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DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
CASO I.- FACTOR COMÚN
Se debe buscar un término en común (letra o número) que tengan los
términos de cada uno de las expresiones algebraicas.
Ese término en común se coloca con su menor exponente, y los términos
no comunes, se coloca dentro de paréntesis.
Ejemplo.-
a
2
bc + cd = c ( b + d )
3 m − 4 m
2
n + m
3
n
2
= m
3 − 4 mn + m
2
n
2 ab + 2 ac − 2 ad = 2 a ( b + c − d )
3 m − 6 mn − 9 mp = 3 m ( 1 − 2 n − 3 p )
CASO II.- FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Se agrupan los términos con paréntesis, luego se resuelven los paréntesis
al igual que el caso anterior.
Se busca un término en común (letra o número), este término en común se
coloca con su menor exponente y los términos no comunes se los coloca
dentro del paréntesis.
Ejemplo.-
ax + bx + ay + by =( ax + bx )+ ( ay + by )
¿ x ( a + b ) + y ( a + b )
¿ ( x + y ) ( a + b )
2 x
2
− 3 xy − 4 x + 6 y =
2 x
2
− 3 xy
−( 4 x − 6 y )
¿ x ( 2 x − 3 y )− 2 ( 2 x − 3 y )
¿( 2 x − 3 y )( x − 2 )
ax − ay − az + x − y + z =( ax − ay + az )+ ( x − y + z )
¿ a ( x − y + z ) +( x − y + z )
¿ ( x − y + z ) ( a + 1 )
a
2
x − a x
2
− 2 a
2
y + 2 axy + x
3
− 2 x
2
y =
a
2
x − 2 a
2
y
a x
2
− 2 axy
x
3
a
2
( x − 2 y )− ax ( x − 2 y ) + x
2
( x − 2 y )
x − 2 y
a
2
− ax + x
2
CASO III TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Se saca la raíz cuadrada del primer y tercer término y separan estas raíces por el
signo del segundo término y se eleva todo al cuadrado.
Ejemplo:
√
a
2
1 =( a + 1 )
2
√
9 − 6 x + √
x =( 3 − x )
2
√
x
2
b
2
x +
b
2
√
16 + 40 x
2
√
25 x
4
=( 4 + 5 x
2
2
3 x − 5 =− 15 x
3 x − 3 =− 9 x
− 24 x
9 x
2
− 24 x − 15 =
3 x − 5
3 x − 3
PRACTICAMOS
- Factorizar x
2
− 7 x + 12 =¿
- Factorizar 6 x
2
− 11 xy − 10 y
2
V. Trinomio de la forma x
2
± bx ± c
Las condiciones que cumplen estos trinomios son los siguientes:
- El coeficiente del primer término es 1.
- El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
- El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1
y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
- El tercer término es independiente.
Ejemplos.
- Factorizar x
2
(x ) (x )
(x+ ) (x+ )
- 5 + 3 = + 8 corresponde al
Segundo término
(+5) (+3) = + 15 corresponde al
Tercer término
a) Se saca la raíz cuadrada del
primer término.
b) El signo del primer paréntesis
está dado por el segundo
término, y el signo del
segundo paréntesis, resulta
del producto de los signos del
segundo y tercer término.
c) Se buscan dos factores del
tercer término cuya suma o
resta algebraica dé el
coeficiente del segundo
término, y multiplicados den
el tercer término del
trinomio.
d) El mayor de estos números
encontrados va al primer
binomio.
VI MÉTODO DE ASPA SIMPLE
Este método se utiliza para factorizar expresiones trinomios de la siguiente forma:
a x
2
2
Ejemplo
- Factorizar 3 x
2
− 5 x − 2
término 3 x
2
en
dos factores
término 2 en dos
factores
los productos en aspa
(cruzado) de los cuatro
factores encontrados y
deber ser igual al segundo término
PRACTICAMOS
- Factorizar x
6
− y
6
- Factorizar 8 x
3
3 x + 1
1 x − 2
3 x + 1 = x
x − 2 =− 6 x
− 5 x
VII. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
El método de factorizar de suma y diferencia de cubos esta basada en las
siguientes expresiones:
a
3
3
a + b
a
2
− ab + b
2
a
3
− b
3
=( a − b )( a
2
2
Las expresiones que permiten factorizar provienen de los cocientes notables.
a
3
3
a + b
= a
2
− ab + b
2
Despejando la suma de cubos
a
3
3
=( a + b )( a
2
− ab + b
2
a
3
− b
3
a − b
= a
2
2
Despejando la suma de cubos
a
3
− b
3
=( a − b )( a
2
2
Ejemplos;
- Factorizar a
3
− 8 =( a − 2 ) ( a
2
+ a .2+ 2 )
a
3
a − 2
( a
2
- Factorizar 27 m
6
4
=( 3 m
2
3
) [( 3 m
2
2
−( 3 m
2
) ( 4 n
3
) +( 4 n
3
2
]
3 m
2
3
( 9 m
4
− 12 m
2
n
3
6
PRACTICAMOS
3. Factorizar x
6
− y
6
4. Factorizar 8 x
3
VIII. MÉTODO POR EVALUACIÓN O RUFFINI
La regla de Ruffini es un método que nos permite factorizar polinomios de una
sola variable.
PASOS A SEGUIR:
- Ordenar el Polinomio en forma descendente.
- Observar si el polinomio es completa o incompleta
Si fuese incompleta el polinomio, se coloca (0) cero al término que falta.
- Copiar los coeficientes
- Multiplicar por los divisores del termino independiente cada coeficiente
- Sumar o restar según el signo de los términos
- El residuo siempre deber ser cero.
Ejemplo
- Factorizar: x
3
2
− x − 2 =¿
Buscamos los divisores del término
