 2, I término 2000 – 2001). Respuesta: 5.4 s.
- Un helicóptero desciende verticalmente con una rapidez constante de 10 m/s, al llegar a una altura de 1500 m sobre el terreno se deja caer un paquete desde una de sus ventanas. a) ¿Cuánto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo? b) ¿Con qué velocidad llega el paquete al suelo? (Examen final de Física A, 2 de septiembre de 2005). Respuesta: a) 18.5 s; b) – 191.7 m/s
- Una partícula que se mueve en el plano XY con aceleración constante (^) a = ( 4 i ˆ+ 3 ˆ j ) ms^2. En el instante
inicial se encuentra en el punto de coordenadas (4,3) y su velocidad en dicho instante es v = ( 2 i ˆ− 9 ˆ j ) ms. Encuentre: a) La posición de la partícula a los 4 s. b) La velocidad de la partícula a los 4 s. (Examen parcial de Física A, I término 2005). Respuesta: a) (^) x = ( 44 i ˆ − 9 j ˆ) m ; b) (^) v =( 18 i ˆ + 3 ˆ j ) ms
- Se deja caer una piedra desde una altura de 120 m. ¿Qué distancia recorre en el último segundo antes de
tocar el suelo? (Examen parcial de Física I, Invierno 2005). Respuesta: 43.6 m
- La rapidez total de un proyectil en su altura máxima es v 1 y es igual a 6 7 de la rapidez total v 2 , cuando
está a la mitad de la altura máxima. Demuestre que el ángulo de elevación del proyectil es 30º. (Deber 1, II término, 2002 – 2003).
- Una mujer lanza un globo lleno de agua a 50º sobre la horizontal con una rapidez de 12 m/s. La componente horizontal de la velocidad se dirige hacia un auto que avanza hacia la mujer a 8 m/s. Para que el globo golpee al auto, ¿a qué distancia máxima de la chica puede estar éste en el instante del lanzamiento? Ignore la resistencia del aire. (Deber 1, I término, 2005 – 2006). Respuesta: 29.5 m
1.2. Uso del cálculo en cinemática Elaborado por Julio César Macías Zamora^15
1.2. Uso del cálculo en cinemática. El cálculo diferencial e integral es una herramienta poderosa a la hora de analizar ejercicios de cinemática en los que los movimientos se dan con aceleración variada.
Se define a la velocidad como a la derivada de la posición con respecto al tiempo, esto es,
dt
d x
v =
Y a la aceleración como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo
dt
d v
a =
A continuación presentamos la tabla de derivadas que nos ayudarán a resolver ejercicios en los que se involucren estas
dt
d (constante )
Derivada de cualquier constante es cero
dt
dt
Derivada del tiempo es la unidad
n
n
nt
dt
d t
Derivada de una potencia es el producto del exponente por la variable
disminuida en uno el exponente
dt
dg
dt
df
dt
d f g
Derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas
^ +
dt
df
g
dt
dg
f
dt
d fg
Derivada de un producto es igual al producto de la primera función por la
derivada de la segunda función, más el producto de la segunda función por la derivada de la primera función.
g
dt
dg
f
dt
df
g
g
f
dt
d
^ −
^ =
Derivada de un cociente es igual a producto de la función del
denominador por la derivada de la función del numerador, menos el producto de la función del numerador por la derivada de la función del denominador, todo lo anterior dividido entre el cuadrado del denominador.
También será de utilidad una tabla de integrales para los ejercicios en los que haya que utilizarlas.
1. ∫ dt = t Integral de la unidad es igual a la variable que se analiza.
C
n
t
t dt
n n
1 Integral de una potencia es igual a la potencia aumentada en la
unidad dividido entre el exponente aumentado.
3. ∫ cf ( t ) dt = c ∫ f ( t ) integral de una constante por una función es igual a la constante por
la integral de la función.
4. ∫ ( f + g ) dt =∫ fdt +∫ gdt Integral de una suma es igual a la suma de las integrales
5. dt lnt C
t
16 1.2. Uso del cálculo en cinemática Elaborado por Julio César Macías Zamora
1.2.1. Ejercicios resueltos.
- El movimiento de una partícula se define por la relación x = 2 t^3 − 9 t^2 + 12 , donde x se expresa en metros
y t en segundos. Calcular el tiempo, la posición y aceleración cuando v = 0. (Tomado del libro Mecánica vectorial para ingenieros de Beer – Jonhston)
SOLUCIÓN
La velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo, por lo tanto derivamos primero la función de posición con respecto al tiempo y luego determinamos el tiempo en el que se hace cero la velocidad.
( ) dt
d t t v
dt
dx v
2 3 − 92 + 12
( ) ( ) ( ) dt
d dt
d t dt
d t v
= − + La derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas.
v = 3 ( 2 t^3 −^1 ) − 2 ( 9 t^2 −^1 ) + 0 Derivada de una potencia y derivada de una constante. v = 6 t 2 − 18 t 0 = 6 t^2 − 18 t Averiguamos en qué tiempo la velocidad es cero. ( )
t t
t t
tt
Con estos tiempos calculamos las posiciones donde se encuentra la partícula
( ) ( ) x m
x 12
= − + La posición para el tiempo t = 0 es x = 120 m.
( ) ( ) x m
x 15
3 2
= −
= − + La posición para el tiempo t = 3 s es x = - 15 m.
La aceleración es la derivada de la velocidad. Primero derivamos la expresión de la velocidad y luego evaluamos en los tiempos encontrados.
( )
( ) ( )
( ) ( ) 12 18
21 11
2
2
− −
a t
a t t
dt
d t dt
d t a
dt
d t t a
( )
18 2
a m s
a
= −
Cuando el tiempo es cero la aceleración es – 18 m/s^2.
( )
18 2
a m s
a
=
Cuando el tiempo es tres segundos la aceleración es 18 m/s^2.
18 1.2. Uso del cálculo en cinemática Elaborado por Julio César Macías Zamora
( ) ( ) ( )
x m
x
8
= − + + Posición de la partícula a t = 3 s
La primera distancia recorrida fue (^) m m m 3
La segunda distancia recorrida fue (^) m m m 3
Por lo tanto, la distancia total recorrida fue 22/3 m, que aproximadamente es 7.3 m, y la posición a los tres segundos es 8 m.
- La posición de una partícula a lo largo de una trayectoria recta se define como
x ( t ) = ( t 3 − 6 t 2 − 15 t + 7 ) pies , donde t está en segundos. Halle, a partir de la ecuación dada: a) Expresiones para la velocidad y la aceleración en función del tiempo. b) La distancia total recorrida cuando t = 10 s. c) La velocidad media en ese instante. (Tomado del deber # 1 de Física I, I Término 2003 – 2004).
SOLUCIÓN a) La velocidad está dada por la derivada de la posición con respecto al tiempo
( )
( )
v ( ) t ( t t ) pies/s
dt
dt t t vt
3 12 15
2
3 2
Aquí v(t) significa que la velocidad está en función del tiempo.
La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo
( )
( ) 2
2
a t pies/ s
dt
d t t a
= −
b) Para calcular distancia recorrida debemos de averiguar los tiempos en los que ocurren los cambios en la dirección del movimiento; y esto ocurre cuando la velocidad es cero.
( )( ) 5 1
2
2
t t
t t
t t
t t
Puesto que no existe la posibilidad de tener tiempos negativos, la partícula cambia la dirección del movimiento solo una vez, y esto ocurre a los cinco segundos. A partir de esto calculamos las posiciones a t =0, t = 5 s y t = 10 s.
( ) (( ) ( ) ( ) ) x^ ( )^ pies
x pies 0 7
3 2
=
= − − + Posición de la partícula a t = 0
( ) (( ) ( ) ( ) ) x^ ( )^ pies
x pies 0 93
3 2
= −
= − − + Posición de la partícula a t = 5 s
( ) (( ) ( ) ( ) ) x ( ) pies
x pies 10 257
3 2
=
= − − + Posición de la partícula a t = 10 s
La primera distancia recorrida fue (^) − 93 − 7 = 100 pies
La segunda distancia recorrida fue (^257) −(− 93 ) = 350 pies
1.2. Uso del cálculo en cinemática Elaborado por Julio César Macías Zamora^19
Por lo tanto la distancia total recorrida fue 450 pies
c) La velocidad media es el desplazamiento realizado en ese tiempo
v pies/ s
s
pies pies v
t
x v
m
m
m
4. Un punto se mueve según las ecuaciones de movimiento x ( t ) = 5 t 2 + 2 t^3 , y ( t ) = 5 t^2 − t^4 y z ( t ) = 25 t − t^3 ,
donde x, y, z están expresadas en centímetros y t en segundos. Encuentre: a) Las componentes de la velocidad y de la aceleración en el tiempo t = 2 s. b) La distancia entre el punto y el origen cuando t = 2 s. (Tomado del deber # 1 de Física A, I Término 2005 – 2006).
SOLUCIÓN a) La velocidad es la derivada de la posición en cada uno de los ejes.
[ ( )] [^ (^ )]^ [ ( )]
v ( ) t [( t t ) iˆ ( t t ) ˆj ( t ) kˆ ] cm/s
kˆ dt
d t t ˆj dt
d t t iˆ dt
d t t vt
kˆ dt
dzt ˆj dt
dyt ˆi dt
dxt vt
2 3 2
2 3 2 4 3
Ahora calculamos el valor de la velocidad para t = 2 s
( ) {[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( )] [ ( ) ]}
v ( ) ( iˆ ˆj kˆ ) cm/s
v iˆ ˆj kˆcm/s
2 44 12 13
La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.
[ ( )] [^ (^ )]^ [ ( )]
( ) [( ) ( 2 ) ( ) ] 2
2 3 2
at tiˆ t ˆj tkˆcm/ s
kˆ dt
d t ˆj dt
d t t iˆ dt
d t t at
kˆ dt
dv t ˆj dt
dv t iˆ dt
dv t a t x y z
De la ecuación obtenida encontramos la aceleración a t = 2s.
( ) [ ( )] [ ( ) ] [ ( )]
2
2 34 38 12
a iˆ ˆj kˆcm/ s
a ˆi ˆj kˆ
= − −
b) La distancia solicitada es la magnitud del vector posición en ese instante.
x ( ) cm
x 2 36
y ( ) cm
y 2 4
2 4
=
z ( ) cm
z 2 42
El vector posición está dado por
r ( t ) =( 36 ˆi + 4 ˆj + 42 kˆ ) cm
La magnitud de este vector es
r ( ) t. cm
rt
5546
1.2. Uso del cálculo en cinemática Elaborado por Julio César Macías Zamora^21
( )
( )
( ) ( )
2 4 0
0
11 31
3
3
3
x x t. t
x x
t t
tdt t dt dx
t t dt dx
t t dt dx
dt
dx v
∫ ∫ ∫
∫ ∫
En esta última ecuación reemplazamos las condiciones iniciales del enunciado
( ) ( ) 100
0
2 4 0
2 4 0
x
x.
x x t .t
Por lo tanto, la ecuación de posición queda definida como
x = 100 + 9 t^2 − 0_._ 5 t^4
La posición de la partícula a los cuatro segundos es, entonces
( ) ( ) ( ) x ( ) m
x. 4 116
La velocidad a t = 4 s la calculamos con la ecuación deducida en el literal anterior
( ) ( ) ( ) v ( ) m/s
v
v t t
3
3
c) La distancia recorrida la calculamos con la posición a t = 0, t = 3 s (donde cambia la dirección del movimiento) y t = 4 s.
x = 100 + 9 t^2 − 0_._ 5 t^4 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) x ( ) m
x. .m
x. m
2 4
2 4
Distancia recorrida 1 = (^140). 5 − 100 = 40_._ 5 m
Distancia recorrida 2 = (^116) − 140_._ 5 = 24_._ 5 m Distancia total recorrida = 65 m
22 1.2. Uso del cálculo en cinemática Elaborado por Julio César Macías Zamora
- En el mismo instante, dos carros A y B parten desde el reposo en una meta. El carro A tiene una
aceleración constante aA = 8 m/s^2 , mientras que el carro B tiene una aceleración aB = ( 2 t^3 /^^2 ) m /s^2 , donde
t se mide en segundos. Determine la distancia entre los dos carros cuando A alcanza la rapidez vA = 120 km/h. (Tomado del libro Mecánica para ingenieros, R. C. Hibbeler).
SOLUCIÓN Para encontrar la separación entre los autos debemos de averiguar el tiempo en el que el auto A alcance la rapidez 120 km/h, y en este tiempo averiguar la posición de cada uno de los autos. La partícula A tiene un movimiento rectilíneo uniformemente variado, de manera que es posible calcular el tiempo con las ecuaciones de cinemática con aceleración constante
t. s
m/ s
.m/s t
km/h m/s t
v v at
2
2
0
La posición de la partícula A está dada por
x. m
x m/s. s
x x vt at
2 2
2 0 0
Para B primero encontramos la ecuación de la velocidad
0 52
0
321
32
32
v v t
v v /
t
t dt dv
t dt dv
adt dv
dt
dv a
/
/
/
Evaluamos la velocidad para t = 0.
0
52 0
=
v
v /
Con esta ecuación encontramos la ecuación de posición para la partícula B
