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Formulas de matemáticas aplicadas, Apuntes de Matemáticas

Universidad Bicentenaria de Aragua (UBA) - Turmero Matemáticas

Formulas de matemáticas aplicadas para universidad

Tipo: Apuntes

2019/2020

Subido el 23/10/2020

megauser3 🇺🇾

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

SECRETARÍA GENERAL

COORDINACIÓN DE PROGRAMAS DE

ATENCIÓN DIFERENCIADA PARA ALUMNOS

COPADI

FORMULARIO

C O P A D I

¡MÁS DE 400 FÓRMULAS DE MATEMÁTICAS!

ING. ÉRIK CASTAÑEDA DE ISLA PUGA

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

ESTA OBRA SE REALIZÓ GRACIAS A LA DGAPA, A TRAVÉS DE UN PROYECTO PAPIME

Descubre Apuntes de Matemáticas Universidad Bicentenaria de Aragua (UBA) - Turmero

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Fórmulas matemáticas aplicadas 2ºBach

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Matemáticas Aplicadas

Matematicas Aplicadas

Matemáticas aplicadas.

Matemáticas aplicadas

Matemáticas Aplicadas

Matemáticas aplicadas

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¡Descarga Formulas de matemáticas aplicadas y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

SECRETARÍA GENERAL

COORDINACIÓN DE PROGRAMAS DE

ATENCIÓN DIFERENCIADA PARA ALUMNOS

COPADI

FORMULARIO

C O P A D I

¡MÁS DE 400 FÓRMULAS DE MATEMÁTICAS!

ING. ÉRIK CASTAÑEDA DE ISLA PUGA

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

ESTA OBRA SE REALIZÓ GRACIAS A LA DGAPA, A TRAVÉS DE UN PROYECTO PAPIME

P R Ó L O G O

Las asignaturas de matemáticas en la Facultad de Ingeniería, que fundamentalmente

se imparten en su División de Ciencias Básicas, constituyen herramientas muy

poderosas -y en ocasiones son un auténtico lenguaje- para la comprensión y

aplicación de las asignaturas físicas y también para aquellas propias de las carreras

de ingeniería. Son apoyos valiosos para los estudios de posgrado -maestrías y

doctorados- y para el ejercicio profesional.

Es por ello que, para contar con estudiantes con una formación sólida en Ciencias

Básicas y que tengan buenas posibilidades de éxito en su devenir académico y

profesional, resulta importante y trascendente su aprendizaje de las diferentes ramas

de las matemáticas que deben estudiar como son el Álgebra, la Geometría Analítica,

El Álgebra Lineal, el Cálculo con una y varias variables, las Ecuaciones Diferenciales

y las Matemáticas Avanzadas.

Y para esto hemos pensado en proporcionar a los estudiantes de ingeniería estos

formularios, que con sus más de 400 expresiones, pretenden apoyar y hacer más

eficiente el estudio y aprendizaje de las matemáticas primero y después constituirse

en un manual para su quehacer futuro, ya sea académico o laboral.

Esperamos que este formulario sea de mucha utilidad para el trabajo académico de

alumnos y profesores de ingeniería que ven y aprecian esta disciplina como un

detonante para el desarrollo de la sociedad. Es sabido que la ingeniería es unión

entre los seres humanos y la naturaleza, y que uno de los principales objetivos de

su quehacer es el de mejorar la calidad de la vida en el entorno de su práctica.

Aprovechamos este espacio para agradecer a la Lic. Ana María Vieyra Ávila y al

pasante de ingeniería Jorge Alejandro Rangel Rangel por su colaboración en las

labores administrativas y de seguimiento para el logro de esta publicación.

Ing. Érik Castañeda de Isla Puga

Ing. Pablo García y Colomé

C O P A D I

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

CATETO OPUESTO = catop ; CATETO ADYACENTE = catad ; HIPOTENUSA = hipo

catad

catop tan hipo

catad

hipo

catop sen  ; cos ; 

IDENTIDADES



  

 

 sen

cos ; cot cos

sen ; cos

1 ; sec sen

1 csc   tan  

    

tan tan

tan

      

     

sen sen ; cos cos ;

sen cos 1 ; sec 1 ; csc cot 1

2 2 2 2 2 2

 

     

   

           

tan tan

tan tan tan tan tan

tan tan tan 

   

  

     

     

; 1

cos cos cos sen sen ; cos cos cos sen sen

sen sen cos cos sen ; sen sen cos cos sen



          2

2 2 2 2

1 tan

2 tan 2 2 cos ; cos 2 cos 1 2 2 cos 1 ; tan 2 

sen  sen   sen   sen   



     

1 cos

sen

1 cos

; 2

1 cos

; cos 2

1 cos

sen 



 

 

  tan

   cos 2  2

1 cos 2 ; cos 2

1 sen

2 2    

  ^ ^ ^ ^ 

     

   

   

   

sen sen 2

1 cos sen

sen sen 2

1 sen cos

cos cos 2

1 cos cos

cos cos 2

1 sen sen

C O P A D I

CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

EN LA FIGURA SE PRESENTA EL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO DE RADIO LA UNIDAD POR LO

QUE EN CADA PUNTO, CORRESPONDIENTE A UN ÁNGULO DETERMINADO, LA ABSCISA ES EL

COSENO Y LA ORDENADA EL SENO DEL ÁNGULO CONSIDERADO Y A PARTIR DE ESOS

VALORES SE PUEDEN DETERMINAR LAS DEMÁS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y

CONOCER DE TODAS ELLAS SU VALOR Y SIGNO DEPENDIENDO DEL CUADRANTE EN

ESTUDIO.

LA CIRCUNFERENCIA

ECUACIÓN CON CENTRO EN EL ORIGEN Y RADIO " r ":

2 2 2 x  y  r

ECUACIÓN CON CENTRO EN EL PUNTO  h , k Y RADIO " r ":    

(^2 ) x  h  y  k  r

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

2 2 x  y  Dx  Ey  F 

LA CIRCUNFERENCIA EXISTE, ES DECIR, TIENE RADIO DIFERENTE DE CERO SI 4 0

2 2 D  E  F  Y

ENTONCES, LAS COORDENADAS DE SU CENTRO SON (^) 



  

   2

, 2

D E Y EL RADIO ES D E 4 F 2

(^1 2 )  

ECUACIÓN MEDIANTE UN DETERMINANTE

LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR LOS TRES PUNTOS

P 1  x 1 , y 1  , P 2  x 2 , y 2  yP 3  x 3 , y 3 NO COLINEALES, ESTÁ DADA POR EL DETERMINANTE

2 2

2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

1 0 1

x y x y



  



TRASLACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS

SEA UN NUEVO ORIGEN DE COORDENADAS O '  h , k Y SEAN RESPECTIVAMENTE  x , y  y  x ', y '

LAS COORDENADAS DE UN PUNTO, ANTES Y DESPUÉS DE LA TRASLACIÓN. ENTONCES, LAS

ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA ORIGINAL AL NUEVO SON:

x  x ' h y y  y ' k

ROTACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS

SI LOS EJES COORDENADOS GIRAN UN ÁNGULO  EN TORNO DE SU ORIGEN COMO CENTRO DE

ROTACIÓN Y LAS COORDENADAS DE UN PUNTO SON, RESPECTIVAMENTE,  x , y   x '. y ',

ANTES Y DESPUÉS DE LA ROTACIÓN, ENTONES LAS ECUACIONES DE

TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA ORIGINAL AL NUEVO SON.

x  x ' cos   y ' sen  y y  x ' sen   y 'cos 

C O P A D I

L A S C Ó N I C A S: PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA

P A R Á B O L A

p DISTANCIA DEL VÉRTICE AL FOCO = DISTANCIA DEL VÉRTICE A LA DIRECTRIZ

FOCO SOBRE EL EJE

VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE " x "

y 4 p x

2 

DIRECTRIZ: x   p ; FOCO  p , 0 

VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE " y "

x 4 p y

2 

DIRECTRIZ. y   p ; FOCO  0 , p 

VÉRTICE EN EL PUNTO  h , k  EJE FOCAL PARALELO AL EJE " x "

 y  k   4 p  x  h 

VÉRTICE EN EL PUNTO  h , k  EJE FOCAL PARALELO AL EJE " y "

 x  h   4 p  y  k 

LONGITUD DEL LADO RECTO = 4 p ; EXCENTRICIDAD: e  1

ECUACIÓN GENERALDE LA CÓNICA: 0

2 2 A x  Cy  Dx  Ey  F  ; CON A  0 ó C  0

E L I P S E

2 a LONGITUD DEL EJE MAYOR ; 2 b LONGITUD DEL EJE MENOR

2 c DISTANCIA ENTRE LOS FOCOS 2 2 2 c  a  b

FOCOS SOBRE EL EJE MAYOR

CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE " x "

1 2

  b

FOCOS:  c , 0  y   c , 0 

CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE " y "

1 2

2   a

FOCOS:  0 , c  y  0 , c 

C O P A D I

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

VECTORES

MÓDULO DE UN VECTOR:

2 3

2 2

2 a  a 1  a  a

PRODUCTO ESCALAR: a  a 1 , a 2 , a 3  ; b  b 1 , b 2 , b 3   a  b  a 1 b 1  a 2 b 2  a 3 b 3

0 0 a  b  a b cos  ; 0   180

ORTOGONALIDAD: a y b SON ORTOGONALES

0 0 ; 0

a a b b

    

COMP VECT b

a b a b

  ; COMP ESC b

a b a b

 

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES: a b

a b ang

   cos

ÁNGULOS Y COSENOS DIRECTORES

a ang a

a ang

1 2 3  cos ;   cos ;   cos

cos cos cos 1

2 2 2    

PRODUCTO VECTORIAL: ^ ^ ^ 

1 2 3

1 , 2 , 3 ; 1 , 2 , 3 1 2 3

b b b

a a a

i j k

a a a a b b b b a b

  

    

0 0 a  b  a b sen  ; 0   180

PARALELISMO: a y b SON PARALELOS

0 0 ; 0

a a b b

    

ÁREA DEL PARALELOGRAMO = a  b

PRODUCTO MIXTO:  a b c   a  b  c  a  b  c

VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO =  a b c 

LOS PUNTOS A , , B C y D SON COPLANARES

SI EL PRODUCTO MIXTO ^ AB AC AD   

   ES NULO

DOBLE PRODUCTO VECTORIAL

     

^ ^ ^ ^ ^ 





     

a b c a c b b c a

a b c a c b a b c

LA RECTA EN EL ESPACIO

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

P  P 0  t v

DONDE P 0  x 0 , y 0 , z 0 ES UN PUNTO DE LA RECTA Y v  a , b , c  ES UN VECTOR PARALELO A ELLA

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

 

 



 

z z tc

y y tb

x x ta

ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA EN FORMA SIMÉTRICA: c

z z

y y

x x 0 0  0 

 



ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA EN FORMA GENERAL

1 1 1 1

2 2 2 2

A x B y C z D

   

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:

 

Q P v d

  

0 ; DONDE Q ES EL PUNTO

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS: 1 2

1 2 cos v v

v v ang

  

CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS RECTAS: v 1  v 2  0

CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE DOS RECTAS: v 1  v 2  0

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS:

   

1 2

(^020112)

v v

P P v v d 

   

C O P A D I

CLASIFICACIÓN DE LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS

CON CENTRO: K x  Ly  Mz  N

2 2 2

SI N  0 Y DOS COEFICIENTES SON NULOS, EL LUGAR GEOMÉTRICO

SON LOS PLANOS COORDENADOS.

SI N  0 Y UN COEFICIENTE ES NULO, EL LUGAR GEOMÉTRICO

SON LOS EJES COORDENADOS.

SI N  0 Y TODOS LOS COEFICIENTES TIENEN EL MISMO SIGNO,

EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL ORIGEN DE COORDENADAS.

SI N  0 Y DOS COEFICIENTES TIENEN EL MISMO SIGNO,

EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL CONO ELÍPTICO.

SI N  0 Y DOS COEFICIENTES SON NULOS, EL LUGAR GEOMÉTRICO

SON DOS PLANOS PARALELOS A LOS PLANOS COORDENADOS.

SI N  0 Y UN COEFICIENTE ES NULO, EL LUGAR GEOMÉTRICO

SON CILINDROS PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS.

SI N  0 Y TODOS LOS COEFICIENTES SON POSITIVOS,

EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL ELIPSOIDE.

SI N  0 Y DOS COEFICIENTES SON POSITIVOS Y EL OTRO NEGATIVO,

EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA O UN MANTO.

SI N  0 Y DOS COEFICIENTES SON NEGATIVOS Y EL OTRO POSITIVO,

EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS O DOS MANTOS.

SIN CENTRO:  0 

2 2 Kx  Ly  Pz P 

SI K Y L SON NULOS, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL PLANO x y.

SI K Ó L ES NULO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES UN CILINDRO PARABÓLICO.

SI K Y L TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES UN PARABOLOIDE ELÍPTICO.

SI (^) K Y (^) L TIENEN DIFERENTE SIGNO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES UN PARABOLOIDE HIPERBÓLICO.

C O P A D I

FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ORDINARIA

du c dx

dy y  cu ; u  f x ; c   

 ;    0 dx

dy y c c

   1 dx

dy y x

dy y u u f x 2

 ;   

du nu dx

dy y u u f x n

n n 1 ; ;

     

  dx

v gx

u f x y u v    







   ;

;

u f x (^) dy dv du y uv u v v g x dx dx dx

^   (^)      

2 ; v

dv u dx

du v

v gx

u f x

u y



  







 

dy y  u ; u  f x  

dy y  ln u ; u  f x  

  e

dy y log (^) b u ; u  f x ; b    log b

du e dx

dy y e u f x

u u  ;   

C O P A D I

FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

 k^ f^^ ^ u^ ^ d u^  k^  f^ ^ u^  d u

 f^  u^  ^ g^  u^   d u^ ^ f^  u^  d u^  g^  u^  d u

  

du  u  C 

; 1 1

   





C n n

u u du

n n

  u  C u

du ln

 e du  e  C

u u

C a

a a du

u u  

sen udu  u  C

cos

u du  senu  C  cos

u du  u  C  u  C  tan lncos lnsec

 cot u du  ln sen u  C

 sec u du  lnsec u tan u  C

 csc u du  ln csc u cot u  C

 sec u du  tan u  C

u du  u  C  csc cot

 sec u tan udu  sec u  C

 csc u cot udu  csc u  C

C a

u angsen a u

du   

   

C a

u ang u a a

du tan

1 2 2

C a

u ang u u a a

du   

 sec

2 2

 

  

C u a

u a

u a a

du ln 2

1 2 2

C a u

a u

a u a

du  

  

ln 2

1 2 2

u u a C u a

du     

2 2 2 2

u u a C u a

du     

2 2 2 2

lim 0

n n n

a es convergente a

a a es divergente

 

 

 

;

n n

n n n n

a b converge

a y b convergen a b converge

c a converge c



 

 



  



n n^ ;

n n n n

a diverge c a diverge c

a converge y b diverge a b diverge

  

 

PRUEBA DE LA INTEGRAL

SI f ES POSITIVA, CONTINUA Y DECRECIENTE PARA x  1 ENTONCES LA SERIE f( 1 ) f( 2 )...f(n)...



) ( )

ii diverge si f xdx es divergente

i converge si f xdx esconvergente

PRUEBA DE LA COMPARACIÓN

SEAN (^)  a (^) n y bn SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. ENTONCES:

)

n n n n

i si b converge y a b entonces a converge

ii si b diverge y a b entonces a diverge





PRUEBA DEL LÍMITE DEL COCIENTE

SEAN (^)  a (^) n y  bn SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. ENTONCES:

lim 0 n n n

las dos convergen a k o b las dos divergen

 

     

 

PRUEBA DE LA SERIE ALTERNADA

(^1 0 ) ( 1) lim 0

k k (^) n n n n

a a a es convergente a

 (^) 



 ^    ^   



CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL

n n

n n n

a es absolutamente convergente si a es convergente

a es absolutamente convergente a es convergente

a converge a es condicionalmente convergente si a diverge



  

PRUEBA DE LA RAZÓN

SEA (^)  a (^) n UNA SERIE CON TÉRMINOS NO NULOS. ENTONCES:

) lim 1

n n n n

n n n

a i L a es absolutamente convergente a

a ii L ó a es divergente a

a iii el criterio no decide a

 

  

    

 

PRUEBA DE LA RAÍZ

SEA  a n UNA SERIE INFINITA. ENTONCES:

) lim 1

n n n^ n

n n n

i a L a es absolutamente convergente

ii a L ó a es divergente

iii a el criterio no decide



  

    

 